高三数学4几种常见几何体的性质试题

高三数学4几种常有几何体的性质试题高三数学4几种常有几何体的性质试题高三数学4几种常有几何体的性质试题几种常有几何体的性质4.1正方体Ａ1D1【例1】棱长为1的正方体AC1中，B1C1（1）证明：B1D平面ACD1；（2）证明：平面ACD1//平面ACB；Ａ11Ｄ（3）求平面ACD1与平面A1C1B的的距离．ＢＣ【剖析】（1）连结BD，由B1B平面ABCD，AC平面ABCD，因此B1BAC，又BDAC，因此AC平面B1BD，由B1D平面B1BD，因此BDAC，同理BDCD1，故B1D平面ACD1；（2）由（1）证B1D平面ACD1，同理B1D平面A1C1B，因此平面ACD1//平面A1C1B；（3）设B1D与平面ACD1、平面AC11B分别交于H,G，则H,G必是正ACD1、正A1C1B的中心，运用等积法可求D到平面ACD1的距离、B1到平面AC11B的距离均为3，由于B1D3，平面3ACD1与平面A1C1B的的距离为HG3．3【评注】棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，（1）共极点的三条棱作为侧棱组成的直三棱锥中，极点在底面的射影恰为正方体相应付角线的一个三均分点；D1OC1B1（2）共极点的三条棱作为侧棱组成的直三棱锥的高为Ａ13a，其体积是正方体体积的1a3EM.Ｄ36Ｃ【变式】正方体是察看空间点、直线、平面地点关系的特别F重要的几何模型.ＡＢ正方体AC1中，EF是AC、A1D的公垂线，M是B1B的中点，证明：（1）EF//D1B；（2）EF//面A1C1M．【剖析】（1）如图，只需证明EFACD,DBACD即可；面111面11（2）如图，只需证明D1B//面ACMDB//OMACM即可；111面114.2三棱锥【例2】三棱锥ABCD中，点O为点A在平面BCD内的射影，若ABACAD，求证：点O是底面三角形的外心．A【剖析】连结OB,OC,OD，∵AO平面BCD，且ABACAD，∴RtABORtACORtADO,OBOCOD,BD故点O是底面三角形的外心．O【评注】周围体ABCD中，C（1）若各组对棱都互相垂直，则点A在平面BCD内的射影是底面三角形的垂心；（2）若三条侧棱两两垂直，则点A在平面BCD内的射影是底面三角形的垂心；（3）若三条侧棱都相等，则点A在平面BCD内的射影是底面三角形的外心；（4）若三条侧棱与底面所成的角都相等，则点A在平面BCD内的射影是底面三角形的外心；（5）若三个侧面的斜高都相等，则点A在平面BCD内的射影是底面三角形的心里；（6）若三个侧面与底面所成的角都相等，则点A在平面BCD内的射影是底面三角形的心里．【变式1】正三棱锥的见解.下面是对于三棱锥的四个命题：①面是等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥．②面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥．③面是等边三角形，侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥．④棱与底面所成的角相等，且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥．其中，真命题的编号是．(写出所有真命题的编号)【剖析】①底面是等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥．可推出底面中心等于是棱锥极点在底面的射影，因此是正确的；②显然不对，比方三条侧棱中仅有一条不与底面边长相等的情况，侧面都是等腰三角形的三棱锥，但不是正三棱锥；③底面是等边三角形，侧面的面积都相等，说明极点终究面三边的距离（斜高）相等，依照射影长的关系，能够获取极点在底面的射影（垂足）终究面三边所在直线的距离也相等，由于在底面所在的平面内，终究面三边所在直线的距离相等的点有4个：心里（此题的中心）1个、旁心3个，因此不能够保证三棱锥是正三棱锥；④侧棱与底面所成的角相等，且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥．是正确的．故答案：①④.A【变式2】正周围体的性质.对于棱长为a的正周围体，有以下的命题：OBDMH①正周围体的高为6a；②正周围体的外接球的半径为R6h4a；3③正周围体的内切球的半径为r6a；④正周围体的外接球的半径是其内切球的半径的3倍；12⑤正周围体的相邻两个表面所成的角为，则cos1.3正确的序号是.【剖析】设正周围体的高为AH,H是BCD的重心，连结DH并延伸交于BC于M，外接球的球心为O必在AH上，依照对称性，O也是内切球的球心，则ROA,rOH，相邻两个表面所成的角为AMH，则由重心定理可知，MH1113MDMA，因此cos，⑤正确；33在RtAMH中，MA3a,MH3a，因此AHh6a，①正确；263在RtOMH中，OMOAR,MH3rAHR6a,OHaR，由勾股定理可求636a，②正确；③④正确，答案为①②③④⑤.44.3直三棱锥【例3】在平面几何里，有勾股定理：“设ABC的两边AB、AC互相垂直，则：①AB2AC2BC2；②若ABC的两边AB、AC与斜边成角分别为、，则：cos2cos21．”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可获取正确的结论：“设三棱锥ABCD中，三个侧面ABC、ACD、ABD两两互相垂直，则：①；②若三棱锥ABCD中，三个侧面与底面的成角分别为、、，则：．”【剖析】过点A作AEBC于E，连结DE，则：BCDE，DS2BCD1BC2DE21AB2AC2AE2DA2441AB2DA21AC2DA21BC2AE2444CS2ABCS2ACDS2ABD．AE故S2ABCS2ACDS2ABDS2BCD：B同理，易知：若三棱锥

ABCD中，三个侧面与底面的成角分别为

、、

，则：cos2

cos2

cos2

1（或

sin2

sin2

sin2

2）．【评注】侧棱分别为

a,b,c

的直三棱锥的底面必是锐角三角形，其体积为

1abc

。6【变式】直角三角形中射影定理的实行.在平面几何中，直角三角形有射影定理：

“设

ABC的两边

AB、AC互相垂直，

AH

BC于

H

，则：AB2=BH

BC

。”

类比到空间，可获取正确的结论：“设三棱锥

P

ABC

中，三个侧面PAB、PBC、PAC两两互相垂直，则：

.【剖析】侧面积是它在底面投影的面积与底面积的等比中项，即S2BCP

SBCOS

BCA.4.4四直角三棱锥【例

4】如

图，斜边

为

AB

的

RtABC

中，PA平面ABC，AMPB于M，ANPC于N．PM（1）证明：BC平面PAC；（2）证明：PB平面AMN；N（3）证明：平面PBC平面AMN；AB（4）若PAAB4，BPC，求截面AMN的面积的最大C值．剖析：（）由于PA平面ABC，则PABC，又BCAC，因此BC平面PAC．1（2）由BC平面PAC，则BCAN，又ANPC，因此AN平面PBC，ANPB，又PBAM，因此PB平面AMN．（3）由于PB平面AMN，PB平面PBC，因此平面PBC平面AMN；（4）由（1）知BC平面PAC，BC平面PBC，因此平面PCB平面PAC，由于平面PCBI平面PACPC，ANPC，因此AN平面PBC，又MN平面PBC，因此ANMN；又∵PB平面AMN,MN平面AMN，∴PBMN，因此MN22tan，AN221tan2，∴S1MNAN4tan1tan24tan21tan22，当且仅当tan2时，获取22等号，故截面AMN的面积的最大值为2．【评注】三棱锥PABC的每一个面都是直角三角形，称之为四直角三棱锥，APBC

AMN；PBCAPCA；dPBANMN；cosPBCcosPBAcosABC．【变式】四直角三棱锥，蕴涵着棱锥的所有要