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第二节分式线性映射一、分式线性映射的概念二、几种简单的分式线性映射三、分式线性映射的性质四、小结与思考2一、分式线性映射的概念称为分式线性映射.说明:否则,由于那末整个z平面映射成w平面上的一点.3分式线性映射的逆映射,也是分式线性映射.2)由3)两分式线性映射仍复合为分式线性映44)一个一般形式的分式线性映射是由下列三种特殊的简单映射复合而成:5二、几种简单的分式线性映射平移映射(为方便起见,令w平面与z平面重合)6二、几种简单的分式线性映射平移映射(为方便起见,令w平面与z平面重合)7旋转与伸长(或缩短)变换事实上,设那末因此,把z先转一个角度8反演变换此映射可进一步分解为关键:9对称点的定义:设C为以原点为中心,r为半径的圆周.在以满足关系式那末就称这两点为关于这圆周的对称点.规定:无穷远点的对称点是圆心O.10...设P在C外,从P作C的切线PT,由T作OP的垂作图:.11故可知:...关于单位圆对称关于实轴对称12三、分式线性映射的性质1.一一对应性例如:结论:分式线性映射在扩充复平面上一一对应.132.保角性若规定:两条伸向无穷远的曲线在无穷远点处的交角,等于它们在映射
下所映成的通过原点的两条象曲线的交角.定理一分式线性映射在扩充复平面上是一一对应的，且具有保角性143.保圆性
所谓保圆性指在扩充复平面上将圆周映射为圆周的性质.特殊地，直线可看作是半径为无穷大的圆周.1)映射特点:所以此映射在扩充复平面上具有保圆性.152)映射若z平面上圆方程为:令有代入z平面圆方程得其象曲线方程:即所以此映射在扩充复平面上具有保圆性.163)分式线性映射定理二
分式线性映射将扩充z平面上的圆周映射成扩充w平面上的圆周,即具有保圆性.说明:
如果给定的圆周或直线上没有点映射成无穷远点,那末它就映射成半径为有限的圆周;有一个点映射成无穷远点,那末它就映射成直线.如果174.保对称性对称点的特性....18....19结论充要条件是:20即分式线性映射具有保对称性.定理三21证分式线性映射[证毕]22小知识分式线性映射首先由德国数学家默比乌斯(1790~1868)研究,所以也称为默比乌斯映射.对每一个固定的w,此式关于z是线性的;对每一个固定的z,此式关于w也是线性的,因此称上式是双线性的.分式线性映射也称双线性映射.默比乌斯23四、小结与思考
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