模糊集的基本运算2

模糊集的基本运算演示文稿现在是1页\一共有37页\编辑于星期六模糊集的基本运算现在是2页\一共有37页\编辑于星期六一.模糊集的表示方法

模糊集合是论域X到[0,1]的映射,因此用隶属函数来表示模糊集合是最基本的方法。除此以外,还有以下的表示方法：1)序偶表示法A={(x,A(x)|xX}.

例如:用集合X={x1,x2,x3,x4}表示某学生宿舍中的四位男同学,“帅哥”是一个模糊的概念。经某种方法对这四位学生属于帅哥的程度(“帅度”)做的评价依次为:0.55,0.78,0.91,0.56,则以此评价构成的模糊集合A记为:A={(x1,0.55),(x2,0.78),(x3,0.91),(x4,0.56)}.现在是3页\一共有37页\编辑于星期六2)向量表示法当论域X={x1,x2,…,xn}时,

X上的模糊集A可表示为向量A=(A(x1),A(x2),…,A(xn)).

模糊集“帅哥”A可记为:A=(0.55,0.78,0.91,0.56).向量的每个分量都在0与1之间,称之为模糊向量。3）Zadeh表示法

当论域为有限集{x1,x2,…,xn}时,模糊集合可表示为A=A(x1)/x1+A(x2)/x2+…+A(xn)/xn.

注意,这里仅仅是借用了算术符号+和/,并不表示分数和运算,而只是描述A中有哪些元素,以及各个元素的隶属度值。

对于任意论域X中的模糊集合A可记为:现在是4页\一共有37页\编辑于星期六

模糊集“年轻”A可表示为现在是5页\一共有37页\编辑于星期六

注意：当论域明确的情况下,在序偶和Zadeh表示法中,隶属度为0的项可以不写出。而在向量表示法中,应该写出全部分量。

例如,论域X为1到10的所有正整数,模糊集“近似于5”A可表示为：或

或现在是6页\一共有37页\编辑于星期六二.典型的隶属函数

构造恰当的隶属函数是模糊集理论应用的基础。一种基本的构造隶属函数的方法是“参考函数法”,即参考一些典型的隶属函数,通过选择适当的参数,或通过拟合、整合、实验等手段得到需要的隶属函数。下面介绍典型隶属函数。

1.偏小型降半矩形分布,降半Γ形分布,降半正态分布,降半柯西分布,降半梯形分布,降岭形分布。现在是7页\一共有37页\编辑于星期六现在是8页\一共有37页\编辑于星期六现在是9页\一共有37页\编辑于星期六2.偏大型升半矩形分布，升半Γ形分布，升半正态分布，升半柯西分布，升半梯形分布，升岭形分布。现在是10页\一共有37页\编辑于星期六现在是11页\一共有37页\编辑于星期六“年轻”模糊集合的隶属函数为降半柯西分布,其中取a=1/5,b=25,c=2.“年老”模糊集合的隶属函数为升半柯西分布,其中取a=1/5,b=50,c=2.3.中间型(对称型)矩形分布,尖Γ形分布,正态分布,柯西分布,梯形分布,岭形分布。现在是12页\一共有37页\编辑于星期六现在是13页\一共有37页\编辑于星期六现在是14页\一共有37页\编辑于星期六三.模糊集上的运算几点说明经典集合可用特征函数完全刻画,因而经典集合可看成模糊集的特例(即隶属函数只取0,1两个值的模糊集)。设X为非空论域,X上的全体模糊集记作F(X).于是,P(X)F(X),这里P(X)为X的幂集(即X的全体子集构成的集合).

特别地,空集的隶属函数恒为0,全集X的隶属函数恒为1,即、X都是X上的模糊集。现在是15页\一共有37页\编辑于星期六2.模糊集的包含关系设X为非空论域,A,B为X上的两个经典集合。AB当且仅当属于A的元素都属于B.易证AB当且仅当对任意xX有CA(x)CB(x).X1X1现在是16页\一共有37页\编辑于星期六

定义

设X为非空论域,A,B为X上的两个模糊集合。称A包含于B(记作AB),如果对任意xX有A(x)B(x).这时也称A为B的子集。X1A(x)B(x)现在是17页\一共有37页\编辑于星期六例

论域X={x1,x2,x3,x4}时,X上的模糊集A为:A=(0.55,0.78,0.91,0.56).X上的模糊集B为:B=(0.35,0.52,0.65,0.37).则根据定义有BA.帅哥超男定义论域X上的模糊集A与B称为是相等的,如果AB

且BA,即对任意xX有A(x)=B(x).现在是18页\一共有37页\编辑于星期六

3.模糊集的并设X为非空论域,A,B为X上的两个经典集合。A∪B={xX|xA或xB}.易证CAB(x)=max{CA(x),CB(x)}=CA(x)CB(x).X1X1现在是19页\一共有37页\编辑于星期六

定义设X为非空论域,A,B为X上的两个模糊集合。A与B的并(记作A∪B)是X上的一个模糊集,其隶属函数为(A∪B)(x)=max{A(x),B(x)}=A(x)B(x),xX.(A∪B)(x)现在是20页\一共有37页\编辑于星期六

4.模糊集的交定义非空论域X上的两个模糊集合A与B的交(记作A∩B)是X上的一个模糊集,其隶属函数为

(A∩B)(x)=min{A(x),B(x)}=A(x)B(x),xX.(A∩B)(x)现在是21页\一共有37页\编辑于星期六5.模糊集的补定义非空论域X上的一个模糊集合A的补(记作A或AC)X上的一个模糊集,其隶属函数为A(x)=1A(x),xX.现在是22页\一共有37页\编辑于星期六

注：两个模糊集的并、交运算可以推广到一般情形,即对任意指标集I,若Ai是X上的模糊集,iI.则模糊集的(任意)并、(任意)交定义为:现在是23页\一共有37页\编辑于星期六例设论域X={x1,x2,x3,x4}为一个4人集合,X上的模糊集合A表示“高个子”:A={(x1,0.6),(x2,0.5),(x3,1),(x4,0.4)}.

模糊集合B表示“胖子”:B={(x1,0.5),(x2,0.6),(x3,0.3),(x4,0.4)}.则模糊集合“高或胖”为:A∪B={(x1,0.6∨0.5),(x2,0.5∨0.6),(x3,1∨0.3),(x4,0.4∨0.4)}={(x1,0.6),(x2,0.6),(x3,1),(x4,0.4)}.模糊集合“又高又胖”为:A∩B={(x1,0.5),(x2,0.5),(x3,0.3),(x4,0.4)}.模糊集合“个子不高”为:A={(x1,0.4),(x2,0.5),(x3,0),(x4,0.6)}.现在是24页\一共有37页\编辑于星期六四.模糊集的运算性质

1.经典集合的运算性质经典集合关于并、交、补运算具有以下性质:设X为论域,A,B,C为X上的经典集合,则

(1)幂等律:A∪A=A,A∩A=A;(2)交换律:A∪B=B∪A,A∩B=B∩A;(3)结合律:(A∪B)∪C=A∪(B∪C),(A∩B)∩C=A∩(B∩C);(4)吸收律:A∪(A∩B)=A,A∩(A∪B)=A;(5)分配律:A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C),

A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C);现在是25页\一共有37页\编辑于星期六(6)对合律(复原律):(A)=A;(7)两极律(同一律):A∩X=A,A∪X=X,

A∩=,A∪=A;(8)DeMorgan对偶律:(A∪B)=A∩B,(A∩B)=A∪B;(9)排中律(互补律):A∪A=X,A∩A=.注：满足上述前四条规律的代数系统称为格(可诱导出一个序ABA∩B=AA∪B=B)。

满足以上9条性质的代数系统称为布尔代数(Booleanalgebra,即“有补的有界分配格”.现在是26页\一共有37页\编辑于星期六2.模糊集合的运算性质

定理

设X为论域,A,B,C为X上的模糊集合,则(1)幂等律:A∪A=A,A∩A=A;(2)交换律:A∪B=B∪A,A∩B=B∩A;(3)结合律:(A∪B)∪C=A∪(B∪C),(A∩B)∩C=A∩(B∩C);(4)吸收律:A∪(A∩B)=A,A∩(A∪B)=A;(5)分配律:A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C),

A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C);(6)对合律(复原律):(A)=A;(7)两极律(同一律):A∩X=A,A∪X=X,

A∩=,A∪=A;(8)DeMorgan对偶律:(A∪B)=A∩B,(A∩B)=A∪B.现在是27页\一共有37页\编辑于星期六证明DeMorgan对偶律:对任意xX,由于

((A∪B))(x)=1(A∪B)(x)=1(A(x)∨B(x))=(1A(x))∧(1B(x))=A(x)∧B(x)=(A∩B)(x).所以(A∪B)=A∩B.同理可证(A∩B)=A∪B.现在是28页\一共有37页\编辑于星期六

注：模糊集中互补律不成立(参见下面的反例).满足以上8条性质的代数系统称为DeMargan代数,也称为软代数(softalgebra).反例设论域X={a,b}上的模糊集A={(a,0.6),(b,0.3)}.

则A={(a,0.4),(b,0.7)}.

从而A∪A={(a,0.6),(b,0.7)}X,A∩A={(a,0.4),(b,0.3)}.现在是29页\一共有37页\编辑于星期六五.L型模糊集本节把模糊集合的隶属度取值范围推广到一般格上,并研究这类广义模糊集合及其性质。1.偏序集与格

定义

称(P,)为偏序集,若P上的二元关系满足以下三个条件:(1)自反性:aP,aa;(2)反对称性:ab且baa=b;(3)传递性:ab且bcac.对于偏序集(P,),如果对于任意a,bP总有ab或ba成立,则称P为线性序集或全序集。现在是30页\一共有37页\编辑于星期六设(P,)为偏序集,若存在aP使得对任意bP都有ab,则称a为P的最小元。若存在aP使得对任意bP都有ba,则称a为P的最大元。易知,如果偏序集有最小元或最大元,则最小元或最大元是惟一的。为此,记0为最小元素,1为最大元素。设(P,)为偏序集,XP,

若存在aP使得对任意xX都有xa,则称a为X的上界。如果X的上界集合有最小元素,则称它为X的最小上界或上确界,

记为supX或∨X.对偶地,可以定义下界、最大下界或下确界(记为infX或∧X)。现在是31页\一共有37页\编辑于星期六

定义偏序集(L,)称为格,如果a,bP,上确界a∨b与下确界a∧b都存在。任意子集都有上、下确界的格称为完备格。上、下确界运算满足分配律的格称为分配格,这里分配律指有限分配律。定理

设(L,)为格,则上、下确界运算满足:(1)幂等律:a∨a=a,a∧a=a;(2)交换律:a∨b=b∨a,a∧b=b∧a;(3)结合律:(a∨b)∨c=a∨(b∨c),(a∧b)∧c=a∧(b∧c);(4)吸收律:a∨(a∧b)=a,a∧(a∨b)=a.现在是32页\一共有37页\编辑于星期六定理

设代数系统(L,∨,∧)中的二元运算∨,∧满足:幂等律:a∨a=a,a∧a=a;交换律:a∨b=b∨a,a∧b=b∧a;结合律:(a∨b)∨c=a∨(b∨c),(a∧b)∧c=a∧(b∧c);吸收律:a∨(a∧b)=a,a∧(a∨b)=a.则:(1)a∧b=aa∨b=b;(2)在L中定义二元关系如下aba∧b=a.那么

(L,)是格,且∨,∧是这个格(L,)的上、下确界运算。现在是33页\一共有37页\编辑于星期六2.Boole代数与DeMorgan代数定义

设L是有界分配格,0,1分别是其最大元和最小元。对任意aL,若存在aL使得a∨a=1,a∧a=0,则称L为布尔代数。定义

设P是偏序集,h:PP是映射。如果当ab时恒有h(a)h(b),则称h为保序映射。如果当ab时恒有h(b)h(a),则称h为逆序映射。如果逆序映射h满足对合律h(h(a))=a,则h称为逆序对合对应或逆合映射,也称h为伪补。定义

设L是有界分配格,h:LL是L上的一元运算且满足(1)h(h(a))=a,(2)h(a∨b)=h(a)∧h(b),h(a∧b)=h(a)∨h(b).则称L为DeMorgan代数。现在是34页\一共有37页\编辑于星期六易知DeMorgan代数中h是逆合映射。设X为非空集合,则幂集格(P(X),∪,∩,c)为布尔代