上海市普陀区上海师大附中2023年数学高一第二学期期末学业质量监测试题含解析

2022-2023学年高一下数学期末模拟试卷请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．两数1，25的等差中项为（）A．1 B．13 C．5 D．2．在中，“”是“”的()A．充要条件 B．必要不充分条件C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件3．已知，则下列不等式一定成立的是（）A． B． C． D．4．函数（其中，）的部分图象如图所示、将函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象，则下列说法正确的是（）A．函数为奇函数B．函数的单调递增区间为C．函数为偶函数D．函数的图象的对称轴为直线5．在正六边形ABCDEF中，点P为CE上的任意一点，若，则（）A．2 B． C．3 D．不确定6．设，，若是与的等比中项，则的最小值为（）A． B． C．3 D．7．已知为锐角，且满足，则（）A． B． C． D．8．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A． B． C． D．9．若，，则等于()A． B． C． D．10．与角终边相同的角是A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知三棱锥的底面是腰长为2的等腰直角三角形，侧棱长都等于，则其外接球的体积为______.12．在等差数列中，已知，，则________.13．已知等边，为中点，若点是所在平面上一点，且满足，则__________.14．抽样调查某地区名教师的年龄和学历状况，情况如下饼图：则估计该地区岁以下具有研究生学历的教师百分比为_______．15．已知三棱锥，平面，，，，则三棱锥的侧面积__________．16．在平面直角坐标系中，定义两点之间的直角距离为：现有以下命题：①若是轴上的两点，则；②已知，则为定值；③原点与直线上任意一点之间的直角距离的最小值为；④若表示两点间的距离，那么.其中真命题是__________（写出所有真命题的序号）.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．在中，的对边分别为，已知．（1）求的值；（2）若的面积为，，求的值．18．已知(1)求的定义域；(2)判断的奇偶性并予以证；;(3)求使>0成立的x的取值范围.19．在△中，角、、所对的边分别为、、，且.（1）求的值；（2）若，求的最大值；（3）若，，为的中点，求线段的长度.20．已知正项等比数列中，，，等差数列中，，且.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.21．某科研课题组通过一款手机APP软件，调查了某市1000名跑步爱好者平均每周的跑步量（简称“周跑量”），得到如下的频数分布表周跑量（km/周）人数100120130180220150603010（1）在答题卡上补全该市1000名跑步爱好者周跑量的频率分布直方图:注:请先用铅笔画，确定后再用黑色水笔描黑（2）根据以上图表数据计算得样本的平均数为，试求样本的中位数（保留一位小数），并用平均数、中位数等数字特征估计该市跑步爱好者周跑量的分布特点（3）根据跑步爱好者的周跑量，将跑步爱好者分成以下三类，不同类别的跑者购买的装备的价格不一样，如下表:周跑量小于20公里20公里到40公里不小于40公里类别休闲跑者核心跑者精英跑者装备价格（单位：元）250040004500根据以上数据，估计该市每位跑步爱好者购买装备，平均需要花费多少元?

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、B【解析】

直接利用等差中项的公式求解.【详解】由题得两数1，25的等差中项为.故选：B【点睛】本题主要考查等差中项的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.2、A【解析】

余弦函数在上单调递减【详解】因为A,B是的内角，所以,在上余弦函数单调递减,在中，“”“”【点睛】充要条件的判断，是高考常考知识点，充要条件的判断一般有三种思路：定义法、等价关系转化法、集合关系法。3、C【解析】试题分析：若，那么，A错；，B错；是单调递减函数当时，所以，C.正确；是减函数，所以，故选C.考点：不等式4、B【解析】

本题首先可以根据题目所给出的图像得出函数的解析式，然后根据三角函数平移的相关性质以及函数的解析式得出函数的解析式，最后通过函数的解析式求出函数的单调递增区间，即可得出结果．【详解】由函数的图像可知函数的周期为、过点、最大值为3，所以,，，，，所以取时，函数的解析式为，将函数的图像向左平移个单位长度得，当时，即时，函数单调递增，故选B．【点睛】本题考查三角函数的相关性质，主要考查三角函数图像的相关性质以及三角函数图像的变换，函数向左平移个单位所得到的函数，考查推理论证能力，是中档题．5、C【解析】

延长交于点，延长交于点，可推出，，所以有，然后利用平面向量共线的推论即可求出【详解】如图，延长交于点，延长交于点设正六边形ABCDEF的边长为则在中有，，所以，所以有，同理可得因为所以因为三点共线，所以有，即故选：C【点睛】遇到三点共线时，要联想到平面向量共线的推论：三点共线，若，则.6、C【解析】

先由题意求出，再结合基本不等式，即可求出结果.【详解】因为是与的等比中项，所以，故，因为，，所以，当且仅当，即时，取等号；故选C【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，熟记基本不等式即可，属于常考题型.7、D【解析】

由，得，，即可得到本题答案.【详解】由，得，所以，，所以.故选：D【点睛】本题主要考查两角和的正切公式的应用以及特殊角的三角函数值.8、D【解析】

由几何体的三视图得该几何体是一个底面半径，高的扣在平面上的半圆柱，由此能求出该几何体的体积【详解】由几何体的三视图得：

该几何体是一个底面半径，高的放在平面上的半圆柱，如图，

故该几何体的体积为：故选：D【点睛】本题考查几何体的体积的求法，考查几何体的三视图等基础知识，考查推理能力与计算能力，是中档题．9、C【解析】

直接用向量的坐标运算即可得到答案.【详解】由，.故选：C【点睛】本题考查向量的坐标运算，属于基础题.10、C【解析】∵与终边相同的角的集合为∴令，得∴与角终边相同的角是故选C二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】

先判断球心在上，再利用勾股定理得到半径，最后计算体积.【详解】三棱锥的底面是腰长为2的等腰直角三角形，侧棱长都等于为中点，为外心，连接，平面球心在上设半径为故答案为【点睛】本题考查了三棱锥外接球的体积，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.12、-16【解析】

设等差数列的公差为，利用通项公式求出即可.【详解】设等差数列的公差为，得，则.故答案为【点睛】本题考查了等差数列通项公式的应用，属于基础题.13、0【解析】

利用向量加、减法的几何意义可得，再利用向量数量积的定义即可求解.【详解】根据向量减法的几何意义可得：,即,所以.故答案为：0【点睛】本题考查了向量的加、减法的几何意义以及向量的数量积，属于基础题.14、【解析】

根据饼状图中的岁以下本科学历人数和占比可求得岁以下教师总人数，从而可得其中的具有研究生学历的教师人数，进而得到所求的百分比.【详解】由岁以下本科学历人数和占比可知，岁以下教师总人数为：人岁以下有研究生学历的教师人数为：人岁以下有研究生学历的教师的百分比为：本题正确结果：【点睛】本题考查利用饼状图计算总体中的数据分布和频率分布的问题，属于基础题.15、【解析】

根据题意将三棱锥放入对应长方体中，计算各个面的面积相加得到答案.【详解】三棱锥，平面，，，画出图像：易知：每个面都是直角三角形.【点睛】本题考查了三棱锥的侧面积，将三棱锥放入对应的长方体是解题的关键.16、①②④【解析】

根据新定义的直角距离，结合具体选项，进行逐一分析即可.【详解】对①：因为是轴上的两点，故，则，①正确；对②：根据定义因为，故，②正确；对③：根据定义，当且仅当时，取得最小值，故③错误；对④：因为，由不等式，即可得，故④正确.综上正确的有①②④故答案为：①②④.【点睛】本题考查新定义问题，涉及同角三角函数关系，绝对值三角不等式，属综合题.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】

（1）根据二倍角和诱导公式可得的值；（2）根据面积公式求，然后利用余弦定理求，最后根据正弦定理求的值.【详解】（1）,，所以原式整理为,解得：（舍）或,;（2），解得，根据余弦定理,,，代入解得：,.【点睛】本题考查了根据正余弦定理解三角形，属于简单题.18、（1）；（2）奇函数，证明见解析；（3）见解析【解析】

（1）解不等式即得函数的定义域；（2）利用奇偶性的定义判断函数的奇偶性并证明；（3）对a分类讨论，利用对数函数的单调性解不等式.【详解】（1）由题得，所以，所以函数的定义域为；（2）函数的定义域为，所以函数的定义域关于原点对称，所以,所以函数f(x)为奇函数.(3)由题得，当a＞1时，所以,因为函数的定义域为，所以；当0＜a＜1时，所以.【点睛】本题主要考查对数函数的定义域的求法，考查函数奇偶性的判断和证明，考查对数函数的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.19、（1）；（2）；（3）.【解析】

（1）由三角恒等变换的公式，化简，代入即可求解.（2）在中，由余弦定理，结合基本不等式，求得，即可得到答案.（3）设，在中，由余弦定理，求得，分别在和中，利用余弦定理，列出方程，即可求解.【详解】（1）由题意，在中，，则又由.（2）在中，由余弦定理可得，即，可得，当且仅当等号成立，所以的最大值为.（3）设，如图所示，在中，由余弦定理可得，即，即，解得，在中，由余弦定理,可得，……①在中，由余弦定理,可得，……②因为，所以，由①+②，可得，即，解得，即.【点睛】本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，同角三角函数基本关系式，余弦定理在解三角形中的综合应用，其中解答中熟记三角恒等变换的公式，以及合理应用正弦定理、余弦定理求解是解答的关键，着重考查了转化思想与运算、求解能力，属于基础题．20、（1）；（2）.【解析】

（1）设正项等比数列的公比为q(q>0)，由已知列式求得公比，则等比数列的通项公式可求；（2）由，求解等差数列的公差，则数列的前n项和可求．【详解】(1)设正项等比数列的公比为q(q>0)，由,得，则q=3.；(2)设等差数列的公差为d，由，得，∴d=3.∴数列的前n项和【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式与求和公式，考查了等比数列的通项公式，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.21、(1)见解析；(2)中位数为29.2，分布特点见解析；(3)3720元【解析】

（1）根据频数和频率之间的关系计算，即可得到答案；（2）根据频率分布直方图利用中位数两边频率相等，列方程求出中位数的值，进而得出结论；（3）根据频率分布直方图求出休闲跑者，核心跑者，精