2011考研数学一真题及其解析路上的幸福哥

的的曲线y(x1)(x2)2(x3)3(x4)4的拐点是 (A)(1,0) (B)(2,0) (C)(3,0) (D)(4,0) 设数列anlima0S k

ak(n1, an(x1)n的收敛域为 (A)(1,1] (C)[0,2) (D)(0,2]f(x)f(x0，f(0)0zf(x)lnf(y)在点(0,0)处取得极小值的一个充分条件是 f(0)1，f(0)0 (B)f(0)1，f(0)0(C)f(0)1，f(0)0 (D)f(0)1，f(0)0 设I 4lnsinxdx，J 4lncotxdx，K 4lncosxdx，则I,J,K的 (A)IJK (B)IKJ(C)JIK (D)KJIP

1 0 0 0，

1 0 0

1

0 (A)PP (B)P1P (C)PP (D)PP11 2的的 2 Ax0的一个基础解系，则A*x0的基础解系可为 的的设F1(x)，F2(x)为两个分布函数，其相应的概率密度f1(x)，f2(x)是连续函数， f1(x)f2(x) (B)2f2(x)F1(x)(C)f1(x)F2(x) (D)f1(x)F2(x)f2(x)F1(x)设 量X与Y相互独立，且E(X)与E(Y)存在，记UmaxX,YVminX,Y则E(UV) (D)E(X)E(V) 曲线y0tantdt(0x4)的弧长s 微分方程yyexcosx满足条件y(0)0的解为y 22F(xy01t2dt

y

y2dz 若二次曲面的方程x23y2z22axy2xz2yz4 y24z24，则a X,YEXY2

ln(1x)求极限lim( )ex1 22y的的

ln(1)

n (Ⅱ)设an 已知函数f(x,y)具有二阶连续偏导数， f(1,y)0，f(x,1)0D的的Ixyf''(xy)dxdyD 1,2,3)T3,4,a)T

1 11 0 11 11分)设随量X与Y的概率分布分别X01P1/2/Y01P1/1/1/PX2Y21求二维随量(X,Y)的概率分布ZXYX与Y的相关系数XY（23（ yx1,y1,y0yx2)2y2(x2y y(x3)3,y3(x3)2,y6(x y(x4)4,y4(x4)3,y12(x yx3)P(xP(3)0yx30x3两侧，二阶导数符号变化，n

k (1)n

f(x)lnf(y) f(0)lnf(0)0x | fxf(y f(0)0,f(0)0|y f(y)A2

x2 f(x)lnf(y) f(0)lnf f( [fBxy|(0,0)f(x)f(y)|(0,0) f 的的C2

f(y)f(y)[f( [f(0)]2 y2 f f2( f f fACB2f(0)]2lnf(0)0,f(0)1,f(0)0(4)【答案】的的【解析】因为0x4

时，0sinxcosx1cotx又因lnx是单调递增的函数，所以lnsinxlncosxln 0 0B 1 APBABP1 0 1BE 0 PBEBP1PAPP1，故选 2r(A)413，即130， A0．由此可得A*A|A|EO， rA3130，所以2,3,4线性无关．又由于rA3，所以r(A*)1，因此A*x0的基础解系中含有413个线性无关的解向量．而,,线性无关，且为A*x0的解，所以,, f(x)F(x)f(x)F(x

dx

F(x)dF(x)F(x)dF f1F2(xf2F1(x为概率密度．(8)【答案】(B)．

dF(x)F(x)F(x)F(x)|1 的的

UmaxX,YXY

XYXY

VminX,YYX

XYX所以，UVXYE(UVEXY)EX)E(Y【答案】ln124secxdxsecxtan4secxdxsecxtan400 2)yexsinxyedx(excosxedxdxex(cosxdxex(sinxC)y(0)0,故C=0yexx(11)【答案】

1tan2xdxsec

sin1

y

ycosxysinxyy [1(xy)2 2x2|(0,2)4【解析】取S:xyz0,x2y21，取上侧，则由得S

ydydzxdzdxdxdy2zxyz'1,z'1. ydydzxdzdxdxdy [y(1)x(1)1]dxdy x2y2

x2y2 x2y2

(xy1)dxdydxdy特征值，故A的特征值为0，1，4．二次型所对应的矩阵 1 3 3由于Ai0，故 10a 【答案】22 量X,Y服从N,;2,2;0．因为0，所 量X,Y独立，所以X,Y2．从而有EXY2EXEY2DYE2Y22ln(1x)lim[ln(1x)1].【解析】 ]ex1 ex limln(1x)

x1x2o(x2)2 1x2o(x2lim e2的的zfxyz

fxy,yg(x)yfxy,yg(x) 的的

f1xy,yg(x)yf11(xy,yg(x))xf12(xy,g(x)f2xy,yg(x)yg(x)f12[xy,yg(x)]xf22[xy,yg(x)]gd2z

xx当x0时，令fx k,arctanfx

1x2x xRx1x 1x2x 2x 201x

1x2 1x2xR,gx00x0f'x0x0f'x0又由limfx

k1k limfxlim k xarctan所以当1k0时，由零点定理可知fx在(,0)，(0,)内各有一个零点；当1k0时，则fx在(,0)，(0,) 的的n显然f(x)在0,1上满 n f1f0ln11ln1ln11 n 1

，即：n

1 10 1 亦即：

ln111

n n n（II）设an lnn

k1n1 n n 1an1anklnn1klnnnln ln n1 n n数列an

1n

ln110得到 a， n n

n 1的的 an lnnln lnn k 1 nk1 23 n1ln1kln ln nlnn1 k1 12 n 1 an lnnln lnnlnn1lnn0 k 的的敛．(19)(本题满分11分)I I 0xdx0yfxy(x,y)dy0xdx0ydfx(x,1xdxyfx,y|11f'x,ydy

x1xdxf'(x,1)1fx'(x,y)dyxxf(x,1)0f(x,1)0xI 1 xf(x,y)|1f(x,f(1,y)f(x,xf(x,y)|1f(x,f(1,y)f(x, DfdxdyaD

1 1

1 2

1 2 a

4

a

10 )

31 3 4 1

5 【解析】(IA

1 0

1 11 1 为11,21，对应的特征向量分别为k11k10k22k20． A是三阶实对称矩阵，故不同特征值对应的特征向量相互正交，设30对应的特征向量为x,x, xx 即x1x32 解此方程组，得0,10T，故0kk 3 1 1,0,1T,2 1,0,1T, T令Q,,，则QAQ 0 A 2 0 0

1

2 0 0 22 22 1 0 20 0 0 00 （22（即PX0,Y1PX0,Y1PX1,Y00． PX0,Y0PX0PX0,Y1PX0,Y1 3PX1,Y1PY1PX0,Y113PX1,Y1PY1PX0,Y113PZ1PX1,Y113PZ1PX1,Y1133ZXYZZ01P(III)因为XY

D(X)D(Y)

EXYEXEY 的的DD(X)D(Y的的 EXYEZ 0 0，EY 0 0 （23（XXf(xx

22n (x i0 (xi0iL()f(x;) i

2

2 2

n(x ln(2) ；2 n

1

n

2

令d(2 0，解得 n(xi0)(II)

1nn(nn

)2

0 10X~N(,2)，令YX~N(0,2)，则2 Y2

E(

nn

Yi)E(Yi)D(Yi)[E(Yi)]

Y2)1D