待定系数法求递推数列通项公式

待定系数法求递推数列通项公式用待定系数法求递推数列通项公式初探求推数列列必由之路，特别是学习来说都是一大难点，递推生的观察、分析能力要求较公式法、迭乘法、迭加法、裂述方法难以完成，用待定系数数列。下面就分类型谈谈如何n+1nn1n+1naa边同时加上1，整理n+1nnnn+1nn+1n+1nnn+1n11nnn，该怎么办呢n+1nn+1nn+1n即a+q=p(a+q)因此，形如a=pa+q这一类型的数列，都可以利用待定系数法来求解。n1n+1nn+1nn+1nn+1nn11nnyy==q(q|x=paqnqraqq+r为首项，以p为公比lnp-1(p-1)2p-1J1p-1(p-1)2p-1nnn例题3.在数列{a}中，a=1,a=3a+2n,试求其通项a。n1n+1nn分析1：由于a=3a+2n与例题1的区别在于2n是指数式，可以用上面的思路进行n+1nnnn+1nnnn2n+12n+12222nnan1n+1nnn4加了，与原式并没有大的变化。所以只能运用思路1，在两边同时加上10人2n整理nnnnnnnnn+1n1)当s=0,即a=pa+rqn由例题3知，有两种思路进行变换，利用待定系数法构n+1nqnqqnq思路二：在两边同时加上qn的倍数，最终能变形为a+xqn+1=p(a+xqn)nn即r+r求出数列〈(a+r.qn)卜的通项，进一步求出{a}的通项。lnp一qJnaparqnsn+1nn+1n(n四：a=pa+qa+f(n)型(已知a,a其中f(n)可以为常数、n的多项式或指数式)n+2n+1n12n12n+23n+13nnn+2n+13n+1nn+1n1n+1n3nn对于形如a=pa+qa的递推数列，可以设a+xa=y(a+xa)展开，利用n+2n+1nn+2n+1n+1n于是数列{a+xa}就是以a+xa为首项，y为公比的等比数列，不难求出n+1n21{a+xa}的通项进一步利用相关即可求出a。n+1nn同理，a=pa+qa+f(n)当f(n)为非零多项式或者是指数式时，也可结合前n+2n+1na+xa=y(a+xa)+f(n)n+2n+1n+1n然后把a+xa看做一个整体就变为了前面的类型。nnn+1nn例题6.在数列{a}中，a=1,a=2a2，试求其通项a。n1n+1nn分析：此题和前面的几种类型没有相同之处，左边是一次式，而右边是二次式，关键na=2a2两边取对数，即n+1nnnn+1nn变形得nn+1nn+1nnln+1r-1Jln+1r-1Jn+1nn+1nn+1nnn+1n即可进一步得出{a}的通项。nnn分析：这是一个分式型数列，如果去分母变为3aa+2a-a=0后就无法进行处理n+1nn+1nnnann1(1)1(1)aa1nlaJnnnn+1n11左右两边与并不一致。但可以对照例题7的思路，取倒数之后分母会具有aa+2nn221323x+1因此a–=nna+2nn+13a+2nn+1n+1na+154a+15nna=22an+1–31an–3nn(2)则数列〈|a一n3|卜是我已知首项和公比的等比数列，进一步化简求出a。|a+1|nlnJnararn+1nrr(x)nnn〈12nna+x===1y.a+x+yna+x===1y.a+x+ynn11n11n11求出a。nn2 n+1n2ynnn分析：本题属于分式非线性递推式，与类型五又有相似之处，所以我们可以结合类型n与原式比较，对应系数相等，得程得12n+1nn+1n下手，两式相比得a+3(a+3)2 n+1=|n|nna-1(an