向量组的线性相关性

第四章向量空间向量组的线性相关性向量组的秩线性方程组解的结构向量空间向量的内积第一节向量组的线性相关性向量组的线性组合第四章向量空间向量组的线性相关性将矩阵A列分块与行分块，有称为A的列向量组，

称为A的行向量组．

一般矩阵与向量组的关系：反之，m个n维列向量所组成的向量组构成一个n×m矩阵．

m个n维行向量所组成的向量组构成一个m×n矩阵．n维列向量矩阵n维行向量矩阵一、向量组的线性组合定义1给定向量组，对于任何称为向量组V的一个线性组合，称为

一组实数，向量这个线性组合的系数．对给定的向量，若存在一组数，使即是向量组的线性组合，则称可由向量组V线性表出．000即n维零向量可由任一n维向量组线性表出。【例1】对任一n维向量组及n维零向量0,有【例2】设n维向量组对任意n维向量即任一n维向量皆可由线性表出．问题：对给定的向量及向量组讨论：(1)如何判断能否由线性表出？(2)若能由线性表出，又如何求系数，使记则可否由线性表出能否找到x，使方程组是否有解r(A)是否等于结论：可由线性表出方程组有解，其中即且当时，线性表示式唯一．当时，线性表示式不唯一．【例3】设问可否由线性表出？【解】故不能由线性表出．定义2

给定向量组若每个都可由线性表出，则称向量组(I)可由向量组(II)线性表出．若两个向量组能相互线性表出，则称向量组(I)与(II)等价．(I)：，(II)：

由定义可知：1.对于任一组向量来说,不是线性相关就是线性无关.二、线性相关性的概念定义3给定向量组，若存在一组不全为零的数，使则称线性相关．若当且仅当时，才有则称线性无关．2.单个向量线性相关性质1

含有零向量的任一向量组必线性相关。性质2

若向量组有一线性相关的部分组，则其本身也线性相关。换言之，若一向量组线性无关，则其任一非空部分组均线性无关。问题：【例1】讨论n维标准单位向量的线性相关性．(其中为的第i列)【解】设有一组数，使即而线性无关具体给定，如何判断其线性相关性？讨论：结论：

记

记则是否线性相关能否找到非零向量x，使Ax=0

齐次方程组Ax=0是否有非零解r(A)是否小于m.线性相关Ax=0有非零解线性无关Ax=0只有零解【例2】注意：两个向量线性相关两向量的分量对应成比例两个向量线性相关的几何意义是两向量共线线性无关【例3】判断下列向量组的线性相关性【解法二】=0三个向量线性相关的几何意义是三向量共面.【解法一】线性相关线性相关性质3m个n维向量当n<m即向量维数小于向量个数时线性相关．性质4设，若r维向量组线性无关，则n维向量组也线性无关．即增加分量不改变向量组的线性无关性.反之若上述线性相关，则也线性相关．证明记则若线性无关，则r(A)=m

线性无关．

【例4】讨论【解法一】(用定义)设，即

【解法二】(用矩阵的秩)

【解法三】(用性质4)

的线性相关性．只有，故线性无关．故线性无关．将的第4,5,6个分量删去得线性无关．故线性无关．【例5】已知向量组线性无关，试证线性无关．设有，使即亦即因线性无关，故有由于系数行列式【证法一】(用定义)故方程组只有零解，结论得证.

【证法二】(用矩阵的秩)

（本例亦可用反证法）可对应记作B=AC．

由得r(B)=r(A)又由线性无关知r(A)=3

进而知向量组线性无关．线性相关的性质：3.有线性相关部分组的向量组必线性相关.线性无关向量组的任一非空部分组均线性无关.1.单个向量线性相关2.含有零向量的任一向量组必线性相关.4.m个n维向量当n<m即向量维数小于向量个数时线性相关．

或5.线性无关向量组的“加长”向量组必线性无关.或线性相关向量组的“截短”向量组必线性相关.线性组合与矩阵的关系：1.线性方程组的向量表示有解向量b可由系数矩阵A的列向量组线性表出2.若，则矩阵C的列向量组能由矩阵A的列向量组线性表示，B为这一表示的系数矩阵.同时，C的行向量组能由矩阵B的行向量组线性表示，A为这一表示的系数矩阵.即有亦即三、主要结论定理1

向量组(当时)线性相关中至少有一个向量可由其余m－1个向量线性表出．证明充分性：不妨设可由其余向量线性表出因这m个数不全为零，故线性相关．必要性：设线性相关．则有不全为0的数，使不妨设，则有即能由其余向量线性表示．而不是“每一个”定理2线性无关，线性相关

证法一(利用方程组解的判断)必要性（以上步骤均可逆，故充分性也成立.）可由线性表出且表达式唯一．线性无关线性相关即可由唯一线性表出．组证法二(利用定义)必要性(1)由已知可得，存在不全为零的数使从而（2）唯一性设所以表达式唯一.倘若则有由线性无关得与不全为零矛盾则有故得即(1)可否由线性表出？(2)可否由线性表出？(2)不可以【例】若线性相关，线性无关，问【解】(1)可以线性无关，线性相关可由线性表出反证若可以,则由(1)知可由线性表出,矛盾．定理3

设有向量组(I):与(II):若向量组(I)线性无关，且(I)可由(II)线性表出，则(即向量组(I)中向量个数不超过(II)中向量个数)复习：概念：判别：设1.线性表出：方程组：且当时，线性表示式唯一．当时，线性表示式不唯一．2.等价向量组：两个向量组能相互线性表出.复习：概念：2.线性相关：线性无关：当且仅当判别：设性质：有线性相关部分组