函数列与函数项级数

函数列与函数项级数第1页，共21页，2023年，2月20日，星期三

§1一致收敛性一、函数列及其一致收敛性二、函数项级数及其一致收敛性三、函数项级数的一致收敛性判别法首页×第2页，共21页，2023年，2月20日，星期三首页×设是一列定义在同一数集E

上的函数，称为定义在E

上的函数列，简记为{fn}或fn,n=1,2,...设x0

∈E,将x0

代入上述函数列，可得数列一、函数列及其一致收敛性若此数列收敛，则称x0

为函数列(1)的收敛点，若此数列发散，则称函数列(1)在x0

发散．第3页，共21页，2023年，2月20日，星期三首页×使函数列(1)收敛的全体收敛点构成的集合，称为函数列(1)的收敛域．若函数列(1)在数集D⊂E

上每一点都收敛，则称函数列(1)在数集D

上收敛．记极限函数为f,则有此极限的ε–N

的定义是：对任何x∈D,任给的ε>0,存在N>0,使得当n>N

时，总有

|fn(x)–f(x)|<ε其中N

既与ε有关也与x

有关．第4页，共21页，2023年，2月20日，星期三首页×对于函数列，我们不仅要研究它在哪些点上收敛，而更重要的是要研究极限函数所具有的解析性质：即连续性、可微性、可积性．为此讨论函数列的一致收敛性．

定义1

设函数列{fn}与函数f

都在数集D

上有定义,若对任给的ε>0,存在N>0,使得当n>N

时，对任何x∈D,都有

|fn(x)–f(x)|<ε则称{fn}在D

上一致收敛于f

，记为第5页，共21页，2023年，2月20日，星期三首页×若函数列{fn}在D

上一致收敛，则必在D

上每一点都收敛，反之，不一定成立．

例2

证明函数列在(–∞,+∞)上一致收敛．证对任给的ε>0,取N=1/ε,当n>N

时，对任何x∈(–∞,+∞),都有所以函数列在(–∞,+∞)上一致收敛于0．第6页，共21页，2023年，2月20日，星期三首页×函数列{fn}在D

上不一致收敛于f

的定义：若存在ε0>0,对任何N>0,都存在n0>N

，且存在x0∈D,使得

|fn0(x0)–f(x0)|≥ε0则称{fn}在D

上不一致收敛于f

．第7页，共21页，2023年，2月20日，星期三首页×例证明函数列{xn}在(0,1)上不一致收敛于0．证取对任何正整数N

，当n>N

时，取则有所以{xn}在(0,1)上不一致收敛于0．第8页，共21页，2023年，2月20日，星期三首页×

定理13.1(函数列一致收敛的柯西准则)函数列{fn}在D

上一致收敛于f

的充要条件是：对任给的ε>0,存在N>0,使得当n,m>N

时，对任何x∈D,都有

|fn(x)–fm

(x)|<ε．第9页，共21页，2023年，2月20日，星期三首页×

定理13.2

函数列{fn}在D

上一致收敛于f

的充要条件是：第10页，共21页，2023年，2月20日，星期三首页×设{un(x)}是定义在数集E

上的一个函数列，表达式二、函数项级数及其一致收敛性称为定义在E

上的函数项级数，简记为或称为函数项级数(9)的部分和函数列．第11页，共21页，2023年，2月20日，星期三首页×若x0

∈E

时，数项级数收敛，则称x0

为函数项级数(9)的收敛点，若此级数发散，则称函数项级数(9)在x0

发散．函数项级数(9)在数集D⊂E

上每一点都收敛，则称函数项级数(9)在

D

上收敛．级数(9)全体收敛点构成的集合D

称为级数(9)的收敛域．级数(9)在收敛域D

上的和S(x)称为级数(9)的和函数．记为第12页，共21页，2023年，2月20日，星期三首页×即函数项级数(9)的一致收敛性定义如下：

定义2

设{Sn(x)}是函数项级数∑un(x)的部分和函数列．若{Sn(x)}在数集D

上一致收敛于函数

S(x)，则称函数项级数∑un(x)在数集D

上一致收敛于函数S(x)，或称∑un(x)在D

上一致收敛．由于函数项级数的一致收敛性是由其部分和函数列的一致收敛性来定义的，所以由函数列一致收敛的定理可推出相应的函数项级数的定理：第13页，共21页，2023年，2月20日，星期三首页×

定理13.3(一致收敛的柯西准则)函数项级数∑un(x)在D

上一致收敛的充要条件是：对任给的ε>0,存在N>0,使得当m>n>N

时，对任何x∈D,都有

|Sm(x)–Sn

(x)|<ε．或第14页，共21页，2023年，2月20日，星期三首页×

推论函数项级数∑un(x)在D

上一致收敛的必要条件是：函数列{un(x)}在D

上一致收敛于零．设函数项级数∑un(x)在D

上的和函数为S(x),称

Rn(x)=S(x)–Sn

(x)为函数项级数∑un(x)的余项．

定理13.4

函数项级数∑un(x)在D

上一致收敛于

S(x)的充要条件是第15页，共21页，2023年，2月20日，星期三首页×例4

函数项级数的收敛域为(-1,1)，其和函数为级数在[-a,a](a<1)上一致收敛于而在(-1,1)上不一致收敛于第16页，共21页，2023年，2月20日，星期三首页×证级数的部分和函数为由此可得级数∑xn

在[-a,a]上一致收敛．第17页，共21页，2023年，2月20日，星期三首页×但在(-1,1)上由此可知级数∑xn

在(-1,1)上不一致收敛．第18页，共21页，2023年，2月20日，星期三首页×

定理13.5

（魏尔斯特拉斯判别法）设函数项级数∑un(x)定义在数集D

上，若对一切

x∈D

，有

|un(x)|≤Mn,n=1,2,...且正项级数∑Mn

收敛，则函数项级数∑un(x)在数集D

上一致收敛．三、函数项级数的一致收敛性判别法此判别法也称为M

判别法或优级数判别法．称级数∑Mn

为级数∑un(x)的优级数．第19页，共21页，2023年，2月20日，星期三首页×

定理13.6

（阿贝尔判别法）设⑴∑un(x)在区间I

上一致收敛；⑵对每一个x∈I

，{vn(x)}是单调的；⑶{vn(x)}在I

上一致有界，即存在M>0,使得对任何x∈I

，

|vn(x)|≤M,n=1,2,...则函数项级数∑un(x)vn(x)在数集I

上一致收敛．第20页，共21页，2023年，2月20日，星期三首