完全平方公式与平方差公式（第2课时）-2022-2023学年七年级数学下册教材配套教学课件(沪科版)

第8章整式乘法与因式分解第3节完全平方公式与平方差公式第2课时平方差公式沪科版七年级下册配套课件1.理解并掌握平方差公式的推导和应用.（重点）2.理解平方差公式的结构特征，并能运用公式进行简单的运算.（难点）学习目标多项式与多项式是如何相乘的？

（x

＋3)(x＋5）=x2＋5x＋3x＋15=x2＋8x＋15.

(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn复习巩固

从前，有－个狡猾的地主，把－块边长为20米的正方形土地租给张老汉种植．第二年，他对张老汉说：“我把这块地的－边减少5米，相邻的另－边增加5米，继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何?”张老汉－听，觉得好像没有吃亏，就答应道：“好吧．”回到家中，他把这事和邻居们－讲，大家都说：“张老汉，你吃亏了!”他非常吃惊．你知道张老汉是否吃亏了吗?导入新课情境导入①（x

＋1)(x－1）；②（m

＋2)(m－2）；③（2m＋1)(2m－1）；④（5y

＋z)(5y－z）.算一算：看谁算得又快又准.讲授新课一平方差公式的认识合作探究②（m＋2)(m－2）=m2－4③（2m＋1)(2m－1)=4m2－1④（5y＋z)(5y－z)=25y2－z2①（x

＋1)(x－1）=x2－1想一想：这些计算结果有什么特点？你发现了什么规律？=x2

－12=m2－22=(2m)2－12=(5y)2－z2用自己的语言叙述你的发现.两数和与这两数差的积,等于这两数的平方的差.(a+b)(a−b)=a2−b2两数和与这两数差的积,等于这两数的平方差.公式变形:(a–b)(a+b)=a2−b2(b+a)(−b+a)=a2−b2知识要点平方差公式：平方差公式注意：这里的两数可以是两个单项式，也可以是两个多项式等．(a+b)(a-b)=a2-b2

相同为a

相反为b适当交换合理加括号练一练：口答下列各题：

(l)(－a+b)(a+b)=_________.(2)(a－b)(b+a)=__________.(3)(－a－b)(－a+b)=________.(4)(a－b)(－a－b)=_________.a2－b2a2－b2b2－a2b2－a2(1+x)(1-x)(-3+a)(-3-a)(0.3x-1)(1+0.3x)(1+a)(-1+a)填一填：

aba2－b21x－3a12－x2(－3)2－a2a1a2－120.3x1(0.3x)2－12(a-b)(a+b)典例精析例1利用平方差公式计算：(1)(5＋6x)(5－6x)；(2)

(x－2y)(x+2y)；(3)

(－m+n)(－m－n)解：（1）原式=52－(6x)2=25－36x2；（2）原式＝x2－(2y)2＝x2

－4y2；（3）原式＝(－m)2－n2=m2－n2.注意：1.先把要计算的式子与公式对照;

2.哪个是a

?哪个是b?(1)(－7m＋8n)(－8n－7m)；(2)(x－2)(x＋2)(x2＋4)．解：(1)原式=(－7m)2－(8n)2

＝49m2－64n2；(2)原式=(x2－4)(x2＋4)

＝x4－16.练一练利用平方差公式计算：aabba－ba－b将图中纸片只剪一刀，再拼成一个长方形．这张纸片的面积可以表示为a2－b2这张纸片的面积可以表示为此长方形的面积还可表示为

(a＋b)(a－b)(a＋b)

(a－b)＝a2－b2你有什么发现呢？a2－b2aabba－ba－b你能用多项式乘法法则说明(a＋b)(a－b)＝a2－b2

的正确性吗?解：(a＋b)(a－b)＝a2－ab＋ba－b2

＝a2－b2．这个公式称为平方差公式．两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差．用语言叙述为：判断下列各式可以利用平方差公式吗？为什么？①

②③④⑤

⑥

例1用平方差公式计算：（1）（2）（3）例2

用简便方法计算:（1）101×99；（2）

×补充练习用简便方法计算：（1）22×18；

（2）

×

1．小组内相互列举可以运用平方差公式计算的多项式乘多项式的算式；

2．利用平方差公式进行计算时容易出现哪些问题.

将长为（a+b），宽为（a－b）的长方形，剪下宽为b的长方形条，拼成有空缺的正方形，你能表示剪拼前后的图形的面积关系吗？(a+b)(a−b)

=

a2−b2

？

二平方差公式的几何验证合作探究aabba+ba-bbb几何验证平方差公式aabba2-b2abbb(a+b)(a-b)(a+b)(a-b)=a2-b2a-ba-baaa2baa2-b2abbaab12(a+b)(a-b)12(a+b)(a-b)baab(a+b)(a-b)=a2-b2自主探究

想一想：（1）计算下列各式，并观察他们的共同特点：6×8=4814×16=22469×71=48997×7=49

15×15=225

70×70=4900

平方差公式的运用三（2）从以上的过程中，你发现了什么规律？请用字母表示这一规律，你能说明它的正确性吗？(a+b)(a−b)=a2−b2典例精析例2

计算:(1)103×97;(2)118×122.解:103×97=(100+3)(100－3)=1002－32=10000–9=9991；解:118×122=(120－2)(120＋2)=1202－22=14400－4=14396.注意：不能直接应用公式的，要经过变形才可以应用例3

计算：(1)a2(a+b)(a－b)+a2b2;(2)(2x－5)(2x+5)–2x(2x－3).解：(1)原式=a2(a2－b2)+a2b2=a4－a2b2+a2b2=a4;(2)原式=(2x)2－25－(4x2－6x)=4x2－25－4x2+6x=6x－25.例4

先化简，再求值：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)，其中x＝1，y＝2.解：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)＝4x2－y2－(4y2－x2)＝4x2－y2－4y2＋x2＝5x2－5y2.当x＝1，y＝2时，原式＝5×12－5×22＝－15.方法总结：利用平方差公式先化简再求值，切忌代入数值直接计算．例5

王大伯家把一块边长为a米的正方形土地租给了邻居李大妈．今年王大伯对李大妈说：“我把这块地一边减少4米，另外一边增加4米，继续原价租给你，你看如何？”李大妈一听，就答应了．你认为李大妈吃亏了吗？为什么？解：李大妈吃亏了．理由如下：原正方形的面积为a2，改变边长后面积为(a＋4)(a－4)＝a2－16.∵a2＞a2－16，∴李大妈吃亏了．当堂练习1.下列式子可用平方差公式计算吗?为什么?如果能够，怎样计算?(1)(a+b)(a−b)；(2)(a−b)(b−a);(3)(a+2b)(2b+a);(4)(a−b)(a+b);(5)(2x+y)(y−2x).(不能)(不能)(不能)(能)(不能)−(a2

−b2)=

−a2

+b2;2.下面各式的计算对不对？如果不对，应当怎样改正？（1）（x+2)(x－2)=x2－2;（2）（－3a－2)(3a－2)=9a2－4.不对改正：x2－4不对改正方法1：原式=－[(3a+2)(3a－2)]=－(9a2－4)=－9a2+4;改正方法2：原式=(－2－3a)(－2+3a)=(－2)2－(3a)2=4－9a2.3.已知a=7202,b=721×719；则（）A.a=bB.a>bC.a<bD.a≤b4.97×103=()×()=().5.(x+6)(x－6)－x(x－9)=0的解是______.100－3100+31002－32x=4

B

（1）(a+3b)(a-

3b)；解：原式=(2a+3)(2a－3)=(2a)2－32=4a2－9；=a2－9b2；解：原式=a2－(3b)2（2）(3+2a)(－3+2a)；6.利用平方差公式计算：（3）(－2x2－y)(－2x2+y)；解：原式=(-2x2)2－y2=4x4－y2.

（4）(－5+6x)(－6x－5).解：原式=(－5+6x)(－5－6x)=(－5)2－(6x)2=25－36x2.解：(1)原式=(50+1)(50-1)=502－12=2500-1=2499；(3)原式=(9x2－16)－(6x2+5x-6)

=3x2－5x－10.（1）51×49；（3）(3x+4)(3x-4)-(2x+3)(3x-2).（2）13.2×12.8；7.利用平方差公式计算：(2)原式=(13＋0.2)×(13－0.2)＝132－0.22＝169－0.04＝168.96.2.若A=(2+1)(22+1)(24+1)，则A的值是______．解析：A=(2+1)(22+1)(24+1)=[(2－1)(2+1)(22+1)(24+1)]÷(2－1)=[(22－1)(22+1)(24+1)]÷(2－1)=[(24－1)(24+1)]÷(2－1)=(28－1)÷(2－1)=28－1．28－1能力拓展：1.(x－y)(x+y)(x2+y2)；解：原式=(x2－y2)(x2+y2)=x4－y4；补充练习题：1、下列各式中，能用完全平方公式分解的是（）A、a2+b2+ab

B、a2+2ab-b2

C、a2-ab+2b2D、-2ab+a2+b22、下列各式中，不能用完全平方公式分解的是（）A、x2+y2-2xy

B、x2+4xy+4y2

C、a2-ab+b2D、-2ab+a2+b2DC3、下列各式中，能用完全平方公式分解的是（）A、x2+2xy-y2

B、x2-xy+y2

C、D、4、下列各式中，不能用完全平方公式分解的是（）A、x4+6x2y2+9y4B、x2n-2xnyn+y2n

C、x6-4x3y3+4y6D、x4+x2y2+y4DD5、把分解因式得（）A、B、6、把分解因式得（）A、B、BA7、如果100x2+kxy+y2可以分解为（10x-y)2,那么k的值是（）A、20

B、-20C、10D、-108、如果x2+mxy+9y2是一个完全平方式，那么m的值为（）A、6

B、±6C、3D、±3BB9、把分解因式得（）A、B、C、D、10、计算的结果是（）A、1B、-1C、2D、-2CA思考题:1、多项式:(x+y)2-2(x2-y2)+(x-y)2能用完全平方公式分解吗?2、在括号内补上一项，使多项式成为完全平方式：X4+4x2+()1.用完全平方公式计算：课后练习1：2.下面的计算是否正确？如有错误，请改正.不对改正不对改正3.填空：(1)(a+____)2=a2+4ab+4b2；(2)(2a+____)2=4a2+4ab+b2；(3)(3x-____)2=9x2-12xy+______；(4)(-x-____)2=x2+_____+1.2b2y4y2b12x4.一个正方形的边长为acm(a>6)．若边长减