中考数学总复习专题基础知识盘点七：相似形

一、单元知识网络：

二、考试目标要求：

通过具体操作与观察，掌握相似多边形及成比例线段的概念，并进一步掌握相似比、相似多边形的性质；掌握相似三角形的概念、表示方法、判定方法，举例说明相似三角形的应用，并熟练应用相似三角形的性质和判定解决有关相似三角形的周长与面积问题；会利用位似知识把图形放大或缩小，会用位似进行图形变换.

具体目标：

⑴了解比例的基本性质，了解线段的比、成比例线段的概念；

⑵通过具体实例认识图形的相似，探索相似图形的性质，知道相似多边形的对应角相等，对应边成比

例，周长的比等于对应边的比，面积的比等于对应边比的平方；

⑶了解两个三角形相似的概念，探索两个三角形相似的条件；

⑷了解图形的位似，能够利用位似将一个图形放大或缩小；

⑸通过典型实例观察和认识现实生活中物体的相似，利用图形的相似解决一些实际问题(如利用相似测

量旗杆的高度).

三、知识考点梳理

考点一、图形的相似

1.相似图形：

我们把形状相同的图形叫做相似图形.

也就是说：两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到的.(全等是特殊的相似图形).

2.相似多边形：

对应角相等，对应边的比相等的两个多边形叫做相似多边形.

3.相似多边形的性质：

相似多边形的对应角相等，对应边成的比相等.

4.相似比：

相似多边形对应边的比称为相似比.

相似多边形的周长的比等于相似比，相似多边形的面积的比等于相似比的平方.

考点二、相似三角形

1.相似三角形的定义：

形状相同的三角形是相似三角形.

2.相似三角形的表示方法：

用“∽”表示，读作相似于.如：△ABC和△DEF相似，可以写成△ABC∽△DEF，也可以写成△DEF∽△ABC，读作△ABC相似于△DEF.

3.相似三角形的性质：

(1)相似三角形的对应角相等，对应边的比相等.

(2)相似三角形对应边上的高的比相等，对应边上的中线的比相等，对应角的角平分线的比相等，都等

于相似比.

(3)相似三角形的周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方.

4.相似三角形的判定：

(1)平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；

(2)如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；

(3)如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似；

(4)如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.

(5)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和一条直角边的比对应相等，那么

这两个三角形相似.

5.相似三角形应用举例

相似三角形的知识在实际生产和生活中有着广泛的应用，可以解决一些不能直接测量的物体的长度问题，加深学生对相似三角形的理解和认识.

考点三、位似

1.位似图形的定义：

两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，不经过交点的对应边互相平行，像这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫位似中心.

2.位似图形的分类：

(1)外位似：位似中心在连接两个对应点的线段之外.

(2)内位似：位似中心在连接两个对应点的线段上.

3.位似图形的性质

位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上；

位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比；

位似图形中不经过位似中心的对应线段平行。

4.位似图形与相似图形的区别

位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未必能构成位似图形。

5.作位似图形的步骤

第一步：在原图上找若干个关键点，并任取一点作为位似中心；

第二步：作位似中心与各关键点连线；

第三步：在连线上取关键点的对应点，使之满足放缩比例；

第四步：顺次连接截取点。

6.位似图形的坐标变化规律：

在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k.

四、规律方法指导

1.数形结合思想

结合两个图形相似，得出对应角相等，对应边的比相等，这样可以由题中已知条件求得其它角的度数和线段的长.对于复杂的图形，采用将部分需要的图形(或基本图形)“抽”出来的办法处理.

2.分类讨论思想

在运用平行线分线段成比例定理，或给出两条线段的比而没有指明两条线段的大小，或两个三角形没有指明对应关系，或在画位似图形变换等知识解题或画图形时，注意分类讨论.

3.化归与转化思想

在运用相似解决数学问题时，会将相似三角形对应边上的比转化为对应边上的高的比、对应边上的中线的比、对应角的角平分线的比、相似三角形的周长的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方等知识，通过解题以后的反思，优化解题过程，总结解题经验，提炼数学思想方法，把握知识的整体结构，把求证的线段之间的关系转化易证、易求的另一种关系.

4.注意观察、分析、总结

用相似解决实际问题是中考的热点，是对三角形知识的进一步认识，做题时要看清对应关系，准确推理.会总结两个相似图形各个对应量的关系，以及位似图形的坐标变化规律.添加辅助平行线是获得成比例线段和相似三角形的重要途径.找相似找不到，找中间比.方法：将等式左右两边的比表示出来.经典例题精析

类型一、图形的相似

1．在比例尺1：10000000的地图上，量得甲、乙两个城市之间的距离是8cm，那么甲、乙两个城市之间的实际距离应为km.

考点：比例性质.

思路点拨：地图上的比例尺是一种比例关系，即图上距离与实际距离的比.

解析：1：10000000=8：80000000，即实际距离是80000000cm=800km.

2．将一个菱形放在2倍的放大镜下，则下列说法不正确的是()

A.菱形的各角扩大为原来的2倍B.菱形的边长扩大为原来的2倍

C.菱形的对角线扩大为原来的2倍D.菱形的面积扩大为原来的4倍

考点：相似图形的定义和性质.

解析：从放大看到的菱形和原来的菱形相似，放大镜只能放大边长，而不能放大角.所以B、C正确，A不正确.D中相似图形的面积比等于相似比的平方，所以D也正确.故选A.

3．在同一时刻物高与影长成比例，小华量得综合楼的影长为6米，同一时刻她量得身高米的同学的影长为米，则可知综合楼高为__________.

考点：比例线段的基本性质，同一时刻物高与影长的比相等.

解析：，则楼高==16，故填16米.

4．若四边形ABCD∽四边形，且AB：=1：2，已知BC=8，则的长是()

考点：相似图形的性质，相似四边形对应边的比等于相似比.

解析：因为四边形ABCD∽四边形，所以AB：=BC：=1：2

即=2BC=2×8=16，故选B.

5．下列多边形中，一定相似的是()

A.两个矩形B.两个菱形C.两个正方形D.两个平行四边形

考点：多边形相似的定义.

解析：A中两个矩形只能满足对应角相等，而对应边不一定成比例；B中两个菱形只满足对应边成比例，而对应角不一定相等；D中两个平行四边形对应边不一定成比例，对应角也不一定相等；C中两个正方形满足对应角相等，对应边成比例.故选C.

总结升华：判断两个多边形是否相似，必须同时具备对应角相等，对应边成比例.

举一反三：

【变式1】下列命题中正确的命题是()

A.相似多边形是全等多边形B.不全等的图形不是相似多边形

C.全等多边形是相似多边形D.不相似的图形可能是全等图形

解析：全等多边形是特殊的相似多边形，相似比为1.故选C.

【变式2】证明：正六边形ABCDEF与正六边形相似.

考点：边数相同的正多边形相似的判定.

证明：∵正六边形的每个内角都等于120°

∴∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′，

∠D=∠D′，∠E=∠E′，∠F=∠F′

又∵AB=BC=CD=DE=EF=FA

=====

∴=====

∴正六边形ABCDEF∽正六边形.

总结升华：边数相同的正多边形都相似.

【变式3】两地的距离是500米，而地图上的距离为10厘米，则这张地图的比例尺为()

：50：500：5000：50000

思路点拨：注意统一单位，将500米化成厘米或将10厘米化成米.

解析：图上距离与实际距离的比等于比例尺，即比例尺为10：50000=1：5000，故选C.

【变式4】如图，在一张长10cm，宽6cm的矩形纸片上，剪下一个矩形，若剩下的矩形(图中阴影部分)和原来的矩形相似，那么剩下的矩形的面积是多少cm2？

思路点拨：已知两个矩形相似，则它们的长的比等于宽的比.因此只能是矩形ABCD的长AD对应矩形CDEF的长CD，矩形ABCD的宽CD对应矩形CDEF的宽DE.

解析：∵矩形ABCD∽矩形CFED，∴即

解得DE=，∴S矩形CDEF=CD×DE=6×=.

类型二、相似三角形

6．已知：如图，∠ADE=∠ACD=∠ABC，图中相似三角形共有()

(A)1对(B)2对(C)3对(D)4对

考点：本题考查三角形相似的基本定理与判定定理的运用.

思路点拨：有两角对应相等的两个三角形相似.

解析：△ADE∽△ABC，△ACD∽△ABC，△ADE∽△ACD，故选C

7．下列判断中，正确的是()

(A)各有一个角是67°的两个等腰三角形相似

(B)邻边之比都为2：1的两个等腰三角形相似

(C)各有一个角是45°的两个等腰三角形相似

(D)邻边之比都为2：3的两个等腰三角形相似

考点：本题要求运用相似三角形的判定定理.

思路点拨：设计出反例淘汰错误的选项.

解析：A不成立的原因是当底角为67°时，顶角为46°，另一个三角形的顶角为67°时，底角为°，这两个等腰三角形不相似.B两个等腰三角形的邻边之比都为2：1，结合三角形三边关系可知，这两邻边只能是腰和底的比为2：1，每个三角形三边之比均为腰：腰：底=2：2：不成立的原因也是顶角不等.D不成立的原因是当一个等腰三角形的腰与底的比是2：3时，另一个等腰三角形的腰与底的比为3：2，它们三边之比分别为2：2：3与3：3：2.故选B.

8．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，则图中的相似三角形共有()

对对对对

思路点拨：利用两组角对应相等的两个三角形相似判定.

解析：考虑Rt△ABC与Rt△ACD和Rt△CBD相似情况.除直角外，∠A为Rt△ABC和Rt△ACD的公共角，故Rt△ABC∽Rt△ACD，又∠B为Rt△ABC和Rt△CBD的公共角，故Rt△ABC∽Rt△CBD，可得Rt△ACD∽Rt△CBD，故选C.

9．如果两个相似三角形对应角平分线的比为16：25，那么它们的面积比为()

：5：25：225：625

考点：相似三角形的性质.

思路点拨：相似三角形对应角平分线的比等于相似比，面积比等于相似比的平方，所以相似三角形的面积比等于对应角平分线的比的平方.

答案：D.

10．如图，在边长为1的正方形网格上有P、A、B、C四点.

(1)求证：△PAB∽△PCA；

(2)求证：∠APB+∠PBA=45°.

考点：相似三角形的判定.

思路点拨：判定方法：两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似，或两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似.

解析：(1)∵PC=1，PA=，PB=5，

∵∠APC=∠BPA，∴△PAB∽△PCA；

(2)∵∠B=∠PAC∠ACB=45°，∴∠APB+∠PBA=∠APB+∠PAC=∠ACB=45°.

11．如图，某测量工作人员与标杆顶端F、电视塔顶端在同一直线上，已知此人眼睛距地面米，标杆为米，且BC=1米，CD=5米，求电视塔的高ED.

考点：利用相似三角形的性质和判定解决实际问题.

思路点拨：过A点作AH⊥ED，构造三角形，并证明△AFG∽△AEH，再利用相似三角形的对应边的比相等求出结论.

解：过A点作AH⊥ED，交FC于G，交ED于H.

由题意，可得：△AFG∽△AEH，∴，

即，解得：EH=米.

∴ED=+=米.

总结升华：判断两个多边形是否相似，必须同时具备对应角相等，对应边成比例.

举一反三：

【变式1】在△ABC中，DE∥BC，，若，求.

考点：比例的基本性质及相似三角形的面积比等于相似比的平方.

思路点拨：由得出，再利用DE∥BC可得△ADE∽△ABC

解：∵，∴.

∵在△ABC中，DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，

∴，即，∴.

【变式2】如图，△ABC是一块直角三角形的木块，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，AB=5cm，要利用它加工成一块面积最大的正方形木块，问按正方形CDEF加工还是按正方形PQRS加工？说出你的理由.

思路点拨：要加工成一块面积最大的正方形木块，有两种方法，利用相似三角形的判定和性质求出两个正方形的边长，比较大小即可.

解：(1)如图1，设正方形CDEF的边长为x，则有，得x=cm；

(2)如图2，设正方形PQRS的边长为y，作CN⊥AB于N交RS于M，而知CN=，

同样有得(cm)，x-y=＞0，故x＞y，

所以按正方形CDEF加工，可得面积最大的正方形.

【变式3】已知矩形ABCD，长BC=12cm，宽AB=8cm，P、Q分别是AB、BC上运动的两点.若P自点A出发，以1cm/s的速度沿AB方向运动，同时，Q自点B出发以2cm/s的速度沿BC方向运动，问经过几秒，以P、B、Q为顶点的三角形与△BDC相似？

思路点拨：用运动的时间t和速度表示线段的长，当△PBQ与△BDC相似时，利用对应边的比相等求出时间.

解析：设经x秒后，△PBQ∽△BCD，由于∠PBQ=∠BCD=90°，

(1)当∠1=∠2时，有：，

即；

(2)当∠1=∠3时，有：，

即

∴经过秒或2秒，△PBQ∽△BCD.

类型三、位似

12．下列图形中不是位似图形的是()

考点：位似图形的定义.

解析：A是以圆心为位似中心的图形，B、D根据定义可判断.C是相似但不是位似的图形.故选C.

13．如图，直角坐标系中△ABC的A、B、C三点坐标为A(7，1)、B(8，2)、C(9，0).

请在图中画出△ABC的一个以点P(12，0)为位似中心，相似比为3的位似图形(要求与△ABC同在P点一侧)；

考点：位似图形的画法

思路点拨：连接位似中心P和△ABC的各顶点，并延长，使PA′=3PA，PB′=3PB，PC′=3PC

连接、、，则得到所要画的图形.

解：画出，如图所示.

14．如图，D，E分别AB，AC上的点.

(1)如果DE∥BC，那么△ADE和△ABC是位似图形吗？为什么？

(2)如果△ADE和△ABC是位似图形，那么DE∥BC吗？为什么？

考点：会利用位似图形的定义判定两个图形是位似图形，会利用位似图形的性质解决问题.

思路点拨：(1)可先证明△ADE和△ABC相似，对应边在同一直线上或平行，再找出对应顶点的连线交于一点A可判定是位似图形.

(2)利用位似图形的性质，位似图形是相似图形.从而得到对应角相等，可得DE∥BC.

解：(1)△ADE和△ABC是位似图形.理由是：

DE∥BC，所以∠ADE和=∠B，∠AED=∠C，∴△ADE∽△ABC.

又∵点A是△ADE和△ABC的公共点，点D和点B是对应点，点E和点C是对应点，

直线BD与CE交于点A，∴△ADE和△ABC是位似图形.

(2)DE∥BC.理由是：△ADE和△ABC是位似图形，

∴△ADE∽△ABC，∴∠ADE=∠B，∴DE∥BC.

总结升华：位似图形重点考查学生理解图形变换的意义，利用数形结合的思想解决问题.

举一反三：

【变式1】如图，在边长均为1的小正方形网格纸中，△OAB的顶点O，A，B均在格点上，且O是直角坐标系的原点，点A在x轴上.以O为位似中心将△OAB放大，使得放大后的△OA1B1与△OAB对应线段的比为2：1，画出△OA1B1(所画△OA1B1与△OAB在原点两侧)；

考点：位似图形坐标变换规律.

思路点拨：问题关键是确定位似图形各个顶点的坐标：如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为2，那么位似图形对应点的坐标的比等于2或-2.由图形可知，A点坐标为(-2，0)，B点坐标为(-1，2)，要求所画△OA1B1与△OAB在原点两侧，所以相似比为-2，即A1点坐标为(4，0)，B1点坐标为(2，-4).

解：如图，△OA1B1就是△OAB放大后的图象.

【变式2】如图，用下面的方法可以画出△AOB的“内接等边三角形”，阅读后证明相应的问题.

画法：(1)在△AOB内画等边△CDE，使点C在OA上，点D在OB上；

(2)连结OE并延长，交AB于点E′，过E′作E′C′∥EC，交OA于点C′，作E′D′∥ED，交OB于点

D′；

(3)连结C′D′，则△C′D′E′是△AOB的内接三角形.

请判断△C′D′E′是否是等边三角形，并说明理由.

考点：重点考查阅读理解能力和知识的迁移能力.

思路点拨：由画法可知，△CDE和△C′D′E′是位似图形.

答：△C′D′E′是等边三角形.

证明：∵C′E′∥CE，∴△OEC∽△OE′C′，

∴，∠C′E′D′=∠CED=60°，

∴△C′D′E′∽△CDE.∵△CDE为等边三角形，

∴△C′D′E′为等边三角形.中考题萃

1.(海南省2分)如图所示，Rt△ABC∽Rt△DEF，则cosE的值等于()

A.B.C.D.

2.(贵阳市3分)如果两个相似三角形的相似比是，那么它们的面积比是()

A.B.C.D.

3.(重庆市4分)若△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的相似比为2：3，则S△ABC：S△DEF为()

：3：9C.：：2

4.(常德市3分)如图，已知等边三角形ABC的边长为2，DE是它的中位线，则下面四个结论：(1)DE=1，

(2)AB边上的高为，(3)△CDE∽△CAB，(4)△CDE的面积与△CAB面积之比为1：4.其中正确的有()

个个个个

5.(青海省3分)如图，是由经过位似变换得到的，点是位似中心，分别是

的中点，则与的面积比是()

A.B.C.D.

6.(湘潭市3分)如图，已知D、E分别是的AB、AC边上的点，且S△ADE：S四边形DBCE=

1：8，那么AE：AC等于()

：9：3：8：2

7.(江西省3分)下列四个三角形中，与左图中的三角形相似的是()

8.(湖北省黄石市3分)如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形(阴影部分)与左图中

相似的是()

9.(河北2分)图中的两个三角形是位似图形，它们的位似中心是()

A.点B.点C.点D.点

10.(威海市3分)如图，已知△EFH和△MNK是位似图形，那么其位似中心是点()

11.(乐山市3分)如下图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落点恰好在离网6米的位置上，则

球拍击球的高度h为()

A.C.D.

12.(青海省西宁市2分)如图，用放大镜将图形放大，应属于哪一种变换：___________(请选填：对称变

换、平移变换、旋转变换、相似变换).

13.(泰州3分)在比例尺为1：2000的地图上测得AB两地间的图上距离为5cm，则AB两地间的实际距离为

___________cm.

14.(福建省泉州市3分)两个相似三角形对应边的比为1：6，则它们周长的比为_____________.

15.(庆阳市4分)两个相似三角形的面积比S1：S2与它们对应高之比h1：h2之间的关系为__________.

16.(辽宁省大连市3分)如图，锐角三角形ABC的边AB和AC上的高线CE和BF相交于点D.请写出图中的一对

相似三角形__________________.

17.(天津市3分)如图，已知△ABC中，EF∥GH∥IJ∥BC，则图中相似三角形共有___________对.

18.(盐城3分)如图，两点分别在的边上，与不平行，当满足______条

件(写出一个即可)时，.

19.(重庆市4分)如图，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，且，若DE=3，BC=6，AB=8，

则AE的长为___________.

20.(浙江省丽水5分)如图，在已建立直角坐标系的4×4正方形方格纸中，△是格点三角形(三角

形的三个顶点都是小正方形的顶点)，若以格点、、为顶点的三角形与△相似(全等除

外)，则格点的坐标是___________.

21.(莱芜市9分)在Rt△ABC中，∠ACB=90°，中线AE与中线CD交于点O，AB=6.

(1)求证：AO：OE=2：1；

(2)求OC的长.

22.(湖北省武汉市6分)如图，点D，E在BC上，且FD∥AB，FE∥AC.求证：△ABC∽△FDE.

23.(山东省临沂市7分)如图，□ABCD中，E是CD的延长线上一点，BE与AD交于点F，.

(1)求证：△ABF∽△CEB；

(2)若△DEF的面积为2，求□ABCD的面积.

24.(南通市12分)如图，四边形ABCD中，AD=CD，∠DAB=∠ACB=90°，过点D作DE⊥AC，垂足为F，DE与AB相交于点E.

求证：AB·AF=CB·CD；

25.(广东省7分)如图，在△ABC中，BC>AC，点D在BC上，且DC=AC，∠ACB的平分线CF交AD于F，点E是AB的中点，连结EF.

(1)求证：EF∥BC.

(2)若四边形BDFE的面积为6，求△ABD的面积.

答案与解析

(提示：S△ADE：S四边形DBCE=1：8，则S△ADE：S△ABC=1：9，那么=1：3，故选B)

(提示：左图三角形可判断为直角三角形，则A、D选项可排除；两直角边的比为1：2