中学数学“一箭穿心”求最值 教案_第1页
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“一箭穿心”求最大值解题策略：定角定边辅助圆经典举例：（借于特教研群）如图，∠AOB=45°，边OA、OB上分别有两个动点C、D，连接CD，以CD为直角边作等腰Rt△CDE，且CD=CE，当CD长保持不变且等于2cm时，则OE长的最大值为______________.（请在图中画出点O的运动路径）真题在线：（2018广元利州一模：第14题）（3分）如图，∠XOY=45°，一把直角三角尺△ABC的两个顶点A、B分别在OX，OY上移动，其中AB=10，那么点O到顶点A的距离的最大值为．【解答】：∵=∴当∠ABO=90°时，点O到顶点A的距离的最大．则OA=AB=10．（正弦定理——高中知识：建议放弃）【解析】：以AB为斜边向外作等腰Rt△ABD，再以D为圆心，DA为半径作⊙D．点O的运动轨迹是优弧AOB，当点O运动到OA过圆心D时（OA为直径）时，线段OA有最大值10．【变式】：所有条件不变，那么点O到AB的距离的最大值为．【解析】：以AB为斜边向外作等腰Rt△ABD，再以D为圆心，DA为半径作⊙D．点O的运动轨迹是优弧AOB，当点O运动到“拱顶”处，OD、DE共线，点O到AB的距离的最大值为OD+DE=5+52.（2018广元利州一模：第24题）（12分）已知△ABC，以AC为边在△ABC外作等腰△ACD，其中AC=AD．如图1，若∠DAC=2∠ABC，AC=BC，四边形ABCD是平行四边形，则∠ABC=；（2）如图2，若∠ABC=30°，△ACD是等边三角形，AB=3，BC=4．求BD的长；（3）如图3，若∠ABC=30°，∠ACD=45°，AC=2，B、D之间距离是否有最大值？如有求出最大值；若不存在，说明理由．【解答】（1）解：∵AD∥BC，∴∠DAC=∠BCA．∠DAB+∠ABC=180°．∵AC=BC，∴∠ABC=∠BAC．∵∠DAC=2∠ABC，∴2∠ABC+2∠ABC=180°，∴∠ABC=45°（2）如图2，以AB为边在△ABC外作等边三角形△ABE，连接CE．∵△ACD是等边三角形，∴AD=AC，∠DAC=60°．∵∠BAE=60°，∴∠DAC+∠BAC=∠BAE+∠BAC．即∠EAC=∠BAD∴△EAC≌△BAD．∴EC=BD．∵∠BAE=60°，AE=AB=3，∴△AEB是等边三角形，∴∠EBA=60°，EB=3，∵∠ABC=30°，∴∠EBC=90°．∵∠EBC=90°，EB=3，BC=4，∴EC=5．∴BD=5．（3）在△ACD的外部作等边三角形△ACO，以O为圆心OA为半径作⊙O．∵∠ABC=∠AOC=30°，∴点B在⊙O上运动，作OE⊥DA交DA的延长线于E．在Rt△AOE中，OA=AC=2，∠EAO=30°，∴OE=OA=1，AE=，在

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