人教A版（2019）选择性必修第一册 椭圆同步练习（含解析）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页人教A版（2019）选择性必修第一册3.1椭圆同步练习一、单选题1．已知分别为椭圆的左，右焦点，为上顶点，则的面积为（

）A． B． C． D．2．阿基米德既是古希腊著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆的中心为原点，焦点、在轴上，椭圆的面积为，且离心率为，则的标准方程为（

）A． B． C． D．3．已知椭圆：的离心率为，则椭圆的长轴长为（

）A． B．4 C． D．84．椭圆的焦点为，点为椭圆上的动点若为钝角，点的横坐标的取值范围为（

）A． B． C． D．5．椭圆上一点到焦点的距离为2，是的中点，则等于（

）A．2 B．4 C．8 D．6．已知椭圆的左､右焦点分别是，，直线与椭圆交于，两点，，且，则椭圆的离心率是（

）A． B． C． D．7．已知是椭圆的左，右焦点，点A是椭圆上的一个动点，则的内切圆的半径的最大值是（

）A．1 B． C． D．8．已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，则A．a2=2b2 B．3a2=4b2 C．a=2b D．3a=4b9．如图，椭圆的中心在坐标原点顶点分别是，焦点分别为，延长与交于点，若为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围为（

）A． B．C． D．10．已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（

）A．13 B．12 C．9 D．611．设是椭圆的左､右焦点，若椭圆上存在一点P，使（O为坐标原点），且，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．12．已知椭圆的左，右两个焦点分别为，若椭圆C上存在一点A，满足，则椭圆C的离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．13．已知椭圆，过M的右焦点作直线交椭圆于A，B两点，若AB中点坐标为，则椭圆M的方程为（

）A． B． C． D．14．已知椭圆的右焦点和上顶点分别为点和点，直线交椭圆于两点，若恰好为的重心，则椭圆的离心率为（

）A． B．C． D．15．已知点是椭圆上的动点，、为椭圆的左、右焦点，为坐标原点，若是的角平分线上的一点，且，则的取值范围是（

）A． B． C． D．二、填空题16．已知椭圆：的右焦点为，直线经过椭圆的右焦点，交椭圆于，两点（点在第二象限）．若点关于轴的对称点为，且满足，则直线的方程是______．17．设椭圆的左、右焦点分别为，A是椭圆上一点，，若原点到直线的距离为，则该椭圆的离心率为____．18．已知椭圆，过点作直线l交椭圆C于A，B两点，且点P是AB的中点，则直线l的方程是__________.三、解答题19．求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）两个焦点的坐标分别为和，且椭圆经过点；（2）焦点在轴上，且经过两个点和；（3）经过点和点.20．已知椭圆：()的四个顶点组成的四边形的面积为，且经过点.过椭圆右焦点作直线与椭圆交于、两点.（1）求椭圆的方程；（2）若，求直线的方程.21．已知点在椭圆：（）上，且点到的左、右焦点的距离之和为.（1）求的方程；（2）设为坐标原点，若的弦的中点在线段（不含端点，）上，求的取值范围.22．如图，已知椭圆，矩形ABCD的顶点A，B在x轴上，C，D在椭圆上，点D在第一象限.CB的延长线交椭圆于点E，直线AE与椭圆､y轴分别交于点F､G，直线CG交椭圆于点H，DA的延长线交FH于点M.（1）设直线AE､CG的斜率分别为､，求证：为定值；（2）求直线FH的斜率k的最小值；（3）证明：动点M在一个定曲线上运动.答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页参考答案：1．D根据椭圆方程求出焦点坐标和点A的坐标，进而求出三角形的面积.【详解】由椭圆方程得..故选：D.2．C根据“逼近法”求椭圆的面积公式，及离心率为，即可求得的值，进而由焦点在轴上可得的标准方程.【详解】由题意可知，椭圆的面积为，且、、均为正数，即，解得，因为椭圆的焦点在轴上，所以的标准方程为.故选：C.3．C根据条件先计算出的值，再根据离心率求解出的值，最后根据长轴长为计算出长轴长.【详解】由题意知，所以，又因为，所以，所以椭圆的长轴长为.故选：C.4．B根据椭圆方程，得到，，设，根据为钝角，推出，再由集合椭圆的方程，即可求出结果.【详解】因为，为椭圆的两焦点，则，，设，则，，因为为钝角，所以，又∵，∴，∴.故选：B.本题主要考查求椭圆上点的横坐标的范围，涉及向量数量积的坐标表示，属于常考题型.5．B先利用椭圆定义得到，再利用中位线定理得即可.【详解】由椭圆方程，得由椭圆定义得又，为的中点，为的中点，线段为中位线，有.故选：B6．B根据椭圆的对称性可知，，设，由以及椭圆定义可得，，在中再根据余弦定理即可得到，从而可求出椭圆的离心率．【详解】由椭圆的对称性，得.设，则.由椭圆的定义，知，即，解得，故，.在中，由余弦定理，得，即，则，故.故选：B.7．D利用椭圆的定义即可求解.【详解】设的内切圆的半径为，由，则，，所以，，由，即，即，若的内切圆的半径最大，即最大，又，所以.故选：D8．B由题意利用离心率的定义和的关系可得满足题意的等式.【详解】椭圆的离心率,化简得,故选B.本题考查椭圆的标准方程与几何性质,属于容易题,注重基础知识､基本运算能力的考查.9．D由题意，就是与的夹角，所以与的夹角为钝角，从而有，结合即可求椭圆离心率的取值范围．【详解】解：由题意，设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距分别为，，，则，，因为就是与的夹角，所以与的夹角为钝角，所以，即，又，所以，两边同时除以，得，即，解得或，又，所以，所以椭圆离心率的取值范围为，故选：D．10．C本题通过利用椭圆定义得到，借助基本不等式即可得到答案．【详解】由题，，则，所以（当且仅当时，等号成立）．故选：C．11．B由向量的关系可得，由椭圆的定义及，可得，的值，在直角三角形中，由勾股定理可得，的关系，进而求出椭圆的离心率．【详解】解：设的中点为，由，即，所以，连接可得，所以，可得，又因为，所以，，在中，，即，可得：，解得，故选：．12．C根据题意可知当A为椭圆的上下顶点时，即可满足椭圆C上存在一点A，使得，由此可得，解此不等式可得答案.【详解】由椭圆的对称性可知，当A为椭圆的上下顶点时，最大，故只需即可满足题意，设O为坐标原点，则只需,即有，所以，解得，故选：C13．D设以及中点坐标，利用“点差法”得到之间的关系，从而得到之间的关系，结合即可求解出椭圆的方程.【详解】设，的中点，所以，又，所以，即，而，，所以，又，∴，即椭圆方程为：.故选：D.本题考查了已知焦点、弦中点求椭圆方程，应用了韦达定理、中点坐标公式，属于基础题.14．C由题设，利用为的重心，求出线段的中点为，将B代入直线方程得，再利用点差法可得，结合，可求出，进而求出离心率.【详解】由题设，则线段的中点为，由三角形重心的性质知，即，解得：即代入直线，得①.又B为线段的中点，则，又为椭圆上两点，，以上两式相减得，所以，化简得②由①②及，解得：，即离心率.故选：C.方法点睛：本题考查求椭圆的离心率，求解离心率在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出；②构造的齐次式，求出；③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解；④根据圆锥曲线的统一定义求解．15．A延长与交于点，由条件判断为等腰三角形，为的中位线，故，再根据的值域，求得的最值，从而得到结果.【详解】如图，延长与交于点，则是的角平分线，由可得与垂直，可得为等腰三角形，故为的中点，由于为的中点，则为的中位线，故，由于，所以，所以，问题转化为求的最值，而的最小值为，的最大值为，即的值域为，故当或时，取得最大值为，当时，在轴上，此时与重合，取得最小值为0，又由题意，最值取不到，所以的取值范围是，故选：A.该题考查的是与椭圆相关的问题，涉及到的知识点有椭圆的定义，椭圆的性质，角分线的性质，属于较难题目.16．由点关于轴的对称点为，且满足，由直线的斜率为求解.【详解】如图所示：椭圆：的右焦点为，由点关于轴的对称点为，且满足，所以，则，，所以直线的方程是，即．故答案为：.17．由，求得，过作，根据题意得到，根据，得到，整理得到，结合离心率的定义，即可求解.【详解】因为，不妨设点，其中，代入椭圆方程，可得，解得，所以，即，过作，因为原点到直线的距离为，即，由，可得，即，又由，整理得，即，因为，解得，即椭圆的离心率为.故答案为：.18．设，，，，利用“点差法”、线段中点坐标公式、斜率计算公式即可得出．【详解】解：设，，，，则，，．恰为线段的中点，即有，，，直线的斜率为，直线的方程为，即．由于在椭圆内，故成立．故答案为：．19．（1）；（2）；（3）.（1）根据题意，分析可得要求椭圆中c、a的值，计算可得b的值，将a、b的值代入椭圆的方程即可得答案；（2）根据题意，由椭圆经过点的坐标可得椭圆中a、b的值，将a、b的值代入椭圆的方程即可得答案；（3）根据题意，设要求椭圆的方程为，将点P、Q的坐标代入计算可得m、n的值，即可得答案．【详解】(1)由于椭圆的焦点在轴上，∴设它的标准方程为()，∴，，∴，故所求椭圆的标准方程为；(2)由于椭圆的焦点在轴上，∴设它的标准方程为().∴，，故所求椭圆的标准方程为；(3)设椭圆方程为(，且)，则得，∴所求椭圆的标准方程为.20．（1）；（2）.（1）根据题目所给四边形的面积得到，结合点在椭圆上列方程，由此求得，从而求得椭圆的方程.（2）当直线无斜率时，求得的坐标，判断出不成立.当直线有斜率时，设直线的方程为，将直线的方程与椭圆方程联立并写出根与系数关系，结合列方程，解方程求得的值，由此求得直线的方程.【详解】（1）四边形的面积为，∴，又点在：上，则，∴，，∴椭圆的方程为；（2）由（1）可知椭圆的右焦点，①当直线无斜率时，直线的方程为，则、，不成立，舍，②当直线有斜率时，设直线方程为将，代入椭圆方程，整理得，在椭圆内，恒成立，设、，则，，又，，即，解得，则直线的方程为：.求解有关直线和圆锥曲线的位置关系的问题，根与系数关系是解题的关键.21．（1）；（2）（1）本小题根据已知条件直接求出，，再求出椭圆方程即可.（2）本小题先设、两点，再将转化为只含的表达式，最后根据的范围确定的范围，即可解题.【详解】解：（1）∵点在椭圆：（）上，∴，又∵，∴，.∴椭圆的方程：（2）设点、的坐标为，，则中点在线段上，且，则，又，，两式相减得，易知，，所以，则.设方程为，代入并整理得.由解得，又由，则.由韦达定理得，，故又∵.∴的取值范围是.本题考查求椭圆的标准方程，相交弦的中点等问题，是偏难题.22．（1）证明见解析；（2）；（3）M在曲线上运动，证明见解析.（1）由对称性，设出点的坐标，求出直线，的斜率即可求证；（2）由直线的方程与椭圆方程联立利用韦达定理可求出点坐标，直线的方程与椭圆方程联立利用韦达定理可求出点坐标，即可表示出直线FH的斜率,利用基本不等式即可求最值；（3）求出直线的方程，令，可得点纵坐标用表示，利用点在椭圆上，相关点法可求动点的轨迹方程，即可求证.【详解】（1）由对称性，设，，，则，得，故，，则，（2）由，联立，由根与系数的关系可得，所以，所以，可得，又，联立，由根与系数的关系可得，所以，所以可得：，所以，由图知，所以即,当且仅当即取等.所以直线FH的斜率k的最小值为.（3）易知，令可得，所以，，所以，因为，所以，即M在曲线上.方法点睛：求轨迹方程的常用方法（1）直接法：如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量，如（距离和角）的等量关系，或几何条件简单明了易于表达，只需要把这种关系转化为的等式，就能得到曲线的轨迹方程；（2）定义法：某动点的轨迹符合某一基本轨迹如直线、圆锥曲线的定义，则可根据定义设方程，求方程系数得