天津市重点中学2021-2022学年高三上学期期末考试数学试题及参考答案

-2022学年第一学期高三期末考试数学姓名：___________班级：___________考号：___________总分：150分第I卷（选择题）一、选择题（本大题共12小题，共60分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.设集合A={−1,0,1}，B={1,3,5}，C={0,2,4}，则(A∩B)∪C=(

)A.{0} B.{0,1,3,5} C.{0,1,2,4} D.{0,2,3,4}2.命题“∃x0>0，eA.∀x>0，ex−1>x B.∀x<0，e3.函数f(x)=x3ex+1A. B. C. D.4.对两个变量y和x进行回归分析，得到一组样本数据：(x1,y1)，(x2A.由样本数据得到的回归方程y​=b​x+a​必过样本中心(x−,y−)

B.残差平方和越小的模型，拟合的效果越好

C.用相关指数R2来刻画回归效果，R2越小，说明模型的拟合效果越好5.设a=30.7，b=(13)−0.8，c=logA.a<b<c B.b<a6.已知三条不同的直线l，m，n和两个不同的平面α，β，下列四个命题中正确的是(

)A.若m/​/α，n//α，则m/​/n B.若l/​/m，m⊂α，则l/​/α

C.若l/​/α，l//β，则α/​/β D.若l/​/α，l⊥β，则α⊥β7.将函数y=sin xcos x−cos2x+1A.g(x)是最小正周期为2π的偶函数 B.g(x)是最小正周期为4π的奇函数

C.g(x)在[0,π2]上的最小值为−22 8.已知直线l：kx+y−2=O(k∈R)是圆C：x2+y2−6x+2y+9=0的对称轴，过点A(0,k)作圆C的一条切线，切点为B，则线段AB的长为A.2 B.22 C.3 D.9.已知fx为定义在R上的偶函数，当x≥0时，有fx+1=−fx，且x∈0,1时；fx=log2x+1，给出下列命题：①f2013+f−2014=0；②函数fx在定义域R上是周期为2的周期函数；③直线y=xA.0个 B.1个 C.2个 D.3个第II卷（非选择题）二、填空题（本大题共6小题，共30分）10.若复数z=(1+i)23+4i，则z11.(2x−18x312.已知抛物线y2=2px(p>0)上一点M(113.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“—”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是________．14.已知正数x，y满足x+y=1，则4x+2+1y+1的最小值为15.如图，在△ABC中，AB=4，AC=2，∠BAC=60°.已知点E，F分别是边AB，AC的中点，点D在边BC上．若DE⋅DF=134，则线段BD的长为三、解答题（本大题共5小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16.(本小题14分)在ΔABC中，3(Ⅰ)求∠B；(Ⅱ)若b=2，c=2a，求ΔABC的面积．(本小题15分)

在如图所示的几何体中，四边形ABCD为矩形，直线AF⊥平面ABCD，EF/​/AB，AD=2,AB=AF=2EF=1，点P在棱DF上.

(1)求证：AD⊥BF；

(2)若P是DF的中点，求异面直线BE与CP所成角的余弦值；

(3)若FP=13FD，求二面角D−AP−C18.(本小题15分)已知椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的左右焦点分别为F1，F2，上顶点为(1)求椭圆的标准方程；(2)过点F2的直线l(直线l的斜率不为−1)与椭圆交于P、Q两点，点P在点Q的上方，若3S▵F19.(本小题15分)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}是等比数列，满足a(1)求数列{an}(2)令cn=2Sn,(n为奇数)bn(n为偶数)，设数列{

(本小题16分)

已知函数f(x)=x(lnx−k−1)，k∈R．

(1)当x>1时，求函数f(x)的单调区间和极值；

(2)若对于任意x∈[e,e2]，都有f(x)<4lnx成立，求实数k的取值范围；

(3)若x1≠x2参考答案选择题C

2.C

3.D

4.C

5.D

6.D

7.C

8.D

9.D

填空题10.25

11.28

12.x=−4

13.516

14.94

15.316.解：(Ⅰ)在ΔABC中，由正弦定理，得3a所以3sin因为sinA≠0，

所以3所以tanB=因为0<B<π，

所以B=π(Ⅱ)因为b=2，c=2a，

由余弦定理b2=a2+c2−2accosB，

得4=

证明：(1)∵AF⊥平面ABCD，∴AF⊥AD，

又AD⊥AB，AB∩AF=A，AD⊥平面ABEF，

又BF⊂平面ABEF，∴AD⊥BF．

(2)解：∵直线AF⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴AF⊥AB，

由(1)得AD⊥AF，AD⊥AB，

∴以A为原点，AB，AD，AF所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，

则B(1,0,0)，E(12,0,1)，P(0,1,12)，C(1,2,0)，

∴BE=(−12,0,1)，CP=(−1,−1,12)，

设异面直线BE与CP所成角为θ，

则cosθ=|BE⋅CP||BE|⋅|CP|=4515，

∴异面直线BE与CP所成角的余弦值为4515．

(3)解：∵AB⊥平面ADF，∴平面ADF的一个法向量n1=(1,0,0)．

由FP=13FD18.解：(1)由ΔF1AB的周长为42，

则4a=42，解得a=2，

由直线AF2的斜率为−1，

则−bc=−1，

又a2=b2+c2，

所以b=c=1，

故椭圆的标准方程为x22+y2=1；

(2)由题意可知，直线AB的方程为y=−x+1，

联立方程组x22+y2=1y=−x+1，可得3x2−4x=0，解得x=0或x=43，

所以B(43,−13)，

故|AF2||BF2|=3，

因为3SΔF2BQ=2SΔF2AP，

则12⋅|BF2|⋅|QF2|sin∠QF2B=23×119.(1)解；设数列{an}的公差为d，数列{bn}的公比为q，则由a1=3，b1=1，及b2+所以an=2n+1，bn=2n−1(2)解：由(1)可得，Sn=n(n+2)，则C即CT=1−

20.(1)解：∵f(x)=(lnx−k−1)x(k∈R)，

∴f′(x)=1x⋅x+ln⁡x−k−1=lnx−k，

①当k≤0时，∵x>1，∴f′(x)=lnx−k>0，

函数f(x)的严格增区间是(1,+∞)，无严格减区间，无极值；

②当k>0时，令lnx−k=0，解得x=ek，

当1<x<ek时，f′(x)<0；当x>ek，f′(x)>0，

∴函数f(x)的严格减区间是(1,ek)，严格增区间是(ek,+∞)，

在区间(1,+∞)上的极小值为f(ek)=(k−k−1)ek=−ek，无极大值．

(2)解：∵对于任意x∈[e,e2]，都有f(x)<4lnx成立，

∴f(x)−4lnx<0对任意x∈[e,e2]成立，

即问题转化为(x−4)lnx−(k+1)x<0对于x∈[e,e2]恒成立，

即k+1>(x−4)lnxx对于x∈[e,e2]恒成立，

令g(x)=(x−4)lnxx，x∈[e,e2]，

则g′(x)=4lnx+x−4x2，

令t(x)=4lnx+x−4，x∈[e,e2]，则