(完整版)第三节曲面及其方程教案

11重庆科创职业学院授课教案课名：高等数学（工本0023）班级： 教研窒： 数理教研室编写时间： 课题：第四节空间曲面及其方程教学目的及要求：知道旋转曲面、柱面，了解常见的二次曲面的方程及图形。介绍空间曲线的各种表示形式。是为重积分、曲面积分作准备的，学生应知道各种常用立体的解析表达式，并简单描图，对投影等应在学习时特别注意。教学重点：旋转曲面、柱面空间曲线的一般表示形式空间曲线在坐标面上的投影教学难点：空间曲线在坐标面上的投影教学步骤及内容：旁批栏：一、曲面方程的概念曲面S和三元方程F(x,y,z)=O满足：(1)曲面S上的任意一点的坐标都满足方程 F(x,y,z)=O;(2)不在曲面S上的点的坐标不满足方程 F(x,y,z)=O；那么称方程F(x,y,z)=O为曲面S的方程，曲面S称为方程F(x,y,z)=O的图形(见课本P159页图9.23)我们通常知道平面方程式关于 x,y,z的三兀一次方程，所以平面是曲面的特殊情形，本节讨论一些常见的含 x,y,z的二次方程所表示的曲面， 称之为二次曲面。二、球面建立以M0(x0,y0,z0)为球心，R为半径的球面方程。设M(x,y,z)是球面上的任意一点(见图9.24),则有-M0MR2旁批栏:旁批栏:而MoM (x xo)2 (y y。)2 (z z。)2所以(xX。)2 (y y。)2 (z zo)2 R2这就是以点M0(x0,y0,z0)为球心，R为半径的球面方程。当x0 y0 z0 0时，得球心在原点，半径为 R的球面方程为2222xyzR三、柱面动直线I沿给定曲线C平行移动所形成的曲面，称为柱面。直线 I称为柱面的母线，定曲线 C称为柱面的准线。我们只讨论准线在坐标面内，母线平行于坐标轴的柱面。建立以 xoy面上的曲线C;f(x,y)=O为准线，母线平行于z轴的柱面方程。设M(x,y,x)是柱面上的任意一点，过点M的母线与xoy面的交点N—定在准线C上(见图9.26)。点N的坐标为(x,y,0);不论点M的竖坐标z取何值，它的横坐标x和纵坐标y都满足方程f(x,y)=0,因此所求柱面方程为f(x,y)=0在平面直角坐标系中，方程f(x,y)=0表示一条平面曲线，在空间直角坐4标系中，方程f(x,y)=0表示以xoy面上的曲线；fy)。为准线，母线四、 旋转曲面平面曲线C绕同一平面上定直线I旋转一周所形成的曲面，称为旋转曲面。定直线称为旋转轴。建立yoz面上的一条曲线C:f(y,z)=0, 绕z轴旋转一周所形成的旋转曲面的方程(见图9.31)设M(x,y,z)为旋转曲面上的任一点，过点 M做平面垂直于Z轴，交z轴于点P(0,0,z),交曲线C于点M°(0,yo，z。)，由于点M可以由点M。绕z轴旋转得到，因此有PMo(9.4.1)yPMo(9.4.1)yo,所以yo(9.4.2)yo又因为Mo在曲线C上，所以f(yo,Zo) 0,将(9.4.1),(9.4.2)代入上式，即得旋转曲面方程 f(.X2 y2,z)O可见，求平面曲线 f(y,z)=O绕z轴旋转的旋转曲面方程，只要将f(y,z)=o中的y换成.x2 y2而z保持不变，即得旋转曲面方程。同理，曲线f(y,z)=o绕y轴旋转的旋转曲面方程为f(y, x2z2,)o五、 几种常见的二次曲面椭球面单叶双曲面双叶双曲面椭圆抛物面 6双曲抛物面旁批栏:旁批栏:77双曲抛物面（鞍形曲面）方程为（p（p与q同号）当p>0，q>0时，其形状如图所示。3•双曲面单叶双曲面方程为2x~22x~2a2yb22z-1c双叶双曲面方程为2y_b2各种图形注意规律特点,可以写出其它的方程表达式。各种图形注意规律特点,可以写出其