解决排列组合问题的几个常见策略讲义-高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

解决排列组合问题的几个常见策略一、特殊元素和特殊位置优先策略、特殊元素有无策略【例1】由0，1，2，3，4，5可以组成多少个没有重复数字五位奇数．【解析】方法一：位置分析由于末位和首位有特殊要求，应该优先安排，以免不合要求的元素占了这两个位置．（1）先排末位共有（2）然后排首位共有（3）最后排其它位置共有由分步计数原理得方法二：元素分析第1类：没有0．（1）先排末位共有（2）排其它位置共有由分步计数原理得第2类：有0．（1）先排末位共有（2）排0，只有中间三个数位可选，共有（3）最后排其它位置共有由分步计数原理得综上，共有个符合条件的数字．方法三：间接法末位是奇数的排法有末位是奇数，首位是0的排法有∴共有个符合条件的数字．【方法总结】解决“元素”、“位置”问题时，有3种思考方向1、可以先确定特殊位置上的元素，再确定非特殊位置上的元素．本质上是应用分步计数原理．2、对于特殊元素，可以分为“有和无”两类思考.（1）“有特殊元素”的类，先确定特殊元素所在的位置，再去排其他位置上的元素；（2）“无特殊元素”的类，根据题意，直接利用排列的概念和排列数公式解决．3、从对立面思考问题，用总数减去对立面就是所求的.先不考虑限制条件（或是只考虑一个限制条件），计算出总排列数，再减去不符合要求的排列数．当限制条件有两个或两个以上时，若互不影响，则直接按分步解决；若相互影响，则先分类，然后在每一类中再分步解决．常常会使用的如下公式：二、相邻元素捆绑策略【例2】7人站成一排，其中甲乙相邻且丙丁相邻，共有多少种不同的排法．【解析】可先将甲乙捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排．由分步计数原理可得共有种不同的排法．【变式】用1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹1，5在两个奇数之间，这样的五位数有多少个？【解析】把1524当作一个小集团（即“捆绑”）与3排队共有种排法，再排小集团内部共有种排法，由分步计数原理共有种排法．【例3】5男生和5女生站成一排照像，男生相邻，女生也相邻的排法有种．【解析】【变式】计划展出10幅不同的画，其中1幅水彩画，4幅油画，5幅国画，排成一行陈列，要求同一品种的必须连在一起，并且水彩画不在两端，那么共有陈列方式有种数．【解析】由题意，水彩画只能在国画的整体和油画的整体之间，故有【例4】有5个不同的小球，装入4个不同的盒内，每盒至少装一个球，共有种装法．【解析】需要分步进行（1）从5个球中选出2个捆绑成一个整体共有种方法（2）把上一步的整体和剩余的3个球看作4个元素，然后装入4个不同的盒内有种方法根据分步计数原理，共有种装法．【方法总结】要求某几个元素必须排在一起的问题，可以用捆绑法来解决问题．即将需要相邻的元素合并为一个元素，再与其它元素一起作排列，同时要注意合并元素内部也可能需要排列．三、不相邻问题插空策略【例5】一个晚会的节目有4个舞蹈，2个相声，3个独唱，舞蹈节目不能连续出场，则节目的出场顺序有多少种？【解析】分步进行（1）排2个相声和3个独唱共有种，（2）上一步排好后形成6个空隙，将舞蹈节目放入空隙即可，共有种不同的方法由分步计数原理，共有种出场顺序．【变式】7人站成一排，其中甲乙相邻，但丙丁不相邻，共有多少种不同的排法【解析】甲乙相邻看作一个整体，和除了丙丁的3个人形成4个整体，4个整体排好后，形成5个空隙，因此有种不同的排法．【例6】某电视台连续播放6个广告，其中有3个不同的商业广告、2个不同的宣传广告和1个公益广告，要求最后播放的不能是商业广告，宣传广告与公益广告不能连续播放，2个宣传广告也不能连续播放，则有多少种不同的播放方式？【解析】第一类：最后一位是宣传广告，（1）先排最后一位，有种方法（2）由于“宣传广告与公益广告不能连续播放，2个宣传广告也不能连续播放”，则倒数第二位就是商业广告．种方法．（3）排前四位，剩下一个宣传广告，一个公益广告，两个商业广告，此时宣传和公益不能相邻，故先排两个商业广告，然后宣传和公益插空，故有种方法由分步计数原理，共有种播放方式．第二类：最后一位是公益广告（1）先排最后一位，有1种方法（2）由于“宣传广告与公益广告不能连续播放，2个宣传广告也不能连续播放”，则倒数第二位就是商业广告．种方法．（3）排前四位，剩下两个宣传广告，两个商业广告，此时宣传广告不能相邻，故先排两个商业广告，然后两个宣传广告插空，故有种方法由分步计数原理，共有种播放方式．综上，共有72＋36＝108种播放方式．有时候，需要先排好的元素，没有顺序之分，但并不影响后续的插空．【例7】某排共有10个座位，若4人就坐，每人左右两边都有空位，那么不同的坐法有多少种？【解析】由题意，4人不能相邻．不妨将这4人看作自己带座位，故还有6个空位．这6个空位形成7个空隙，但是首、尾空隙不坐人，故还有5个空隙供4个人带座位插入，故有种坐法．【变式】1、马路上有编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9的九只路灯，现要关掉其中的3盏，但不能关掉相邻的2盏或3盏，也不能关掉两端的2盏，求满足条件的关灯方法有多少种？【解析】把此问题当作一个排队模型在6盏亮灯的5个空隙中插入3个不亮的灯有种2、某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形有种．【解析】方法一：直接分类第1类：第1、2、3枪命中．则第5、6、7、8枪命中一次，有4种情形．第2类：第2、3、4枪命中．则第6、7、8枪命中一次，有3种情形．第3类：第3、4、5枪命中．则第1、2、8枪命中一次，有3种情形．第4类：第4、5、6枪命中．则第1、2、8枪命中一次，有3种情形．第5类：第5、6、7枪命中．则第1、2、3枪命中一次，有3种情形．第6类：第6、7、8枪命中．则第1、2、3、4枪命中一次，有4种情形．综上，共有20种情形．方法二：捆绑插空结合不命中的4枪形成5个空隙，命中的4枪分为“3”和“1”两个集团，将这两个集团插空即可，但是先命中3枪、后命中3枪是有区别的，也即“3”和“1”两个集团有顺序之分，故有种情形．【方法情况】不相邻问题的大多数情况下，最后一步才是插空．因此，插空之前一定要明确到底有少个空隙可供插入，可以写出“插空”前某个排法，结合题中条件确定有多少个空隙．此外，还要注意不需要插空的元素是否有顺序之分，如有没有顺序区别就是组合问题，否则是排列问题．如果这些元素是相同的（例如空座位），则可直接插空．同时，也要注意需要插空的元素是否有顺序之分，如果没有顺序区别，则只用拿出符合要求数量的空隙即可，此时是组合问题．四、定序问题倍缩法、空位插入策略一般地，个元素排成一列，其中的个元素（）要按照固定的顺序进行排列，则共有种排法．这种方法称为倍缩法，也称除序法．【例8】现有8名学生需要排成一排，其中甲必须排在乙前面（可不相邻），有多少种不同排法？（除序法；空位法）【解析】方法一：倍缩法（除序法）无任何要求，相当于8人全排列，共种方法.甲、乙两人无要求的排法有种.显然，甲在乙前的排法是的其中一种∴甲必须排在乙前面的排法有种方法下面，换一种方法解决例10．虽然甲乙是特殊“元素”，但如果先考虑的话，会出现如下问题：甲乙之间是否有人；有人的话有多少个；除了甲乙之间的人，其他人到底在在甲前还是在乙后．因此，对于定序问题，我们可以先考虑不特殊的“元素”，再考虑甲乙．方法二：空位法想象从左到右有8个空位，分两步第1步：先排甲、乙外的的6人，相当于将6个人安排在8个空位中的6个空位，有种方法，第2步：排剩下的2个位置，由于甲乙顺序固定，剩下的两个位置只有1种排法由分步计数原理，共有种方法.可以注意到，，你能由此得到一个关于排列数的恒等式吗？【】方法三：组合占位法想象从左到右有8个空位，第1步：先排甲、乙，由于甲乙顺序固定，从有8个空位选出2个，甲乙和可直接就坐，有种方法.第2步：排剩下的6个位置，剩下6个人无限制，则有种方法由分步计数原理，共有种方法.【变式】某电视节目的主持人邀请年龄互不相同的5位嘉宾逐个出场亮相．其中，3位老者与2位年轻人都要分别按年龄从大到小的顺序出场，出场顺序有多少种？【分析】除序法和空位法结合．先用除序法排老者．剩下两个位置，年轻直接坐.【解析】想象从左到右有5个空位，分两步第1步：5个空位选3个空位，有种选法第2步：直接让3个老人按照年龄大小坐在选出的3个空位，只有1种坐法第3步：剩下的2位年轻人按年龄大小坐在剩下的2个空位，只有1种坐法由分步计数原理，共有种方法.【方法总结】定序问题可以用倍缩法，还可转化为占位插空模型处理．转化占位模型，由于有限制的元素顺序已定，于是就变成了组合问题．五、分组问题除法策略【例9】6本不同的书平均分成3堆，每堆2本共有多少分法？【解析】分三步取书得种方法，但这里出现重复计数的现象，不妨记6本书为ABCDEF，若第一步取AB，第二步取CD，第三步取EF该分法记为(AB，CD，EF)，则中还有(AB，EF，CD)，(CD，AB，EF)，(CD，EF，AB)(EF，CD，AB)，(EF，AB，CD)共有种取法，而这些分法仅是(AB，CD，EF)一种分法，故共有种分法．【变式】1、将13个球队分成3组，一组5个队，其它两组4个队，有种分法．【】2、某校高二年级共有六个班级，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排2名，则种不同的安排方案．【】【方法总结】分组问题，分组要一定要除以(为均分的组数)避免重复计数．【例10】将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少1名，则有种分配方案.

【用数字作答】【答案】36【解析】第1步：分组先将4名大学生分成3组，共种分法第2步：再将3组安排到3个乡镇，共种安排方法,由分步计数原理，不同的分配方案有种.

【变式】将5个安保队安排到三个区域内工作，每个区域至少有一个队，共有种安排方法.

【解析】

5个队分为3组，有两类分组方法：1、1、3和2、2、1，分组后再分配.第1类：按1、1、3分组后再分配.共有种.第2类：按2、2、1分组后再分配..由分类计数原理，共有150种方案.六、间接策略【例11】高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，其中工厂甲必须有班级去，每班去何工厂可自由选择，则不同的分配方案有（）．A．16种B．18种C．37种D．48种【解析】方法一：直接分类．按甲厂实践的班级数分类第1类：甲厂1个班．第2类：甲厂2个班．第3类：甲厂3个班．故共有种方案．方法二：间接法．原题意等价于“至少一个班去甲厂”没有限制，共有种方案．所有班级都不去甲厂，共有则种方案．【变式】将10名学生分成3组，其中一组4人，另两组3人但正副班长不能分在同一组，有多少种不同的分组方法．【解析】方法一：直接法——按照正副班长所在组的人数分类第1类：正副班长的其中1人所在的组共4人，另1人所在的组有3人，共有种分组方法【先分组，再从正副班长中选1人去2人组，再选1个3人组安排正副班长剩下的1人】第2类：正副班长所在的组均有3人，共有种分组方法综上，共有方法二：间接法没有限制的分组方法有种分组方法正副班长分在同一组有两类：第1类：正副班长所在的组有3人，种分组方法第2类：正副班长所在的组有4人，综上，正副班长不能分在同一组，共有种分组方法．【例12】从6名志愿者中选出4名分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作,其中甲、乙两名志愿者不能从事翻译工作,则不同的选派方案共有 ()A.96种 B.180种C.280种 D.240种【答案】D【答案】从6名志愿者中选出4名分别从事四项不同的工作,有A64=360(种)不同的情况,其中甲从事翻译工作有A53=60(种)情况,乙从事翻译工作有A53=60(种)情况,由于甲、乙两名志愿者不能从事翻译工作【变式】(2014重庆理)某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是()A．72B．120C．144D．168【答案】B【解析】方法一：直接法．3个歌舞类排好后，形成4个空隙，最中间的两个空隙一定要有节目，才能保证歌舞类互不相邻，分为两类第1类：最中间的两个空隙各有一个节目，则共有种第2类：最中间的两个空隙其中一个2个节目（一个小品、一个相声），另一个空隙一个节目，种综上，共有种排法．方法二：间接法先不考虑小品类节目是否相邻，保证歌舞类节目不相邻的排法共有A33·先排小品类相邻，由种再排相声，小品相邻后，只有首尾两个位置可以排，2种方法小品类看作整体，和一个相声节目形成3个空隙，将3个歌舞类节目插空即可，有则“歌舞类节目不相邻且小品类节目相邻”的情况有A33·A2∴于是符合题意的排法共有144-24=120种．【例13】六人站一横排，要求甲不站左端，乙不站右端，则有种不同的站法．【解析】方法一(间接法)：甲在左端的站法有Aeq\o\al(5,5)种，乙在右端的站法有Aeq\o\al(5,5)种，而甲在左端且乙在右端的站法有Aeq\o\al(4,4)种，故共有Aeq\o\al(6,6)－2Aeq\o\al(5,5)＋Aeq\o\al(4,4)＝504(种)站法．方法二(直接法)：从元素甲的位置进行考虑，可分两类：第一类，甲站右端有Aeq\o\al(5,5)种站法；第二类，甲站在中间4个位置之一，而乙不站在右端，可先排甲后排乙，再排其余4个人，有Aeq\o\al(1,4)Aeq\o\al(1,4)Aeq\o\al(4,4)种站法，故共有Aeq\o\al(5,5)＋Aeq\o\al(1,4)Aeq\o\al(1,4)Aeq\o\al(4,4)＝504(种)站法．【方法总结】1、当正面突破不方便时，可以考虑从对立面着手．常见关键词的否定正面词语等于大于小于对立面词语不等于不大于（）不小于（）正面词语是都是任意的对立面词语不是不都是某个正面词语所有的至多有一个至少有一个对立面词语某些至少有两个一个也没有2、一般步骤是：（1）不考虑限制条件（多个限制条件时可先只考虑一个限制条件，如例12【变式】），计算出总数，（2）再减去不符合要求的排列数．当限制条件有两个或两个以上时，①若“限制条件”互不影响（如例12），则分步解决；②若“限制条件”相互影响（如例13），则先分类，然后在每一类中再分步解决．此时，常会使用的如下公式：七、元素相同问题隔板策略【例14】有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个,有多少种分配方案？【解析】10个名额相互之间没有差别．将这10个名额左依次排好，会形成9个空隙，在这9个空隙放入6个隔板，第1块隔板左边的名额分配给1班，第1块隔板和第2块隔板之间的名额分配给1班……．因此有种方法．【变式】10个相同的球装5个盒中，每盒至少一有多少装法？【例15】方程有多少组非负整数解【解析】任何正整数减1就是非负整数，故方程的非负整数解等价于方程的正整数解，其中，故有组解．【变式】求这个方程组的自然数解的组数【方法总结】1、个相同的“球”放入（）个“盒子”，每个“盒子”至少一个，可以用块隔板，插入个元素排成一排的个空隙中，共有方法．2、个相同的“球”放入（）个“盒子”，可以有空盒，共有方法．八、综合应用无论如何，解决排列组合问题的关键是要合理地分步、分类．【例16】在一次演唱会上共10名演员，其中8人能唱歌，5人会跳舞，现要演出一个2人唱歌2人伴舞的节目，有多少选派方法．【解析】10演员中有5人只会唱歌，2人只会跳舞，3人为全能演员．方法一：以只会唱歌有多少人被选上为标准第1类：只会唱的5人中没有人选上唱歌人员共有种第2类：只会唱的5人中只有1人选上唱歌人员种第3类：只会唱的5人中只有2人选上唱歌人员有种，由分类计数原理共有种．方法二：以唱歌的2人中有多少个全能演员为标准第1类：唱歌的2人中没有全能演员，共有种第2类：唱歌的2人中有1名全能演员，共有种第3类：唱歌的2人中有2名全能演员，共有种，由分类计数原理共有种．如果以选上的4人中有多少个全能演员为标准分类的话，就会出现类中有小类的情况，不如上述方法直接．【变式】用数字0，1，2，3，4，5可以组成没有重复数字，且奇数数字与偶数数字相间排列的六位数共个．【答案】60【解析】6位数有6个数位，从高位开始，依次记为①②③④⑤⑥．本题含有0，而第①位不能是0，结合“奇数数字与偶数数字相间排列”，分为两类：第①位是奇数，第①位是偶数．第1类：第①位是奇数．则③⑤也