隐函数和由参数方程所确定的导数

第三四、同步练习解一、主要内（一）隐函数的导定

Fxy)0yxy为由此方程所确定的1°若yyxxD)是由Fx,y)0的隐函数，

F[x,y(x)] (x若隐函数yyxxD)可由Fx,y)方程xy310确定了一个隐函数：y可显化：y3x1.3°方程eyxy0y=y(x),x(-,0事实上，x0(,0) 总有唯一确定的y0， ey0x0y0.问题:隐函数不易显化或不能显化时如何求其导数隐函数求导法将方程中的y视为将方程中的y视为yx)(F(x,y)xdF(x,y)0dx

得到含导数y从中解出y隐函数求导法的应用——对数求导方法先在方程两边取对数,

设yf(x (f(x)可导,f(x)lnylnfx)hxd(lnydh(d(lnyd dd(lnyd(lnyd d

dy1d(lnydd(lny 1yh( yyh(x)f(x)h(x).y应用1)幂指函数

y[u(x)]v(

(ux 的导数

ln

vln

yvlnuuv yuv(vlnuuvu注意 yuvlnuvvuv1（二）由参数 确定的函数的导若参数

x(t确定与间的函数关系 (tyy(x),则称此函数为由参数 确定的函数

x yt2

t

消去参数 x2 y (

y

x2问题:消去参数 结论(由参数 y在xφ(ty

t1(

x(ty(t)都可导 且(t)

y[1xdydydtdy1(t) d

dt d

(t二、典型例例1方程xy310确定了函数yyx求(方法

此方程确定的函数 y311y[(1x)3]

1(1x)3(112321(1x)33 此方程确定了隐函数：yy(

h(x) xy3(x)1h(x)hx)xy3x)1[y3(x)]13y2(x)y(x 13y2(x)y(x)

(想uyx y(x)

3y2(例2 yxsinx(x0)的导数解(方法 lnysinxlnxycosxlnxsin

yxsinx(cosxlnxsinxx yxsin

esinxlny(xsinx)(esinxlnx(esinxlnx)(sinxlnxxsinx(cosxlnxsinx1x (x)x (为常数)(xsinx(sinx)xsinx(xxxx例 设ylnf(x),其中f(x)0且f(x)可导,求 y

f(

lnf(ln[ln[f(

f(x)f(x)y(lnx)x(x当f(x)y(lnx)x(xf(x当fx0

y

[f(x)] f(x[f(x

f(x y

f(x

)

f(xf(x

(f(x)0)例 螺

ρaθa0为(0πa)2解xcosacosysinaθsinθ再求dyddy

ddθasinθaθcosθsind d

acosθaθsin

cos直角坐标为(0,πa)的点对应的极角 θ dddθ2

πya2x0 2xya 例

e

x3t2 sinty1

dddd解t求导dx6tdeydysintedtd

ycostdyd

dy eycosd 1eysin dy dd dd

eycos(1eysint)(6t dd

t

eycos(1eysint)(6t

t

e2

e2于方程eysinty1中t0ey(0)0y(0)10,y(0)三、同步练y(sinx)tanx

23

,求xln (2

x2y2

1在点(2, 3)处的切线方程2求由方程y52yx3x702隐函数yy(x)在x=0处的导数 dxx设

yxex设yxxxxax(x 求y(x1)3x1 设

(x4)2ex3tt3 dx设 dy3 xt22

(0

t

ysiny确定函数yyx),dy四、同步练习解y(sinx)tanx

xlnx3

2x ,求y. 解yy1

(sinx)tanx(sec2xlnsinx xln

3(2x)2

12lnx

3(2

2 3(2x2y2 3求椭圆3

1在点(2

解xx2yy

x

916

x

433y 332

y

y3 32

3(x4 3x4y 3求由方程y52yx3x70隐函数yy(x)在x=0处的导数 dxx解xd(y52yx3x7)0dx 5y4dy2dy121x6d d dy1 5y4x0y0,故

x 设

yxex解(方法

dy1exd dx dy

1ex 等式两边同时对y求1dxexd dx d d d 1ex设yxxxxax(x 求解令 xxx, xax

则yyy lny1xxlnx y(xx)lnxxx1 (xx)(exlnx exlnx(lnx1)xxlnx1 y[(xx)lnx1lnxxx1]xx12 xax2x xylny

lnx,

y2 lnalnx x2 a a lnalnx x yy1[(xx)lnx1lnxxx1]xxa a lnalnx x

y(x3x(x3x

求 lnylnx11lnx12lnx43上式两边对xy

x

3(x

xy(x1)3x1

(x4)2e

x 3(x x3tt3 dx设 dy3t d dxdxdtdd d d