导函数的难题汇编-构造函数

高中数学专题:导数难题fh(x)=fhfgfh(x)=f(x)+f'(x)>0g(x)=【2019届高三第二次全国大联考（新课标Ⅲ卷)文科数学试题】设y=f(x)是定义在R上的可导偶函数，若当x>0时，f′(x)+2f(x)x<0，则函数A．0B．1C．2D．0或2【答案】A【解析】设h(x)=x2f(x)，因为函数f(x)为偶函数，所以h(x)也是R上的偶函数，所以h'(x)=x2f'(x)+2xf(x)=x2[f'(x)+2xf(x)]．由已知，x>0时，f'(x)+【新疆乌鲁木齐2019届高三第二次质量检测文科数学试题】f(x)的定义域是(0,+)，其导函数为f′x，若f′x−fxx=1−A．f(2)<2f(1) B．4f(3)<3f(4)C．当x=e时，f(x)取得极大值e2 D．当x>0时，【答案】C【解析】设hx=则h又fe=即1−12即h∵h′∴由h′x>0得1−lnx>0由h′x<0得1−lnx<0则h2>h1，即f22h3>h4，即f33当x=0时，hx取得极小值即当x>0，hx≥he=e，即fx∵当x=0时，hx取得极小值∴此时he=fe【黑龙江省龙东南七校2018-2019学年高二上学期期末联考数学（文)试题】定义在(0,+)上的可导函数f(x)满足f'x⋅x<fx，且fA．(3，＋∞) B．(0,3)∪(3，＋∞) C．(0,3) D．∅【答案】C【解析】令g（x）=f(x)x，∵f'x⋅x<f∴g'∴g（x）在(0,+)上单调递减，∵f（3）＝0，即g（3）＝0．∴g（x）=f(x)x＞0的解是0＜x【辽宁省庄河市高级中学2018-2019学年高二下学期开学考试数学（文)试题】已知定义域为R的奇函数y=f(x)的导函数为y=f′x，当x≠0时，f′x+fxxA．a<b<c B．b<c<a C．a<c<b D．c<a<b【答案】B【解析】设gx=xf(x)，则因为当x≠0时，f'x+fxx<0当x<0时,fx+xf所以gx在-∞，0上单调递增，在0，+又函数y=fx为奇函数，所以f-x=-f故函数gx所以a=f1=g1，b=-3f因为gx在0，+∞上单调递减，所以故b<c<a.【云南省玉溪市第一中学2019届高三下学期第五次调研考试数学（理)试题】设f'(x)为函数f(x)的导函数，且满足f(x)=13x3−ax2+bx+3,A．6+6ln6,+∞ B．4+ln2,+∞【答案】A【解析】f'(x)=x2−2ax+b，由f'(x)=f'(-x+6)，可得f'(x)的对称轴为x=3，所以−(−2a)2=3，所以a=3，所以f(x)=13x3−3x2+bx+3，由f(x)≥6xlnx+3可得13x3−3x2+bx+3≥6x【安徽省黄山市2019届高三毕业班第二次质量检测数学（文)试题】已知函数f(x)是定义在R上的可导函数，对于任意的实数x，都有f(−x)f(x)=e2x，当x<0时f'（x）+f（x）>0，若A．[0,23] B．[−2【答案】B【解析】令g(x)=exf(x)，则当x<0又g(−x)=e−xf(−x)=e从而eaf(2a+1)≥f(a+1)等价于因此g(−|2a+1|)≥g(−|a+1|),−|2a+1|≥−|a+1|,3【河南省洛阳市2018-2019学年第一学期期末考试高二数学试卷（文)】定义在R上的可导函数f（x）满足f'（x）+f（x）＜0，则下列各式一定成立的是（）A．e2f(2018)<f(2016)B．e2【答案】A【解析】解：可导函数f(x)满足f等价于f故(f(x)•令g(x)=f(x)•所以g(x)=f(x)•ex在所以g(2018)<g(2016)即f(2018)•即f(2018)•【甘肃省武威第一中学2018-2019学年高二下学期第一次阶段测试数学（理)试题】已知函数y=xf'(x)的图象如图所示(其中f'(x)是函数f(x)的导函数)，下面四个图象中A． B． C． D．【答案】C【解析】由函数y＝xf′（x）的图象可知：当x＜﹣1时，xf′（x）＜0，f′（x）＞0，此时f（x）增当﹣1＜x＜0时，xf′（x）＞0，f′（x）＜0，此时f（x）减当0＜x＜1时，xf′（x）＜0，f′（x）＜0，此时f（x）减当x＞1时，xf′（x）＞0，f′（x）＞0，此时f（x）增．【海南省海口市2019届高三高考调研测试数学（文科)试题】已知函数f(x)的导函数f'(x)满足f(x)+(x+1)f'(x)>0对x∈R恒成立，则下列判断一定正确的是（）A．f(0)<0<2f(1) B．0<f(0)<2f(1)C．0<2f(1)<f(0) D．2f(1)<0<f(0)【答案】B【解析】由题意设g(x)=(x+1)f(x)，则g'(x)=f(x)+(x+1)f'(x)>0，所以函数g(x)在R上单调递增，所以g(-1)<g(0)<g(1)，即0<f(0)<2f(1)．【内蒙古通辽实验中学2018-2019学年高二下学期第一次月考数学（理)试题】已知f(x)是定义在R上的可导函数,当x∈(1,+∞)时,(x−1)f'(x)−f(x)>0恒成立,若a=f(2),b=12f(3),c=55f(A．c<a<b B．b<a<c C．a<b<c D．a<c<b【答案】C【解析】解：设g（x）＝f(x)x−1，当x＞1时，g′（x）＝x−1即此时函数单调递增．则a＝f（2）＝g（2），b＝12f（3）＝g（3），c＝（55）f（5+1）＝g∵2<3<5+1∴g（2）＜g（3）＜g（5+1即a<b<c，【甘肃省兰州第一中学2018-2019学年高二3月月考数学（理)试题】设f0(x)＝sinx，f1(x)＝f0′(x)，f2(x)＝f1′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N，则f2019(x)＝（）A．sinx B．－sinx C．cosx D．－cosx【答案】D【解析】由题意可得：f0x=sinxf3x=据此可得fnx的解析式周期为4，注意到2019MOD4=3，故【宁夏六盘山高级中学2019届高三下学期第二次模拟考试数学（理)试题】定义域为R的奇函数f(x)，当x∈−∞,0时，fx+xf′A．a>b>c B．c>b>a C．c>a>b D．a>c>b【答案】D【解析】构造函数g因为f(x)是奇函数，所以gx当x∈−∞,0时，fx+xgx=xfxgx=xfx根据偶函数的对称性可知a=3f3,b=f所以a>c>b【黑龙江省大庆实验中学2018-2019学年高二下学期第二次月考数学（文)试题】已知f(x)的定义域为0,+∞，f′x为f(x)的导函数，且满足fxA．0,1 B．2,+∞ C．1,2 D．1,+∞【答案】B【解析】解：构造函数y=xf则y'=f所以y=xfx在0,+∞又因为f所以(x+1)f所以x+1<解得x>2或x<-1（舍）所以不等式fx+1>【四川省教考联盟2019届高三第三次诊断性考试数学（理)试题】已知定义在R上的函数f(x)关于y轴对称，其导函数为f′x，当x≥0时，不等式xf′x>1−fxA．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】因为xf'x>1−fx令Fx=xf又因为f(x)是在R上的偶函数，所以F(x)是在R上的奇函数，所以Fx是在R又因为exfe即Fex>Fax，又因为所以ex令gx=e因为a>0，所以gx在−∞,lna所以gxmin=a−a所以0<a<e.所以正整数a的最大值为2.【2019届湘赣十四校高三联考第二次考试（文数)试题】已知函数f(x+2)为R上的偶函数，且当x≥2时函数f(x)满足x3f'(x)+3x2f(x)=A．(1,3)B．(−∞,1)∪(2,3)C．(1,2)∪(3,+∞)D．(−∞,1)∪(3,+∞)【答案】A【解析】设h(x)=x则h'(x)=x∴x3化简可得f'(x)=e设g(x)=e∴g'(x)=e∴x∈[2,3)时，g'(x)<0，因此∴x∈(3,+∞)时，g'(x)>0，因此g(x)为增函数，∴g(x)≥g(3)=e∴f'(x)≥0，∴f(x)在[2,+∞)上为增函数.∵函数f(x+2)是偶函数，∴函数f(-x+2)=f(x+2)，∴函数关于x=2对称，又∵81f(x)<e即f(x)<f(3)，又f(x)在[2,+∞)上为增函数，∴2≤x<3，由函数关于x=2对称可得，1<x<3，【河南省六市2019届高三第一次联考数学（理)试题】函数f(x)是定义在(1,+∞)上的可导函数，f'(x)为其导函数，若f(x)+(A．(0,1) B．(0,2)【答案】C【解析】解：函数f(x)是定义在(1,+∞)上的可导函数，令φ(x)=(x-1)f(x)，则φ'x可知当x∈(1,2)时，并且0⋅f'x+f1=11-2x∈(2,+∞)时，函数φ(x)是单调增函数，则φ(e则不等式f(ex)<0即φ(ex)<φ(e2故不等式的解集为：{x|1<x<2}．【北京师范大学附属实验中学2018-2019学年高二第二学期3月考数学试题】设函数f(x)在R上可导，其导函数为f’x，且函数A．函数f(x)有极大值f2和极小值B．函数f(x)有极大值f2和极小值C．函数f(x)有极大值f-2和极小值D．函数f(x)有极大值f-2和极小值【答案】D【解析】解：由函数的图象可知，f′（﹣2）＝0，f′（2）＝0，并且当x＜﹣2时，f′（x）＞0，当﹣2＜x＜1，f′（x）＜0，函数f（x）有极大值f（﹣2）．又当1＜x＜2时，f′（x）＜0，当x＞2时，f′（x）＞0，故函数f（x）有极小值f（2）．【新疆乌鲁木齐市第七十中学2018-2019学年高二下学期第一次月考数学（理)试题】函数y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称，当x∈(0,+∞)时，f(x)+xf'(x)<0成立，若a=A．a>b>cB．c>a>bC．b>a>cD．a>c>b【答案】C【解析】函数y=fx−1的图象关于点(1,0)对称，所以函数f构造函数gx=xfx，g′xa=20.2f20.2=c=log124⋅flog124∵2>20.2>1>ln2>0∴g2<g20.2<g【广东省深圳市深圳中学2018-2019高二第二学期理科数学第一次月考试试题】设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且f′(x),g′(x)分别是f(x),g(x)的导数，当x<0时，fA．(−6,0)∪(6,+∞) B．(−∞,−6)∪(0,6) C．(−6,0)∪(0,6) D．(−∞,−6)∪(6,+∞)【答案】B【解析】构造函数Fx=fx⋅gx，故F−x=f−x⋅g−x=−fx⋅gx=−Fx，故函数Fx为奇函数，图像关于原点对称，且F0=0.当x<0时，F'【陕西省汉中市略阳天津高级中学、留坝县中学、勉县二中等12校2019届高三下学期校际联考数学（理)试题】已知奇函数f(x)的导函数为f'(x)，当x>0时，xf'(x)+f(x)>0，若a=f(1)，b=1ef(1e)，c=−ef(−e)，则A．a<b<c B．b<c<a C．a<c<b D．b<a<c【答案】D【解析】令g（x）＝xf（x），x∈（0，+∞），则g′（x）＝f（x）+xf′（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，所以g（x）为（0，+∞）上的递增函数，又g（-x）＝-xf（-x）=xf（x）=g（x）,所以g（x）为偶函数.因为e＞1＞1e，∴g（e）＞g（1）＞g（∴ef（e）＞f（1）＞1ef（又g（x）为偶函数，所以﹣ef（﹣e）＝ef（e），∴b【江西省上饶市2019届高三第二次模拟考试数学（文)试题】对任意x∈R，函数y=f(x)的导数都存在，若f(x)+f′(x)>0A．f(a)<f(0) B．f(a)>f(0)C．ea⋅f(a)<f(0)【答案】D【解析】令gx=ex⋅f(x),则g'x=exfx【河北省邢台市第一中学2018-2019学年高二下学期第一次月考数学（理)试题】设函数f（x）是定义在区间12，+∞上的函数，f'（x）是函数f（x）的导函数，且xf'A．12，1 B．（1，＋∞） C．（－∞，1）【答案】D【解析】构造函数g(x)=f(x)ln2x,x>12，则g'(x)=f'(x)ln2x−f(x)·12x·2(ln2x)2=x【陕西省汉中市略阳天津高级中学、留坝县中学、勉县二中等12校2019届高三下学期校际联考数学（文)试题】已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f′(x)，若f(x)+fA．(−∞,0) B．(0,+∞) C．(−∞,1) D．(1,+∞)【答案】B【解析】解：令g(x)=因为f所以，(故g故gx在R又因为f所以，g所以当x>0，gx<1，即e【河北省省级示范性高中联合体2019届高三3月联考数学（文)试题】已知函数f(x)的导函数f′x满足x+lnA．2f1>fC．2f1<f【答案】A【解析】令gx=fx1+lnx，由（x+xlnx）f′（得（1+lnx）f′（x）-1xf（x）g′（x）=f'则g′（x）<0，故g（x）在x∈1e,+∞递减；故ge【河南省郑州市2019年高三第二次质量检测数学（文)试题】函数f(x)是定义在[0,+∞)上的函数,f(0)=0，且在(0,+∞)上可导，f'(x)为其导函数，若xf'(x)+f(x)=A．(0,2) B．(0,3)【答案】B【解析】函数f（x）在（0，+∞）上可导，f'令g（x）＝xf（x），则g′（x）＝x•f'(x)+f（x）＝可知当x∈（0，2）时，g（x）是单调减函数，x∈（2，+∞）时，函数g（x）是单调增函数，又f（3）＝0，f(0)=0,则g（3）＝3f（3）＝0，且g（0）＝0则不等式f（x）＜0的解集就是xf（x）＜0的解集，不等式的解集为：{x|0＜x＜3}．【河北省辛集中学2018-2019学年高二上学期第二次月考数学试题】已知f(x)的定义域为0，+∞，f'x为f(x)的导函数，且满足fxA．0,1 B．2,+∞ C．（1，2） D．1,+∞【答案】B【解析】由题，构造函数g(x)=xf(x)，g'(x)=f(x)+xf'(x)<0不等式f即x+1即gx+1即x+1<x2-1【2019年3月高三第一次全国大联考（新课标Ⅱ卷)-文科数学】已知函数f(x)的定义域为(0,+∞)，且3f(x)+xf′(x)>0恒成立，其中f′(x)是f(x)A．(2019,2020) B．(2019,2021) C．(2019,+∞) D．(2021,+∞)【答案】D【解析】令h(x)=x3f(x)，则h'(x)=3x2f(x)+x3f'(x)=x2[3f(x)+xf'(x)]>0【湖北省恩施州2019届高三2月教学质量检测数学（文)试题】设函数f(x)是定义在区间(0,+∞)上的函数，f′(x)是函数f(x)的导函数，f(x)+xlnA．(13,+∞) B．(1,+∞) C．【答案】B【解析】构造新函数g(x)=lnxf(x)，则g'(x)=1xf(x)+lnxf'(x).因为f(x)+xlnxf'(x)>0，又x>0，所以1xf(x)+【重庆市九龙坡区2018-2019学年高二（上)期末数学试卷（文科)】已知定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足xf′x−fx<0，其中f′x是函数f(x)的导函数.A．(0,2018) B．(2018,+∞) C．(【答案】C【解析】解：令h(x)=f(x)x，则h'(x)=xf'(x)-f(x)∵xf'(x)-f(x)<0，∴h'(x)<0，∴函数h(x)在(0,+∞)递减，∵f(m-2018)>(m-2018)f(1)，∴m-2018>0，m>2018，∴f(m-2018)m-2018>故m-2018<1，解得：m<2019，故2018<m<2019，【吉林省延边州2019届高三2月复习质量检测数学（文)试题】已知函数y=f(x)在R上可导且f(0)=1，其导函数f'(x)满足f'(x)-f(x)x-1>0，对于函数A．函数g(x)在(1,+∞)上为单调递增函数B．x=1是函数g(x)的极小值点C．函数g(x)至多有两个零点D．x≤0时，不等式f(x)≤e【答案】D【解析】g(x)=f(x)则g'(x)=f'(x)-f(x)x>1时，f'(x)-f(x)>0，故y=g(x)在(1,+∞)递增，A正确；x<1时，f'(x)-f(x)<0，故y=g(x)在(-∞,1)递减，故x=1是函数y=g(x)的极小值点，故B正确；若g(1)<0，则y=g(x)有2个零点，若g(1)=0，则函数y=g(x)有1个零点，若g(1)>0，则函数y=g(x)没有零点，故C正确；由y=g(x)在(-∞,1)递减，则y=g(x)在(-∞,0)递减，由g(0)=f(0)e0=1，得故f(x)ex≥1，故f(x)≥【广东省华南师范大学附属中学2018届高三上学期第一次月考数学（理)试题】已知定义在−∞,0∪0,+∞上的偶函数f(x)的导函数为f′x，对定义域内的任意x，都有2fx+xA．xx≠0,±2B．C．−∞,−2∪2,+∞【答案】C【解析】当x>0时，由2fx+xf两边同乘x得2xfx设gx=x∴gx在(0,+∞)由x2fx−4f2因为fx所以gx=x2f即x>2，则x>2或x<−2即实数x的取值范围是−∞,−2∪2,+∞【福建省福州市八县（市)协作校2018-2019学年高二上学期期末联考数学（文)试题】已知定义域为R的奇函数y=f(x)的导函数为y=f'(x)，当x>0时，xf'(x)-f(x)<0，若a=f(e)e,A．a<b<cB．b<c<aC．a<c<bD．c<a<b【答案】D【解析】构造函数g（x）=f(x)∴g′（x）=xf'(x)-f(x)∵xf′（x）﹣f（x）＜0，∴g′（x）＜0，∴函数g（x）在（0，+∞）单调递减．∵函数f（x）为奇函数，