车轮做成圆形的数学道理 教学设计

《数学活动：车轮做成圆形的数学道理》教学设计芜湖市中江中学花业玥一、内容和内容解析1.内容：《人教版义务教育教科书九年级上册数学》第二十四章圆章末数学活动车轮做成圆形的数学道理.2.内容解析：单元内容解析：圆是人教版初中几何首次对曲线图形的认识和研究，在它之前学生已经学习了基本的平面几何知识，掌握了多边形的研究思路和性质，在它之后的相似三角形和解直角三角形则是对之前同类型知识的螺旋上升，从对新图形的学习角度来说，它既是初中几何的收尾，也是衔接高中几何的开端，因此在内容、方法和思想上既凝聚了初中几何的精髓，也渗透了高中几何的研究方向.从知识内容上看，学生已经系统学习了初中几何的其他知识，这些知识既是探索圆的性质的铺垫，也是本章内容综合应用的体现，更是高中从解析几何的角度学习圆的基础.从研究方法上看，本章是在学习了直线形有关性质的基础上，进一步学习最简单的曲线图形——圆，它承接了初中研究几何的一般思路：定义——性质——判定——应用，同时又开辟了研究曲线图形的一般路径：基本定义——几何性质——与直线的位置关系——综合应用，为以后高中对曲线形图形的研究埋下伏笔，体现了大单元的教学理念和跨章节的观念思想.从思想方法上看，本章内容与以前学习的几何知识联系紧密，运动与变化、特殊与一般、划归与转化、数形结合、整体思想、方程思想、分类思想等思想方法形成交汇融合，一方面提升了教学的难度，另一方面也使得学生的数学思维水平得到一个飞跃.从学习形式上看，一方面圆在生产、生活中有着广泛的应用，是学生非常熟悉的图形，本章立足学生已有的生活经验，从观察和分析生活中大量存在的事实入手，设计学生动手操作和主动参与的教学情境，通过观察、测量、折叠、平移、旋转等活动使学生获得知识的直观体验；另一方面，圆的基本性质的探索、反证法的学习也引导学生从更严谨的逻辑推理的角度进行知识的证明，这为今后学习高中的知识打下了坚实的逻辑基础.本节内容解析：车轮做成圆形的数学道理来源于九年级上册第二十四章圆的章末数学活动，它是在学习了圆及其基本性质、弧长面积公式后对圆在车轮中应用的探讨，在探究过程中既复习巩固了圆的基本知识，也拓展到对圆形及多边形滚动情况的思考.同时圆形滚动问题对日后学生认识切线、曲率等问题都有深远影响，其蕴含知识的多样性也能跨越学科壁垒（如物理），实现学科融合，启发学生从其他学科的角度进行探究.通过研究车轮做成圆形的数学道理，让学生观察动态问题中的不变性，发现特殊中的一般性，体会运动与变化、特殊与一般、整体代入的数学思想，培养学生直观想象、数学建模等核心素养.作为一节数学活动课，它以解决实际问题为重点，以跨学科的主题学习为主，以真实问题为载体，通过综合运用数学和其他学科的知识与方法解决问题，着力培养学生的创新意识、实践能力等综合品质.3、教学重点：车轮做成圆形的数学道理.二、目标和目标解析目标：1.巩固圆的概念及相关基本性质；2.培养发现和提出问题的能力；3.培养分析、研究问题的能力；4.培养严谨的科学态度；5.培养多角度发散的创新意识和勇于质疑的探索精神.目标解析：达成目标1的标志是学生能够根据实验结果用相应的数学道理进行解释；达成目标2的标志是学生在情境导入中能够发现并提出车轮为什么做成圆形的现实问题，从个人经验和已有知识出发，提出合理的假设与预测结果；达成目标3的标志是学生能从解决车轮为什么做成圆形的问题需要出发，将现实问题转化为探究“车轮做成圆形的数学道理”这一数学问题，明确问题的核心与关键，选择设计合理的实验方法与步骤；达成目标4的标志是学生对实验中条件与结果之间的关系有清晰的认识，并能在课后作业中利用各种资源或实际情境进一步检验，完善模型；达成目标5的标志是学生能在实验中发散思维，从多种角度进行猜想和探究，形成一般性结果或合理归纳.三、教学问题诊断分析1.问题诊断：受限于已有的知识经验学生对车轮做成圆以外的图形较为陌生，没有概念意识，难以进行有效的发散.学生对圆的滚动问题并不陌生，因此极易在进行多边形与圆的滚动比较时陷入圆形滚动的固有思维中，无法对多边形进行滚动研究，从而形成知识的负迁移.本节课为开放式课堂，要启发学生在适度范围内发散思维，否则会导致课堂节奏过于分散，学生无法找准研究的核心方向.2.教学难点：发散学生的思维与想象，启发学生进行多角度的思考，做好充足的课堂预设；理解圆形滚动与多边形滚动的区别，掌握二者中心移动轨迹的不同.四、教学支持条件分析1.学生已经学习了圆的概念及其基本性质，具备探究车轮做成圆形的一般能力.2.运用“”的画图与动画功能、硬纸板的动手操作可直观演示多边形与圆形滚动中的路径线，帮助学生观察、验证猜想结果，促进学生对车轮为什么做成圆形的直观理解.3.基于以上的内容分析，本节课采取项目式学习的方式，以“车轮做成圆形”为问题导向，整合数学与物理、历史文化等学科的知识和思想方法，体会并形成“会用数学的眼光观察现实世界、会用数学的思维思考现实世界、会有数学的语言表达现实世界”的核心素养.五、教学过程（一）创设情境激发兴趣（展示车轮形状各异的自行车）图片上的自行车，大家有见过吗？它和我们平时见到的自行车最大的区别在哪里？问题：如果让你骑这些自行车上下学，你愿意吗？追问：为什么不愿意？【师生活动】图片上的自行车车轮都不是圆形，车轮做成非圆形可能使骑车人感到很颠簸.【设计意图】通过学生熟悉的自行车引入，拉近学生与课堂的距离，在熟悉的自行车上换上不熟悉的车轮，引起学生的认知冲突，激发学生的好奇心和探索欲，渗透用数学的眼光看待世界的理念.通过学生对非圆形车轮的顾虑，引出课题，并为接下来确定研究方向做铺垫.千百年来，车轮的形状一直是圆形，《续汉书·舆服志》中记载：“上古圣人，见转蓬始知为轮”，看到旋转成圆形的蓬草就想到了轮子，可见古代的先贤们已经具备了用数学的眼光观察世界的意识，为什么在文明之初，我们的古人要把车轮做成圆形呢？这里又蕴含了怎样的数学道理？今天我们就穿梭这条4000多年的隧道，带着我们所学的知识研究一下车轮做成圆形的数学道理.（板书课题）（二）提出猜想设计实验问题：同学们觉得车轮做成圆形有什么优势？展示《续汉书》及《考工记》中对车轮的有关记载.“奚仲为夏车正，建其斿旐，尊卑上下，各有等级”——《续汉书·舆服志》“凡察车之道，欲其朴属而微至。不微至，无以为戚速也.”——《考工记》【活动预设】基于学生的知识经验，学生的作答可能出现以下情况：平稳、省力（基于物理摩擦力方面的知识经验）、快速（基于物理机械运动方面的知识经验）、省材料（某些同学的知识面交广，可能从化学、生物等角度出发做的一种猜想）.对于“平稳”，此答案与《续汉书》中记载一致，教师可引导学生思考车轮在滚动中哪一点的路径决定了车的平稳；对于“省力”，教师可引导学生思考如何用数学的道理解释物理知识；对于“快速”，与《考工记》中记载一致，教师引导学生观察滚动中车轮与路面的位置关系，引导学生思考重心在滚动中的位置变化；对于“省材料”，教师肯定学生的想法，但持保留意见，可引导学生在接下来的实验中进一步计算探索，通过实践来证明.【设计意图】通过将学生作答与古籍中对车轮要求的记载进行比较，既启发了学生的思考，也增强了学生的信心，并使学生感受古人的智慧.本环节的思考为接下来的设计实验进行了铺垫.问题：这些古籍资料和同学们的猜想为我们接下来的研究提供了方向，这也是我们进行活动探究的第一步，我们如何设计实验验证我们的猜想，是否需要做一些实际的车轮来实验？追问：为什么要研究图形的中心？【师生活动】把实物抽象成数学元素，由于骑车时坐垫是连着车轮中心的，中心如果平稳，人就会感到平稳，因此我们可以用硬纸板剪成不同形状进行滚动，观察它们中心的移动轨迹.【设计意图】引导学生根据之前的猜想找出研究的核心问题，自主设计并完善实验方案，体会研究实际问题的一般路径，通过将实际问题抽象出数学元素培养他们的直观想象和建模思想.（三）实验操作验证猜想根据学生自主设计的实验，小组合作探究：用硬纸板剪一个圆，让它沿直尺在桌面上滚动，用笔跟踪一下它的中心轨迹，你得到了什么？尝试剪成正三角形、正方形或其他形状再试一试.你有什么发现？能否用你所学的数学知识加以说明.【活动预设】预设1.学生根据绘制的中心轨迹得出沿直线滚动时，圆形中心轨迹是一条线段，而正多边形或其他图形中心轨迹是多段圆弧连接的图形；预设2.沿直线滚动时，圆形与直线的位置关系始终相切；预设3.圆形滚动时，最高点和最低点所在直线始终平行；预设4.沿直线滚动时，经计算，在滚动相同距离的情况下，圆形中心的路径长度最短；预设5.沿直线滚动时，经计算，在中心移动的路径长度一致的情况下，圆形做车轮向前滚动的距离最远；预设6.沿直线滚动时，当正多边形的边心距与圆的半径一致的情况下，圆形的周长最小；预设7.周长相同的情况下，圆形的面积最大；对于预设1，教师可进一步引导学生说出多边形滚动的特点，为可能出现的预设4-7的计算作铺垫，并引导学生从圆的概念角度进行理论说明：圆上任意一点与圆心的距离都等于半径，圆形车轮滚动时，车轮中心与地面的距离保持不变，坐车的人会感到很平稳.对于预设2和预设3，教师可引导学生从切线角度进行理论说明：车轮在平坦地面上滚动时，圆形车轮与地面上的直线是相切的.同样，在车轮最高点与圆形车轮相切的直线始终与地面平行，这样保证了车轮的平稳.同时预设2的结论还可以进一步解释为什么圆形滚动时更省力，由于切线的性质，圆形的重垂线始终经过切点，故而圆形在滚动时更省力，引导学生用数学的眼光看待物理，实现学科融合.对于预设4和预设5，教师可引导学生共同计算，得出结论：沿直线滚动时，在中心移动路径长度一致的情况下，圆形工具向前滚动的距离最远.预设4和预设5的结论一致，计算时可引导学生比较哪种计算更方便，引发学生思考对于同种结论，选择更适宜更便捷的切入点进行探究.对于预设6和预设7，未必是车轮做成圆形的原因，但教师仍应充分肯定和鼓励学生的探索与结论，表扬学生的发散思维和探究精神，并可适时引入一些自然界中对圆形知识使用的案例，指出圆的“等周定理”虽然在车轮上并未应用，但在其他地方都有很大的应用价值，使学生感悟用数学的眼光看待世界，用数学的语言与世界交流的方式.预设1、预设2和预设3为本环节常规结论，预设3-7为环节（四）计算比较归纳探究所得出的结论，如果学生在本环节已生成了预设3-7，教师可直接衔接环节（四）的内容，引导学生发现中心移动路径长度和滚动距离之间的关系；如果学生在本环节并未生成预设3-7，则可正常从《考工记》中寻求线索，引出环节（四）的计算探究.【师生活动】从圆的概念上看，圆心到圆上的点的距离都等于半径，所以圆形车轮在滚动时中心与底面的距离始终不变，从而中心的移动轨迹是一条线段，因此我们会感到很平稳.从切线的角度看，圆形车轮与地面上的直线是相切的，因此，车轮最高点所在直线始终与地面平行，这样也保证了车轮的平稳.（教师可在总结时通过GGB软件进行动态演示帮助学生直观感受）【设计意图】亲历知识的发现、提出、分析、解决问题的过程，通过实际操作直观感受多边形与圆形滚动时中心轨迹的区别，引导学生用理论知识进行阐释和说理，培养学生在跨学科背景下用数学的眼光观察世界，用数学的语言表达世界中事物的概念、关系和规律的能力，帮助学生感悟数学与现实世界的联系，培养学生的实践精神.（四）计算比较归纳探究车轮做成圆形还有哪些我们之前没想到的优势呢？《考工记》中对轮子的中心位置有这样的记载，可见古人也认为车轮的关键在于中心位置.我们知道车轮前进主要靠中心的转动，因此中心点移动的路径长度与车轮前进的距离有着紧密联系.请大家自己设定数据，计算一下各个图形中心点移动的路径长度与车轮前进的距离，你有什么发现？（教师根据学生的理解及反馈，可对本环节实验做进一步规范：以滚动一周为限，滚动一周的距离就是图形周长，可设各个图形周长相等，计算各自中心点移动的路径长度；或者设半径相等为，计算各个图形的周长。前者探究滚动相同距离时，中心点移动路径的关系；后者表达中心点移动相同时，滚动的距离关系.）【师生活动】从正多边形和圆的角度来看，中心点移动路径长度相等的情况下，圆形车轮滚动的距离更远.问题：能否证明这个猜想？【师生活动】由于滚动一周时，半径相等中心点移动路径的长度就相等，周长越大滚动前进的距离就越远，因此只要设正多边形和圆的半径相等，证明圆的周长大于正多边形的周长即可.证明：设正边形的中心为，半径为，显然弧的长度大于弦，因此⊙的周长大于正边形的周长，即中心点移动路径长度相等的情况下，圆形车轮滚动的距离更远.【设计意图】通过对中心移动路径长度和滚动距离的计算，既启发学生从不同角度思考问题，也进一步巩固了正多边形和圆、圆中计算等相关知识，在计算探究的过程中，引导学生根据中心移动的特点找到猜想和核心本质继而进行合理论证，培养学生的发散思维和推理能力，感悟用数学的思维思考世界.（五）拓展思考思维延伸展示圆形在其他方面的应用.植物的茎叶选择圆柱形，就是因为它的横截面是圆，在周长相等的情况下，圆的面积最大，因而吸收的养分最多；水车选择圆形，是因为切线的性质和圆的旋转不变性，这样水流冲下来的方向始终在圆的切线上；“井盖”选择圆形则用到了圆的“等宽性”，无论怎么转，井盖都不会掉下去，也最省材料。这些或来源于自然，或来源于生活的道理，同学们都要学会用数学的眼光和思维来观察和思考.【师生活动】教师展示圆形在其他方面应用的图片，可引导学生自由阐述各个图形中蕴含的数学道理，教师进行点拨总结.如果环节（三）（四）中出现了预设7，教师可提前将茎叶图放到相应环节展示.【设计意图】使学生体会数学是人与自然交流的语言，要学会用数学的眼光观察现实世界，用数学的思维思考现实世界，用数学的语言表达现实世界.（六）探索回顾内化知识问题1：经历了今天的这堂活动探究，同学们现在能说明车轮做成圆形的数学道理吗？问题2：我们经历了哪些环节完成了这样的探索？【师生活动】从圆的概念上看，圆心到圆上的点的距离都等于半径，所以圆形车轮在滚动时中心与底面的距离始终不变，中心的移动轨迹是一条线段，因此我们会感到很平稳.从切线的角度看，圆形车轮与地面上的直线是相切的，因此，车轮最高点所在直线始终与地面平行，这样也保证了车轮的平稳.从正多边形和圆的角度来看，中心点移动路径长度相等的情况下，圆形车轮滚动的距离更远.【设计意图】引导学生概括归纳