2023高考数学冲刺预计试题五

本文格式为Word版，下载可任意编辑——2023高考数学冲刺预计试题五5:05:57PM

广东省潮州市2023届高三其次次模拟考试

数学（理）试题

第一部分选择题（共40分）

一、选择题：（本大题共8小题，每题5分，共40分，在每题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的）1．设i为虚数单位，则复数

i等于2?i12121212A．?iB．??iC．?iD．??i

555555552．已知集合A??1,2,m?，B??3,4?，A?B??1,2,3,4?，则m?

????3．已知向量a?(1,3)，b?(?1,0)，则|a?2b|?

A.0B.3C.4D.3或4

A．1B.2C.2D.44、函数f（x）＝｜x－2｜－lnx在定义域内的零点个数为

A、0B、1C、2D、3

?y?x?5．已知实数x,y满足?x?y?1，则目标函数z?2x?y的最大值为

?y??1?1C．5D．626.已知一个几何体的三视图及其大小如图1，这个几何体的体积V?

A．?3B．A．12?B．16?

C．18?

D．64?

7.从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A=“取到的2个数之和

为偶数〞，事件B=“取到的2个数均为偶数〞，则P(B|A)=（）.

1121(B)(C)(D)8452??8．设向量a?(a1,a2)，b?(b1,b2)，定义一运算：

(A)

?????1a?b?(a1,a2)?(b1,b2)?(a1b1,a2b2),已知m?(,2)，n?(x1,sinx1)。点Q在y?f(x)2???????的图像上运动，且满足OQ?m?n（其中O为坐标原点），则y?f(x)的最大值及最小正

周期分别是

A．

11,?B．,4?C．2,?D．2,4?22

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其次部分非选择题（共110分）

二、填空题（本大题共7小题，分为必做题和选做题两部分，每题5分，总分值30分）。（一）必做题：第9至13题为必做题，每道试题考生都必需作答。9.已知不等式x?2?1的解集与不等式x2?ax?b?0的解集

一致,则a?b的值为

开始1n10.若(2x?)的展开式中所有二项式系数之和为64，则

x展开式的常数项为.

11.已知等差数列?an?的首项a1?1，前三项之和S3?9，则

S?0K?1是?an?的通项an12.计算

?____．

=.

K?10?否输出K,SS?S?1K(K?2)终止13．如图，是一程序框图，则输出结果为

K?，S?.。

(说明，M?N是赋值语句，也可以写成M?N，或M:?N

(二)选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）⒕（几何证明选讲选做题）如图3，圆O的割线PAB交圆

K?K?2APC图3

BO于A、B两点，割线PCD经过圆心。已知PA?6，

1AB?7，PO?12。则圆O的半径R?____．

3?OD⒖（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系(?,?)（0???2?）中，直线???4被圆

??2sin?截得的弦的长是．

三、解答题：本大题共6小题，总分值80分．解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤。16．（本小题总分值12分）

已知函数f(x)?3(sin2x?cos2x)?2sinxcosx．

（Ⅰ）求f(x)的最小正周期；（Ⅱ）设x?[?

??,]，求f(x)的值域和单调递增区间．335:05:57PM

17．（本小题总分值12分）某次运动会在我市举行，为了搞好接待工作，组委会招募了16名男

志愿者和14名女志愿者，调查发现，男、女志愿者中分别有10人和6人爱好运动，其余不爱好。

（1）根据以上数据完成以下2×2列联表：爱好运动不爱好运动总计男女总计106161430（2）根据列联表的独立性检验，能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为性别与爱好运动有关？（3）从女志愿者中抽取2人参与接待工作，若其中爱好运动的人数为?，求?的分布列

和均值。

n(ad?bc)2参考公式：K?，其中n?a?b?c?d.

(a?b)(c?d)(a?c)(b?d)2

参考数据：

P(K2?k0)0.400.7080.251.3230.102.7060.0106.635k018．（此题总分值14分）

如下图，已知AB为圆O的直径，点D为线段AB上一点，且AD?P1DB，点C为圆O上一点，且BC?3AC．3点P在圆O所在平面上的正投影为点D，PD?DB．（1）求证：PA?CD；

（2）求二面角C?PB?A的余弦值．

AC第18题图

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19．(此题总分值14分)

an?11已知数列{an}满足：a1?1,a2?，且an?2?（n?N*）．

2an?an?1（Ⅰ）求证：数列{2an}为等差数列；an?1

（Ⅱ）求数列{an}的通项公式；（Ⅲ）求下表中前n行所有数的和Sn．20．（此题总分值14分）

a1a1a2a2a1a3a1a2a3???????????

a1anan?1a2an?1an?1??ana1an?1????????????????

x2y23设椭圆2?2?1(a?b?0)的左右顶点分别为A(?2,0),B(2,0)，离心率e?．

ab2过该椭圆上任一点P作PQ?x轴，垂足为Q，点C在QP的延长线上，且|QP|?|PC|．（1）求椭圆的方程；

（2）求动点C的轨迹E的方程；

（3）设直线AC（C点不同于A,B）与直线x?2交于点R，D为线段RB的中点，试判断直线CD与曲线E的位置关系，并证明你的结论．

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21．（此题总分值14分）

设a?0,函数f(x)?1.2x?a1a（Ⅰ）证明:存在唯一实数x0?(0,)，使f(x0)?x0；（Ⅱ）定义数列{xn}:x1?0,xn?1?f(xn),n?N*.

（i）求证:对任意正整数n都有x2n?1?x0?x2n；(ii)当a?2时,若0?xk?1(k?2,3,4,?)，21证明:对任意m?N*都有:xm?k?xk?.

3?4k?1

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参考答案

一、选择题：本大题共8小题，每题5分，共40分．

题号答案1A2D3C4C5C6B7B8C二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每题5分，总分值30分．（一）必做题（9～13题）

9．－1__．10．－160．11．2n?1．12．e2．13．11,分，3分）

（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）

⒕8；⒖2．2.解析：m?3或4

27.提醒：“从1，2，3，4，5中任取2个不同的数〞一共有C5?10种不同选取方式，其中满

5．（21122足事件A的有C3所以P(A)??C2?4种选取方式，

42?，而满足事件B要求的有C22?1种，1051P(A?B)101C1??.即P(A?B)??，再由条件概率计算公式，得P(B|A)?24P(A)C105222516．（本小题总分值12分）

解：（Ⅰ）∵f(x)??3(cos2x?sin2x)?2sinxcosx??3cos2x?sin2x3分

?f(x)的最小正周期为?．????5分

（Ⅱ）∵x?[???33,]，???3?2x??3??，??3??sin(2x?)?1．23?f(x)的值域为[?2,3]．??????10分?当y?sin(2x??3)递减时，f(x)递增．

??2?2x??3??，即

?12?x??3．

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????故f(x)的递增区间为?,?．????????12分

?123?

17．解：（1）男女总计爱好运动10616不爱好运动6814总计161430??2分

（2）假设：是否爱好运动与性别无关，由已知数据可求得：

30?(10?8?6?6)2K??1.1575?2.706

(10?6)(6?8)(10?6)(6?8)2因此，在犯错的概率不超过0.10的前提下不能判断爱好运动与性别有关6分

（3）爱好运动的人数为?的取值分别为：0，1，2，其概率分别为：

11C8228C6C848C6215P(??1)P(??2)?2??8分P(??0)?2??291C1491C14C1491

爱好运动的人数为?的分布列为：

?P

??10分

01228914891159128481578?1??2??.?12分91919191所以爱好运动的人数?的值为：E??0?

18．（此题总分值14分）解析：（Ⅰ）法1：连接CO，由3AD?DB知，点D为AO的中点，又∵AB为圆O的直径，∴AC?CB，由3AC?BC知，?CAB?60?，

∴?ACO为等边三角形，从而CD?AO．3分∵点P在圆O所在平面上的正投影为点D，∴PD?平面ABC，又CD?平面ABC，∴PD?CD，5分

由PD?AO?D得，CD?平面PAB，

又PA?平面PAB，∴PA?CD．6分

ACPDOB5:05:57PM

（注：证明CD?平面PAB时，也可以由平面PAB?平面ACB得到，酌情给分．）法2：∵AB为圆O的直径，∴AC?CB，

在Rt?ABC中设AD?1，由3AD?DB，3AC?BC得，DB?3，AB?4，BC?23，

∴

BDBC3，则?BDC∽?BCA，??BCAB2∴?BCA??BDC，即CD?AO．3分∵点P在圆O所在平面上的正投影为点D，∴PD?平面ABC，又CD?平面ABC，

∴PD?CD，5分由PD?AO?D得，CD?平面PAB，

平面，PABPA?CD．6分法3：∵AB为圆O的直径，∴AC?CB，又

在Rt?ABC中由3AC?BC得，?ABC?30?，设AD?1，由3AD?DB得，DB?3，BC?23，由余弦定理得，CD2?DB2?BC2?2DB?BCcos30??3，∴CD2?DB2?BC2，即CD?AO．3分∵点P在圆O所在平面上的正投影为点D，∴PD?平面ABC，又CD?平面ABC，∴PD?CD，--5分由PD?AO?D得，CD?平面PAB，

又PA?平面PAB，∴PA?CD．6分（Ⅱ）法1：（综合法）过点D作DE?PB，垂足为E，连接CE．7分由（1）知CD?平面PAB，又PB?平面PAB，

∴CD?PB，又DE?CD?D，∴PB?平面CDE，又CE?平面CDE，∴CE?PB，9分

∴?DEC为二面角C?PB?A的平面角．10分由（Ⅰ）可知CD?EPA?∴

PA（注：在第（Ⅰ）问中使用方法1时，此处需要设出线段的长度，酌情给分．）∴PB?32，则DE?3，PD?DB?3，

DCOBPD?DB932，??PB2325:05:57PM

∴在Rt?CDE中，tan?DEC?CD36，??DE32321515，即二面角C?PB?A的余弦值为．14分55????????????法2：（坐标法）以D为原点，DC、DB和DP的方向分别为x轴、y轴和z轴的正向，建

∴cos?DEC?立如下图的空间直角坐标系．8分

（注：假使第（Ⅰ）问就使用“坐标法〞时，建系之前先要证明CD?AB，酌情给分．）设AD?1，由3AD?DB，3AC?BC得，PD?DB?3，CD?∴D(0,0,0)，C(3,0,0)，B(0,3,0)，P(0,0,3)，

3，

zP????????????∴PC?(3,0,?3)，PB?(0,3,?3)，CD?(?3,0,0)，

????由CD?平面PAB，知平面PAB的一个法向量为CD?(?3,0,0)．10分设平面PBC的一个法向量为n?(x,y,z)，则

???????n?PC?0?3x?3y?0，即，令y?1，则x?3，z?1，?????????3y?3z?0?n?PB?0∴n?(3,1,1)，12分

设二面角C?PB?A的平面角的大小为?，

ACxDOBy????n?CD?315?????则cos??，13分??5|n|?|CD|5?3∴二面角C?PB?A的余弦值为15．14分52an?1119．解：（Ⅰ）由条件a1?1,a2?，an?2?，得

2an?an?1an?2an?1aa?n?1?n?1?????2分?an?1an?an?1an?2an?1∴数列{an}为等差数列．??????3分an?1ana?1?(n?1)?1?n?1?????????4分an?1a2（Ⅱ）由（Ⅰ）得

5:05:57PM

∴

a1a1a2a?????n?1?2?3???n?n!??????????????7分

anana2a3an?1???????????8分n!∴

（Ⅲ）?akan?k?1(n?1)!k??Cn?1(k?1,2,?,n)?????????10分

an?1k!(n?k?1)!a1ana2an?1aa?????n1an?1an?1an?1∴第n行各数之和

12nn?1?Cn?2（n?1,2,??）?????12分?1?Cn?1???Cn?1?2∴表中前n行所有数的和

Sn?(22?2)?(23?2)???(2n?1?2)?(22?23???2n?1)?2n

22(2n?1)??2n?2n?2?2n?4.???14分

2?120．（此题总分值14分）

解析：（1）由题意可得a?2，e?∴b2?a2?c2?1，

c3，∴c?3，2分?a2x2所以椭圆的方程为?y2?1．4分

4?x0?x?x?x0?（2）设C(x,y)，P(x0,y0)，由题意得?，即?1，6分

y0?x?y?2y0??22x0x2122又?y0?1，代入得?(y)?1，即x2?y2?4．

442即动点C的轨迹E的方程为x?y?4．8分（3）设C(m,n)，点R的坐标为(2,t)，

22????????∵A,C,R三点共线，∴AC//AR，

????????而AC?(m?2,n)，AR?(4,t)，则4n?t(m?2)，

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∴t?4n，m?24n2n)，点D的坐标为(2,)，10分m?2m?2∴点R的坐标为(2,n?∴直线CD的斜率为k?2nm?2?(m?2)n?2n?mn，m?2m2?4m2?4而m2?n2?4，∴m2?4??n2，∴k?mnm，12分??2?nnm(x?m)，化简得mx?ny?4?0，n∴直线CD的方程为y?n??∴圆心O到直线CD的距离d?4m2?n2?4?2?r，4所以直线CD与圆O相切．14分21．（此题总分值14分）

（Ⅰ）证明:①f(x)?x?x?ax?1?0.??????1分令h(x)?x?ax?1,则h(0)??1?0,h()?331a1?0,a3∴h(0)?h()?0.???2分

又h(x)?3x?a?0,∴h(x)?x?ax?1是R上的增函数.???3分故h(x)?x?ax?1在区间?0,3/231a??1??上有唯一零点,a?即存在唯一实数x0??0,??