第一讲行列式的定义逆序

§1.1全排列及逆序数1、二阶与三阶行列式由二元线性方程组引入二阶行列式ax+ax111 122ax+ax211 222=b1=b2x利用消元法解得］ax+ax111 122ax+ax211 222=b1=b2x利用消元法解得］1x2ba-ba

―^22 212aa-aaba?-ba21211 121aa-aa1122 1221气,x2的分母记作a11a21a12a22=aa一aa1122 1221（1）称为线性方程组的系数行列式Dx1的分子记作b1b2a12a22—ba—abD122 122 1x2的分子记作a11a21b1b2—ab一ab—D112 211 2D一…. 》. » x——1TOC\o"1-5"\h\z若系数行列式D卫0，则二元线性方程组有唯一解J 1 Dx——2〔2 Da x +a x + ax = b同样的，对于三元线性方程组"x +a x + ax- b，当系数行列式D卫0时有唯21 1 22 2 23 3 2a x +a x + ax — b31 1 32 2 33 3 3DlDDDDTD

一一一一一一DlDDDDTD

一一一一一一12•3XXX<解一系数行列式aaaTOC\o"1-5"\h\zD_aaa—aaa+aaa+aaa-aaa-aaa-aaa21 22 23 11 2233 12 2331 13 21 32 11 2332 12 21 33 13 22 31aaa31 32 33D,D,D是分别用常数项b,b,b替换系数行列式的第一列，第二列，第三列得来1 2 3 1 2 3的。2、排列：由1,2,…，n组成的一个有序数组称为一个n级全排列（简称为排列）按照从小到大顺序排序的排列1,2,…，n，称具有自然顺序

3、逆序：在一个排列中，如果某个较大的数排在一个较小的数前面(即不符合自然顺序)，则称这两个数(或者叫数对)构成一个逆序，一个排列中，逆序的总数称为这个排列的逆序数。一个排列jj…j的逆序数，一般记为，(jj…j)。12n 12n4、奇偶排列：逆序数为偶数的排列称为偶排列，逆序数为奇数的排列称为奇排列.下面介绍逆序数的计算方法不妨设n个元素为1至n这n个自然数，并规定由小到大标准次序，设P1P2…Pn为这n个自然数的一个排列，考虑元素Pj(，=1,2…n),如果比Pi小的且排在Pj后面的元素有七个，就说P,这个元素的逆序数是七，那么全体元素的逆序数之总和t=.+12+…+七=^"即是这个排列的逆序数.i=1例1、计算以下各排列的逆序数，并指出它们的奇偶性.(1)42531 (2)135・・・(2n-1)246・・・(2n)解：(1)在排列42531中,4排在首位，逆序数为3;2的后面比2大小的数有一个,故逆序数为1；5是最大数，逆序数为2;3的后面比3小的数有1个，于是这个排列的逆序数为，(42531)=7，因而是奇排列。(2)同上，同理可得t(135...(2n-1)246...(2n)n(n-1)2因而当n=4k或n=4k+1时为偶排列；当n=4k+2或n=4k++3时为奇排列。§1.2n阶行列式的定义通过三阶行列式中a11a21通过三阶行列式中a11a21a31a12a22a32a13a23a33=aaa+aaa+aaa-aaa-aaa-aaa11 2233 12 23 31 13 21 32 11 2332 12 21 33 13 22 31正负号以及项数，可以看出，三阶行列式是所有不同行不同列元素乘积的代数和，其中正负号在行标按自然顺序排列时，由列标的逆序数的奇偶性决定，所QQQ111213QQQ21QQQ111213QQQ212223QQQ313233有三阶行列式可写成5、定义:由〃2个数构成〃行"列的〃阶行列式QQ.••Q11121nQQ…Q21222n…………QQ…Qn1n2nnD=Z(-"3.叫)Q1jQ2Q共有n!项1J1 nj1j2…jn简记作det(q.).数q.称为行列式det(q.)的元素.第一个下标是行标，第二个下标ijij=z(-1)T(j1j2j3)QQQ(jjj为三级排列)

1j2j23j3 123是列标。例2、计算4阶行列式d例2、计算4阶行列式d=—0004003002001000解：根据定义，该行列式展开式共有24项，只有一项不为零。通过分析得，D=1x2x3x4=24例3、计算n阶行列式Q11Q21例3、计算n阶行列式Q11Q21Q22Qn1Qn2我们称上述行列式为下三角行列式Qnn它的特点是在主对角线以上的元素全为零。相同的可以定义上三角行列式。解：利用定义Q11Q21Q22解：利用定义Q11Q21Q2211Q22…九Qn1Qn2Qnn类似的还有上三角行列式与对角行列式，其结果都是主对角线元素的乘积。§1.3对换6、定义：在排列中，将某两个数对调,其余的数不动，这种对排列的变换称为对

换.将相邻两数对换,称为相邻对换(或者邻换).7、定理1：一个排列中的任意两数对换，排列改变奇偶性.证明略推论：n级排列共有n!项，其中奇偶排列各占一半。8、定理2：n阶行列式的可写为aa…a11121naa…8、定理2：n阶行列式的可写为aa…a11121naa…a21222n…….••••aa…an1n2nn平2…七£(-1)t(K )aa...ai11i22 inn9、定理3：n阶行列式的可写为aiia21a12a22a1na2n〉/_1¥(Li....i)+t(jj...j)〃<d( 1) 12n' '，1，2'n，a...aijan1anni1i2.inj1j2.jn例6：试判断aaaaaa和-aaaaaa是否都是六阶行列式的项142331425665 324314512566解：•.《(431256)=6,「.aaaaaa是六阶行列式的项142331425665而t(341526)+t(234156)=5+3=8,