线性系统理论主要内容本课程是一门信息科学的专业基础课程

线性系统理论一、 主要内容本课程是一门信息科学的专业基础课程，阐述分析和综合线性多变量系统的理论、方法和工程上的实用性，本理论在控制技术、计算方法和信号处理等领域有着广泛的应用。1、 系统、系统模型，线性系统理论基本内容2、 状态、状态空间，状态和状态空间的数学描述，连续变量动态的状态空间描述，系统输入输出描述与状态空间描述的关系，LTI系统的特征结构，状态方程的约当规范型，系统状态方程与传递函数矩阵的关系，组合系统的状态空间描述3、 连续时间LTI系统的运动分析，状态转移矩阵和脉冲响应矩阵，连续时间LTV系统的运动分析，连续时间LTI系统的时间离散化，离散时间线性系统的运动分析4、 线性系统的能控性和能观测性，连续时间LTI系统的能控性和能观测性判据，离散时间线性系统的能控性和能观测性判据5、 对偶系统和对偶性原理，时间离散化线性系统保持能控性和能观测性的条件，能控和能观测规范型，连续时间LTI系统的结构分解6、 系统外部和内部稳定性，李亚普诺夫稳定的基本概念，李亚普诺夫第二方法的主要定理，连续时间线性系统的状态运动稳定性判据，离散时间线性系统的状态运动稳定性判据7、 系统综合问题，状态反馈和输出反馈，状态重构和状态观测器，降维状态观测器，状态观测器状态反馈系统的等价性问题二、 线性系统及其研究的对象一般说来，许多物理系统在其工作点的附近都可以近似地用一个有限维的线性系统来描述，这不仅是由于线性系统便于从数学上进行处理，更为重要的，它可以在相当广泛的范围内反映系统在工作点附近的本质。因此，线性系统理论研究对象是（线性的）模型系统，不是物理系统。控制理论发展到今天，包括了众多的分支，如最优控制，鲁棒控制，自适应控制等。但可以毫不夸张地说，线性系统的理论几乎是所有现代控制理论分支的基础，也是其它相关学科如通讯理论等的基础。三研究线性系统的基本工具 、研究有限维线性系统的基本工具是线性代数或矩阵论。用线性代数的基本理论来处理系统与控制理论中的问题，往往易于把握住问题的核心而得到理论上深刻的结果。例如：1、系统的可控性、可观测性可反映在线性代数中线性变换的循环不变子空间及其生成元的概念中；2、 在观测器理论中，矩阵方程扮演重要角色；3、 系统的稳定性往往归结为对线性矩阵微分方程的讨论；四、 线性系统研究的历史回顾从上个世纪三十年代以来，人们就对线性系统进行了广泛的研究，起初主要是频域方法；而且，几乎所有的工作都是针对单输入单输出系统的。这种经典的控制方法一旦推广到多输入多输出系统立即显现出一系列重大缺陷，所设计出的系统甚至不能保证系统的稳定性。五十年代后期，多变量、时变系统在航空航天、过程控制、计量经济学等的应用中已经变得日益重要，特别是航空航天控制中对时变系统以及相关的时域分析的研究，促使以美国科学家Bellman和Kalman为代表的研究人员对有限维线性系统的状态空间描述方法进行了深入的研究，导致了可控性、可观测性等概念的提出。此后，又进一步在极点配置、二次型调节器设计、状态观测器和估计器、等价系统、解耦、实现等方面先后取得了进展。1968年左右，人们发现这一领域的工作没有协调起来，很零散，一些重要的问题被忽视，于是要求对线性系统各方面工作进行统一处理。这就形成了“线性系统”这门学科。此后，线性系统理论不断得到发展，成为系统科学的基础。它的方法、概念体系己为许多学科领域所运用，是控制理论、网络理论、通讯理论以及一般系统理论的基础。进入70年代以后，深入的工程实践凸显出了基于模型的线性系统的局限性，即系统缺乏对参数不确定性、干扰及未建模动态等的鲁棒性(Robustness)。众多的科学工作者在这个领域进行了长时间、艰苦的研究，到80年代初，在若干领域取得了一系列激动人心的突破，最典型的是加拿大学者Zames提出的H-infinity鲁棒控制理论，以及以前苏联数学家Kharitonov在微分方程上的贡献为基础发展起来的区间系统理论。这些都极大丰富了人们对线性系统的认识。回顾线性系统几十年的发展历程可以看到，它的每一个进步几乎都反映了航空航天等尖端技术对控制的更高要求，“它是那样的基本和如此的深刻，所以毫无疑问，在今后一个可以预见的长时间内，线性系统仍将是人们继续研究的对象”。五、 线性系统理论的几个流行学派1代数系统理论以抽象代数为工具。主要在实现、反馈问题上取得一些成果。2多项式矩阵 (稳定)分式分解方法在复数域进行。充分应用了经典控制理论的优点。多变量频率域方法属于这一范畴。是最活跃的研究领域之一。3几何状态空间理论把矩阵看成向量空间的线性映射，系统理论和空间座标选取无关，这样往往给出一些比较本质的结果，在解耦及跟踪器取得较好进展。六、 线性系统理论中处理复杂问题的方法线性系统理论蕴涵着许多处理复杂问题的方法，这些方法使系统的建模、分析、综合得以简化是解决复杂问题的有效途径。下面介绍其中的线性非奇异变换法、增广向量法、分离原理法的基本内容。1线性非奇异变换法线性非奇异变换又称坐标变换，并将线性系统建模、分析和综合等连接在一起，以突出系统的某些特性或特征，简化系统分析和综合计算过程。线性非奇异变换利用状态空间法描述系统时，所选取的2组不同状态变量间满足满秩线性变换关系，即n维线性系统的两个不同状态向量x和X，必存在n阶可逆矩阵P并满足：X=Px线性定常系统，其x和X均为状态向量，则该系统可分别以x和X为状态向量的状态空间描述：Ix=Ax+BuL:{Ij=Cx+Dux=Ax+BuL：<y=Cx+Du其中式（2）、（3）中各系数矩阵、变量维数适当，不难求出系统L和系统L间满足的关系式：A=PAP1B=PBC=CP-iD=D （4）称L和L为代数等价系统，具有许多等价特性，如特征值、传递函数、脉冲响应、稳定性、能控性、能观性等。即对系统L研究可转化为代数等价系统L的研究，使复杂问题转化为简单问题。显然，线性非奇异变换矩阵P的构建是该问题的关键。在对线性控制系统进行建模、分析和综合的过程中，可利用式（1）或式（4）来突出系统的某些特征，或简化计算，则：①建立数学描述时，为突出系统特征值，通过线性非奇异变换，获得对角、约当规范型。为突出系统能控性、能观性，通过线性非奇异变换，获得各种能控、能观规范型，以便于系统分析和综合；②进行系统分析时，通过线性非奇异变换，获得系统的结构分解，以便研究系统的内部结构特征以及外特性与内特性间的联系；③进行系统综合时，通过线性非奇异变换，可简化系统极点配置、观测器和镇定控制器设计等。2增广向量法该方法的基本思想是通过扩充输入向量、状态向量、输出向量的维数及系统系数矩阵的维数来构造增广系统。该系统对新问题的解决转化成为增广系统下的旧问题，从而使复杂的问题简单化。其步骤如下：①分析新问题与某个旧问题间的内在联系；②对所研究问题所涉及数学模型（常用状态空间表达式）的输入、状态、输出、系数矩阵的维数进行适当扩充，构建1个增广系统；③以增广系统为对象，通过将新问题转化为增广系统下的旧问题，使系统综合问题得到解决。3分离原理法该方法的基本思想是把复杂问题分解成多个子问题，通过对各子问题的分析、解决，最终获得原始问题解，把大问题小型化、复杂问题简单化，不仅在线性系统理论中得到应用，且还应用在系统控制理论的其它分支。该方法应用前提是分解后的各子问题间满足分离特性，即相互不产生作用。线性非奇异变换、增广向量、分离原理等方法，从不同角度简化复杂问题。该变换把对原系统的研究转化为对经变换后等价