高中数学必修1《幂函数》教案

高中数学必修1《幂函数》教案作为一位优秀的人民老师，时常要开展教案预备工作，教案是保证教学取得胜利、提高教学质量的基本条件。教案要怎么写呢？作者我细心为您整理了高中数学必修1《幂函数》教案【优秀3篇】，盼望能够给大家的写作带来肯定的关心。

高中数学必修1《幂函数》教案篇一

教学目标

1、使同学理解函数单调性的概念，并能推断一些简洁函数在给定区间上的单调性。

2、通过函数单调性概念的教学，培育同学分析问题、熟悉问题的力量。通过例题培育同学利用定义进行推理的规律思维力量。

3、通过本节课的教学，渗透数形结合的数学思想，对同学进行辩证唯物主义的训练。

教学重点与难点

教学重点：函数单调性的概念。

教学难点：函数单调性的判定。

教学过程设计

一、引入新课

师：请同学们观看下面两组在相应区间上的函数，然后指出这两组函数之间在性质上的主要区分是什么？

（用投影幻灯给出两组函数的图象。）

第一组：

其次组：

生：第一组函数，函数值y随x的增大而增大；其次组函数，函数值y随x的增大而减小。

师：（手执投影棒使之沿曲线移动）对。他（她）答得很好，这正是两组函数的主要区分。当x变大时，第一组函数的函数值都变大，而其次组函数的函数值都变小。虽然在每一组函数中，函数值变大或变小的方式并不相同，但每一组函数却具有一种共同的性质。我们在学习一次函数、二次函数、反比例函数以及幂函数时，就曾经依据函数的图象讨论过函数的函数值随自变量的变大而变大或变小的性质。而这些讨论结论是直观地由图象得到的。在函数的集合中，有许多函数具有这种性质，因此我们有必要对函数这种性质作更进一步的一般性的争论和讨论，这就是我们今日这一节课的内容。

（点明本节课的内容，既是曾经有所熟悉的，又是新的学问，引起同学的留意。）

二、对概念的分析

（板书课题：）

师：请同学们打开课本第51页，请××同学把增函数、减函数、单调区间的定义朗读一遍。

（同学朗读。）

师：好，请坐。通过刚才阅读增函数和减函数的定义，请同学们思索一个问题：这种定义方法和我们刚才所争论的函数值y随自变量x的增大而增大或减小是否全都？假如全都，定义中是怎样描述的？

生：我认为是全都的。定义中的“当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2）”描述了y随x的增大而增大；“当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2）”描述了y随x的增大而削减。

师：说得特别正确。定义中用了两个简洁的不等关系“x1＜x2”和“f（x1）＜f（x2）或f（x1）＞f（x2）”，它刻划了函数的单调递增或单调递减的性质。这就是数学的魅力！

（通过老师的心情感染同学，激发同学学习数学的爱好。）

师：现在请同学们和我一起来看刚才的两组图中的第一个函数y=f1（x）和y=f2（x）的图象，体会这种魅力。

（指图说明。）

师：图中y=f1（x）对于区间[a，b]上的任意x1，x2，当x1＜x2时，都有f1（x1）＜f1（x），因此y=f1（x）在区间[a，b]上是单调递增的，区间[a，b]是函数y=f1（x）的单调增区间；而图中y=f2（x）对于区间[a，b]上的任意x1，x2，当x1＜x2时，都有f2（x1）＞f2（x2），因此y=f2（x）在区间[a，b]上是单调递减的，区间[a，b]是函数y=f2（x）的单调减区间。

（老师指图说明分析定义，使同学把函数单调性的定义与直观图象结合起来，使新旧学问融为一体，加深对概念的理解。渗透数形结合分析问题的数学思想方法。）

师：因此我们可以说，增函数就其本质而言是在相应区间上较大的自变量对应……

（不把话说完，指一名同学接着说完，让同学的思维始终跟着老师。）

生：较大的函数值的函数。

师：那么减函数呢？

生：减函数就其本质而言是在相应区间上较大的自变量对应较小的函数值的函数。

（同学可能回答得不完整，老师应指导他说完整。）

师：好。我们刚刚以增函数和减函数的定义作了初步的分析，通过阅读和分析你认为在定义中我们应当抓住哪些关键词语，才能更透彻地熟悉定义？

（同学思考。）

同学在高中阶段以至在以后的学习中常常会遇到一些概念（或定义），能否抓住定义中的关键词语，是能否正确地、深化地理解和把握概念的重要条件，更是学好数学及其他各学科的重要一环。因此老师应当教会同学如何深化理解一个概念，以培育同学分析问题，熟悉问题的力量。

（老师在同学思考过程中，再一次有感情地朗读定义，并留意在关键词语处适当加重语气。在同学感到无从下手时，给以适当的提示。）

生：我认为在定义中，有一个词“给定区间”是定义中的关键词语。

师：很好，我们在学习任何一个概念的时候，都要擅长抓住定义中的关键词语，在学习几个相近的概念时还要留意区分它们之间的不同。增函数和减函数都是对相应的区间而言的，离开了相应的区间就根本谈不上函数的增减性。请大家思索一个问题，我们能否说一个函数在x=5时是递增或递减的？为什么？

生：不能。由于此时函数值是一个数。

师：对。函数在某一点，由于它的函数值是唯一确定的常数（留意这四个字“唯一确定”），因而没有增减的变化。那么，我们能不能脱离区间泛泛谈论某一个函数是增函数或是减函数呢？你能否举一个我们学过的例子？

生：不能。比如二次函数y=x2，在y轴左侧它是减函数，在y轴右侧它是增函数。因而我们不能说y=x2是增函数或是减函数。

（在同学回答问题时，老师板演函数y=x2的图像，从“形”上感知。）

师：好。他（她）举了一个例子来关心我们理解定义中的词语“给定区间”。这说明是函数在某一个区间上的性质，但这不排斥有些函数在其定义域内都是增函数或减函数。因此，今后我们在谈论函数的增减性时必需指明相应的区间。

师：还有没有其他的关键词语？

生：还有定义中的“属于这个区间的任意两个”和“都有”也是关键词语。

师：你答的很对。能解释一下为什么吗？

（同学不肯定能答全，老师应赐予必要的提示。）

师：“属于”是什么意思？

生：就是说两个自变量x1，x2必需取自给定的区间，不能从其他区间上取。

师：假如是闭区间的话，能否取自区间端点？

生：可以。

师：那么“任意”和“都有”又如何理解？

生：“任意”就是指不能取特定的值来推断函数的增减性，而“都有”则是说只要x1＜x2，f（x1）就必需都小于f（x2），或f（x1）都大于f（x2）。

师：能不能构造一个反例来说明“任意”呢？

（让同学思索片刻。）

生：可以构造一个反例。考察函数y=x2，在区间[-2，2]上，假如取两个特定的值x1=-2，x2=1，明显x1＜x2，而f（x1）=4，f（x2）=1，有f（x1）＞f（x2），若由此判定y=x2是[-2，2]上的减函数，那就错了。

师：那么如何来说明“都有”呢？

生：y=x2在[-2，2]上，当x1=-2，x2=-1时，有f（x1）＞f（x2）；当x1=1，x2=2时，有f（x1）＜f（x2），这时就不能说y=x2，在[-2，2]上是增函数或减函数。

师：好极了！通过分析定义和举反例，我们知道要推断函数y=f（x）在某个区间内是增函数或减函数，不能由特定的两个点的状况来推断，而必需严格依照定义在给定区间内任取两个自变量x1，x2，依据它们的函数值f（x1）和f（x2）的大小来判定函数的增减性。

（老师通过一系列的设问，使同学处于乐观的思维状态，从抽象到详细，并通过反例的反衬，使同学加深对定义的理解。在概念教学中，反例经常关心同学更深刻地理解概念，熬炼同学的'发散思维力量。）

师：反过来，假如我们已知f（x）在某个区间上是增函数或是减函数，那么，我们就可以通过自变量的大小去判定函数值的大小，也可以由函数值的大小去判定自变量的大小。即一般成立则特别成立，反之，特别成立，一般不肯定成立。这恰是辩证法中一般和特别的关系。

（用辩证法的原理来解释数学学问，同时用数学学问去理解辩证法的原理，这样的分析，有助于深化地理解和把握概念，分清概念的内涵和外延，培育同学学习的力量。）

三、概念的应用

证明函数f（x）=3x+2在（-∞，+∞）上是增函数。

师：从函数图象上观看当然形象，但在理论上不够严格，尤其是有些函数不易画出图象，因此必需学会依据解析式和定义从数量上分析辨认，这才是我们讨论函数单调性的基本途径。

（指出用定义证明的必要性。）

师：怎样用定义证明呢？请同学们思索后在笔记本上写出证明过程。

（老师巡察，并指定一名中等水平的同学在黑板上板演。同学可能会对如何比较f（x1）和f（x2）的大小关系感到无从入手，老师应给以启发。）

师：对于f（x1）和f（x2）我们如何比较它们的大小呢？我们知道对两个实数a，b，假如a＞b，那么它们的差a-b就大于零；假如a=b，那么它们的差a—b就等于零；假如a＜b，那么它们的差a-b就小于零，反之也成立。因此我们可由差的符号来打算两个数的大小关系。

生：（板演）设x1，x2是（-∞，+∞）上任意两个自变量，当x1＜x2时，

f（x1）-f（x2）=（3x1+2）-（3x2+2）=3x1-3x2=3（x1-x2）＜0，

所以f（x）是增函数。

师：他的证明思路是清晰的。一开头设x1，x2是（-∞，+∞）内任意两个自变量，并设x1＜x2（边说边用彩色粉笔在相应的语句下划线，并标注“①→设”），然后看f（x1）-f（x2），这一步是证明的关键，再对式子进行变形，一般方法是分解因式或配成完全平方的形式，这一步可概括为“作差，变形”（同上，划线并标注”②→作差，变形”）。但美中不足的是他没能说明为什么f（x1）-f（x2）＜0，没有用到开头的假设“x1＜x2”，不要以为其显而易见，在这里肯定要对变形后的式子说明其符号。应写明“由于x1＜x2，所以x1-x2＜0，从而f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）。”这一步可概括为“定符号”（在黑板上板演，并注明“③→定符号”）。最终，作为证明题肯定要有结论，我们把它称之为第四步“下结论”（在相应位置标注“④→下结论”）。

这就是我们用定义证明函数增减性的四个步骤，请同学们记住。需要指出的是其次步，假如函数y=f（x）在给定区间上恒大于零，也可以小。

（对同学的做法进行分析，把证明过程步骤化，可以形成思维的定势。在同学刚刚接触一个新的学问时，思维定势对理解学问本身是有益的，同时对同学养成肯定的思维习惯，形成肯定的解题思路也是有关心的。）

调函数吗？并用定义证明你的结论。

师：你的结论是什么呢？

上都是减函数，因此我觉得它在定义域（-∞，0）∪（0，+∞）上是减函数。

生乙：我有不同的意见，我认为这个函数不是整个定义域内的减函数，由于它不符合减函数的定义。比如取x1∈（-∞，0），取x2∈（0，+∞），x1＜x2明显成立，而f（x1）＜0，f（x2）＞0，明显有f（x1）＜f（x2），而不是f（x1）＞f（x2），因此它不是定义域内的减函数。

生：也不能这样认为，由于由图象可知，它分别在（-∞，0）和（0，+∞）上都是减函数。

域内的增函数，也不是定义域内的减函数，它在（-∞，0）和（0，+∞）每一个单调区间内都是减函数。因此在函数的几个单调增（减）区间之间不要用符号“∪”连接。另外，x=0不是定义域中的元素，此时不要写成闭区间。

上是减函数。

（老师巡察。对同学证明中消失的问题赐予点拔。可依据同学的问题，给出下面的提示：

（1）分式问题化简方法一般是通分。

（2）要说明三个代数式的符号：k，x1·x2，x2-x1。

要留意在不等式两边同乘以一个负数的时候，不等号方向要转变。

对同学的解答进行简洁的分析小结，点出同学在证明过程中所消失的问题，引起全体同学的重视。）

四、课堂小结

师：请同学小结一下这节课的主要内容，有哪些是应当特殊留意的？

（请一个思路清楚，擅长表达的同学口述，老师可从中赐予提示。）

生：这节课我们学习了函数单调性的定义，要特殊留意定义中“给定区间”、“属于”、“任意”、“都有”这几个关键词语；在写单调区间时不作者要轻易用并集的符号连接；最终在用定义证明时，应当留意证明的四个步骤。

课堂教学设计说明

是函数的一个重要性质，是讨论函数时常常要留意的一共性质。并且在比较几个数的大小、对函数作定性分析、以及与其他学问的综合应用上都有广泛的应用。对同学来说，早已有所知，然而没有给出过定义，只是从直观上接触过这一性质。同学对此有肯定的感性熟悉，对概念的理解有肯定好处，但另一方面同学也会觉得是已经学过的学问，感觉乏味。因此，在设计教案时，加强了对概念的分析，盼望能够使同学熟悉到看似简洁的定义中有不少值得去推敲、去琢磨的东西，其中甚至包含着辩证法的原理。

另外，对概念的分析是在引进一个新概念时必需要做的，对概念的深化的正确的理解往往是同学认知过程中的难点。因此在本教案的设计过程中突出对概念的分析不仅仅是为了分析函数单调性的定义，而且想让同学对如何学会、弄懂一个概念有初步的熟悉，并且在以后的学习中学有所用。

还有，使用函数单调性定义证明是一个难点，同学刚刚接触这种证明方法，给出肯定的步骤是必要的，有利于同学理解概念，也可以对同学把握证明方法、形成证明思路有所关心。另外，这也是以后要学习的不等式证明方法中的比较化的基本思路，现在提出要求，对今后的教学作肯定的铺垫。

高中数学必修1《幂函数》教案篇二

1、教学目标

学问目标：

（1）把握幂函数的形式特征，把握详细幂函数的图象和性质。

（2）能应用幂函数的图象和性质解决有关简洁问题。

力量目标：培育同学发觉问题，分析问题，解决问题的力量。

情感目标：

（1）加深同学对讨论函数性质的基本方法和流程的阅历。

（2）渗透辨证唯物主义观点和方法论，培育同学运用详细问题详细分析的方法分析问题、解决问题的力量。

2、教学重点：从详细函数归纳熟悉幂函数的一些性质并简洁应用。

教学难点：引导同学概括出幂函数的性质。

3、教学方法和教学手段：探究发觉法和多媒体教学

4、教学过程：

问题情境

问题1写出下列y关于x的函数解析式：

①正方形边长x、面积y

②正方体棱长x、体积y

③正方形面积x、边长y

④某人骑车x秒内匀速前进了1m，骑车速度为y

⑤一物体位移y与位移时间x，速度1m/s

问题2是否为指数函数？上述函数解析式有什么共同特征？（老师将解析式写成指数幂形式，以启发同学归纳，）板书课题并归纳幂函数的定义。

（二）新课讲解

幂函数的定义：一般地，我们把形如的函数称为幂函数（powerfunction），其中是自变量，是常数。

为了加深对定义的理解，请同学们判别下列函数中有几个幂函数？

①y=②y=2x2

我们了解了幂函数的概念以后我们一起来讨论幂函数的性质。

问题3幂函数具有哪些性质？用什么方法讨论这些性质的呢？我们请同学们回忆一下在前面学习指数函数、对数函数我们一起讨论了哪些性质呢？（同学争论，老师引导）

（引发同学作图讨论函数性质的爱好。函数单调性的推断，既可以使用定义，也可以通过图象解决，直观，易理解。）

在学校我们已经学习了幂函数的图象和性质，请同学们在同一坐标系中画出它们的图象。

依据你的学习经受，你能在同一坐标系内画出函数的图象吗？

（同学作图，老师巡察。将同学作图用实物投影仪演示，指出优点和错误之处。老师利用几何画板演示，通过超级链接几何画板演示。）

问题4我们看到，这些函数在第一象限都有图象，所以我们就先来讨论幂函数在上的性质。请同学们考虑一下有哪些共性呢？（同学回答）

归纳总结幂函数的性质：幂函数图象的基本特征是，当是，图象过点，且在第一象限随的增大而上升，函数在区间上是单调增函数。

下面我们一起来尝试幂函数性质的简洁应用

巩固练习：例1写出下列函数的定义域，并指出它们的奇偶性和单调性：①y=x②y=x③y=x。（板书一题，其他同学回答并小结）

感受理解例2：比较下列各组中两个值的大小，并说明理由：

①0.75，0.76；

②（—0.95），（—0.96）；

③0.31，0.31

分析：利用考察其相对应的幂函数和指数函数单调性来比较大小

巩固提高例3、幂函数y=（m—3m—3）x在区间上是减函数，求m的值。

（三）小