1控制系统的状态空间模型

本文格式为Word版，下载可任意编辑——1控制系统的状态空间模型《现代控制理论》讲义第1章控制系统的状态空间模型

Chapter1控制系统的状态空间模型

1.1状态空间模型

在经典控制理论中，采用n阶微分方程作为对控制系统输入量u(t)和输出量

或者在零初始条件下，对ny(t)之间的时域描述，

阶微分方程进行Laplace变换，

得到传递函数作为对控制系统的频域描述，“传递函数〞建立了系统输入量

U(s)?L[u(t)]和输出量Y(s)?L[y(t)]之间的关系。传递函数只能描述系统的外部

特性，不能完全反映系统内部的动态特征，并且由于只考虑零初始条件，难以反映系统非零初始条件对系统的影响。

现代控制理论是建立在“状态空间〞基础上的控制系统分析和设计理论，它用“状态变量〞来刻画系统的内部特征，用“一阶微分方程组〞来描述系统的动态特性。系统的状态空间模型描述了系统输入、输出与内部状态之间的关系，透露了系统内部状态的运动规律，反映了控制系统动态特性的全部信息。1.1.1状态空间模型的表示法

例1-1（P6例1.1.1）如下面RLC（电路）系统。试以电压u为输入，以电容上的电压uC为输出变量，列写其状态空间表达式。

例1-1图RLC电路图

解：由电路理论可知，他们满足如下关系

?di(t)?Ldt?Ri(t)?uC(t)?u(t)?duC(t)?C?i(t)dt?经典控制理论：消去变量i(t)，得到关于uC(t)的n?2阶微分方程：

duC(t)dt22?RduC(t)Ldt?1LCuC(t)?1LCu(t)

对上述方程进行Laplace变换：(s2?2?s??02)UC(s)??02U(s)

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得到传递函数：G(s)??02220s?2?s??，?0?1LC，??R2L

现代控制理论：选择???x1??i(t)?流过电容的电流i(t)和电容上的电压uC(t)作为?????u(t)??x?2??C?2个状态变量，n?2（2个储能元件）；1个输入为u(t)，m?1；1个输出y?uC，

r?1。向量x?(x1x2)T完全描述了电路的内部状态，电路的动态过程，由状态

变量的初始值x(0)和外部输入u(t)唯一确定，输出y(t)?uC(t)。

R11?di(t)??i(t)?u(t)?u(t)C?dtLLL?duC(t)1??i(t)C?dt由于

可列写出矩阵形式的状态方程如下。???1???R/L?x???????x2??1/C?1/L??x1????????0??x2??1/L???0??u(t)，y???控制矩阵B?x1?1???x??输出矩阵C?2??0

系数矩阵A系统在任一时刻的状态可以用右图“状态空间〞中的一个点例如M(i(t1)，uC(t1))来描述。状态：动态系统的状态，是指能完全描述系统时域行为的一组相互独立的变量组（给定变量组的初始值x(t0)和输入函数u(t?0)，就能完全确定输出y(t)，t?0。

状态向量：系统有n个状态变量x1(t),...,xn(t)，用这n个状态变量作为分量所构成的向量（寻常以列向量表示）称为系统的状态向量：x(t)?(x1(t)...xn(t))T

n状态空间：以状态变量x1,x2,...,xn为坐标轴所组成的n维空间，称为状态空间X状态空间的每一个点均代表系统的某一特定状态。系统在t?0时的各瞬时状态在状态空间中构成一条轨线。**也可以从方程

x1?uC?C?x?1选择x2?u?2?u??C??2?x2??02x1??02uxdu(t)dt22?Rdu(t)Ldt?1LCuC(t)?1LCu(t)出发

?1??0?x?????2?x????2????0??x1??0???u????2??????2???x2???0?12

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detsI(?A)?s?1s?2??20?s?2?s??0，这正是传递函数的特征方程！

?x?221选取uC(t)?y(t)作为电路输出量，则状态空间模型的输出方程为y??10???x??。

?2?由此可见，一个系统的状态变量的选取不是唯一的，相应的状态空间模型也是不同的，这使得可以通过适选中取状态变量，使系统的状态空间模型具有特别的结构（能控标准型、能观标准型、对角型、约当型等），从而极大的便利控制系统的分析与设计。系统分类：

??获得输出信息，例如各种比例放大器；①由已知输入信息????????

代数方程(可以是超越方程等)②由已知输入信息?微分方程，初始条件???????获得输出信息，例如各种动态系统。1.1.2状态空间模型的一般形式

以状态空间模型描述系统行为的方法和传递函数不同，它把输入对输出的影响分成两段来描述。第一段是输入引起系统内部状态发生变化，由一阶向量微

?(t)?分方程xf(x(t),u(t),t)（状态方程）来描述；其次段是系统内部状态变化引

起系统输出的变化，用一个代数方程y(t)??(x(t),u(t),t)（输出方程，也称观测方程）来描述。本教材使用m维输入，r维输出。

u1y1状态变量x1,x2,?,xnu2umy2yr图1-1

状态向量：x(t)?(x1(t)...xn(t))T，角标T只表示将“竖式〞写成“横式〞；

yr(t))T输入向量：u(t)?(u1(t)...um(t))T，输出向量：y(t)?(y1(t)...矩阵转置运算：(BAB)T

?BT???BTAT???C?；??CA???????T?C?TACTT?“行矩阵〞的转置等于分别转置后的“列矩阵〞；“列矩阵〞的转置等于分别转置后的“行矩阵〞；利用矩阵的转置运算可将“列矩阵〞表达为“行矩阵〞形式。

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对线性时变系统，上式可写成如下规范形式：

?(t)?A(t)x(t)?B(t)u(t)，y(t)?C(t)x(t)?D(t)u(t)xn?1n?nn?1n?mm?1r?1r?nn?1r?mm?1对线性定常系统，可进一步写成如下规范形式：

?(t)?Ax(t)?Bu(t)，y(t)?Cx(t)?Du(t)xn?1n?nn?1n?mm?1r?1r?nn?1r?mm?1物理意义：A?系数矩阵，描述状态量本身对状态量变化的影响；

B?输入（控制）矩阵，描述输入量对状态量变化的影响；

C?输出矩阵，描述状态量对输出量变化的影响；

D?直接转移矩阵，描述输入量对输出量变化的直接影响；实际中，很少有输入量直接传递到输出端，因而往往D?0，故线性定常系统可用(A,B,C)表示。

系统的输出量和状态变量是两个不同的概念，输出量是人们希望从系统外部能测量到的某些信息，它们可能是状态分量中的一部分，也可以是一些状态分量和控制量的线性组合；而状态变量则是完全描述系统动态行为的一组量，在大量实际系统中往往难以直接从外部测量得到，甚至根本就不是物理量。如何恰选中择输出量，要根据需要来决定，但其数量不会超过状态分量的个数。例1-2（P11例1.1.2）：如下面弹簧质量（机械）系统。忽略摩擦力，试以m1受力

u1、m2受力u2为输入，以质量m1的偏离平衡位置的位移y1、质量m2偏离平衡位

置的位移y2为输出变量，列写其状态空间表达式。

例1-2图弹簧-质量系统P11

解：两个质量块，储存动能，三个弹簧，储存势能，共5个储能元件，但由于两端固定，三个弹簧只有两个是“自由的〞，故只有4个状态变量。令状态变量为

?2，向量x?(x1?1，x3?y2，x4?yx1?y1，x2?yx2x3x4)T可完全描述系统

的内部状态；可列写出矩阵形式的状态方程和输出方程如下。

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0??x?1??k?k2????1?2?m1?x???x0?3?????k2?x???4??m2?1000?0k2m10k2?k3m20????x1??0????x??2???1??x3???????0??x?4????01m1000??x1????0?u1??y1??1000??x2????????,???????0??u2?????y2??0010??x3?1?输出矩阵C,p?n?2?4?x??4??m2?系数矩阵A,n?n?4?4控制矩阵B该系统为输入m?2、输出r?2，状态n?4系统。

例1-3（P13例1.1.4）：液位系统模型如下图（化工机械系统）。在化工过程中，往往需要将液位保持在一定高度上。稳态时，两水箱单位时间流入量和流出量均为Q。蓄水池1的横截面积为S1，液面高度为h1，阀1的阻抗为R1；水箱2的横截面积为S2，液面高度为h2，阀2的阻抗为R2。假使第一个水箱的输入量变化u，引起水箱1液位变化x1，流出量变化y1，进一步引起水箱2液位变化x2，流出量变化y2。指定水箱2的流出量变化y2的数学模型。

?y为被控量（输出），求出该系统

例1-4图