2022-2023学年北京市第十二中学高二年级下册学期3月检测数学试题【含答案】

2022-2023学年北京市高二下学期3月检测数学试题一、单选题1．（

）A．13 B．21 C．42 D．5040【答案】C【分析】根据排列数公式计算可得.【详解】.故选：C2．圆的圆心坐标为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】将圆的方程配成标准式，即可得解.【详解】圆即，所以圆心坐标为.故选：B3．直线的倾斜角为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意，将直线方程化为斜截式，求出直线的斜率，由斜率与倾斜角的关系，及可求解．【详解】由，得，故斜率为，因，所以倾斜角．故选：D．4．“”是“直线与直线垂直”的（

）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】利用两直线垂直可求得的值，再利用集合的包含关系判断可得出结论.【详解】若直线与直线垂直，则，即，解得或，因为，所以，“”是“直线与直线垂直”的充分非必要条件.故选：A.5．抛物线的准线方程是，则的值为（

）A． B．2 C． D．4【答案】C【分析】根据抛物线的性质计算可得.【详解】因为抛物线的准线方程是，所以，且，所以.故选：C6．甲、乙、丙、丁四名教师带领学生参加校园植树活动，教师随机分成三组，每组至少一人，则甲、乙在同一组的概率为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用组合可求基本事件的总数，再根据排列可求随机事件含有的基本事件的总数，从而可求对应的概率.【详解】设“甲、乙在同一组”为事件，教师随机分成三组，每组至少一人的分法为，而甲、乙在同一组的分法有，故，故选：A.7．从0，1，2，3，4，5这六个数字中，任取两个不同数字构成平面直角坐标系内点的横、纵坐标，其中不在轴上的点有（

）A．36个 B．30个 C．25个 D．20个【答案】C【分析】根据点不在y轴上，分2类根据分类加法计数原理求解.【详解】因为点不在轴上，所以点的横坐标不能为0，分两类考虑，第一类含0且为点的纵坐标，共有个点，第二类坐标不含0的点，共有个点，根据分类加法计数原理可得共有个点.故选：C8．在平面内，，是两个定点，是动点，若，则点的轨迹为（

）A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线【答案】A【分析】设出、、的坐标，利用已知条件，转化求解的轨迹方程，推出结果即可．【详解】解：在平面内，，是两个定点，是动点，不妨设，，设，所以，因为，所以，即，所以点的轨迹为圆．故选：A．9．与双曲线有共同渐近线，且经过点的双曲线的虚轴的长为（）A．2 B．4 C．2 D．4【答案】D【分析】依题意，设双曲线的方程为，将点的坐标代入可求．即可求解.【详解】设与双曲线有共同的渐近线的双曲线的方程为，该双曲线经过点，．所求的双曲线方程为：，即．所以，所以虚轴长为4.故选：D10．甲、乙、丙、丁、戊、己6人站成一排拍合照，要求甲必须站在中间两个位置之一，且乙、丙2人相邻，则不同的排队方法共有（

）A．24种 B．48种 C．72种 D．96种【答案】C【分析】先安排甲，可从中间两个位置中任选一个，再安排乙丙2人，可分为两类：安排在甲有2个位置的一侧；安排在甲有3个位置的一侧，最后安排其余3人，综上可得答案.【详解】先安排甲，可从中间两个位置中任选一个安排有种方法，而甲站好后一边有2个位置，另一边有3个位置，再安排乙丙2人，因乙、丙2人相邻，可分为两类：安排在甲有2个位置的一侧有种方法；安排在甲有3个位置的一侧有种方法，最后安排其余3人有种方法，综上，不同的排队方法有：种.故选：C.11．已知点是抛物线上的动点，点A的坐标为，则点到点A的距离与到轴的距离之和的最小值为（

）A．13 B．12 C．11 D．【答案】B【分析】作出辅助线，利用抛物线定义得到点到点A的距离与到轴的距离之和，由两点之间，线段最短，得到距离之和的最小值为，求出答案.【详解】如图，⊥轴，连接，由抛物线定义得：抛物线的准线方程为，焦点坐标为，故，则点到点A的距离与到轴的距离之和，连接，与抛物线交于点，此时，故点到点A的距离与到轴的距离之和的最小值为，其中，故最小值为.故选：B12．古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中描述了圆锥曲线的共性，并给出了圆锥曲线的统一定义，只可惜对这一定义欧几里得没有给出证明．经过了500年，到了3世纪，希腊数学家帕普斯在他的著作《数学汇篇》中完善了欧几里得关于圆锥曲线的统一定义，并对这一定义进行了证明．他指出，到定点的距离与到定直线的距离的比是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线：当时，轨迹为椭圆；当时，轨迹为抛物线；当时，轨迹为双曲线．现有方程表示的曲线是双曲线，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】将原方程两边开平方，结合两点的距离公式和点到直线的距离公式，以及圆锥曲线的统一定义，可得的不等式，可得所求范围．【详解】方程，即，显然，则，即，可得动点到定点和定直线的距离的比为常数，由双曲线的定义，可得，解得，即的取值范围为.故选：B．二、填空题13．的展开式中的系数是___________．【答案】【分析】首先写出展开式的通项，再令求出，最后代入计算可得.【详解】二项式展开式的通项为，，令，解得，所以，所以展开式中的系数为.故答案为：14．用数字，组成五位数，且数字，至少都出现一次，这样的五位数共有___________个．（用数字作答）【答案】【分析】首先确定数字中和的个数，出每种情况的结果数，根据分类加法计数原理计算即可.【详解】解：首先确定数字中和的个数，当数字中有1个，4个时，共有种结果，当数字中有2个，3个时，共有种结果，当数字中有3个，2个时，共有种结果，当数字中有4个，1个时，共有种结果，根据分类加法原理知共有种结果，故答案为：．15．过点(1,2)可作圆的两条切线，则实数的取值范围是____．【答案】(3,7)【分析】把已知圆的方程化为标准方程后，找出圆心坐标和半径，由过点可作圆的两条切线，可得在圆外，利用到圆心的距离大于圆的半径,列出关于的不等式，同时考虑大于0,两不等式求出公共解集即可得到的取值范围.【详解】把圆的方程化为标准方程得：，∴圆心坐标为(－1,2)，半径r＝，则点到圆心的距离d＝2，因为点在圆外时，过点(1,2)总可以向圆作两条切线，∴d>r即<2，且7－k>0，解得：3<k<7，则实数k的取值范围是(3,7)，故答案为(3,7)．【点睛】本题主要考查圆的方程以及点与圆的位置关系，考查了转化思想的应用，属于中档题.转化是数学解题的灵魂，合理的转化不仅仅使问题得到了解决，还可以使解决问题的难度大大降低，本题将过点可作圆的两条切线转化成点在圆外问题是解题的关键.16．已知分别为椭圆的左，右焦点，直线与椭圆C的一个交点为M，若，则椭圆的离心率为______.【答案】##【分析】由直线过原点及斜率，，可得，再结合椭圆定义，在焦点三角形通过勾股定理构建齐次方程，即可求出离心率【详解】由题可知，为直角三角形，，直线过原点，，故，又，则，在中，，即，又，解得：或（舍去）.故答案为：.17．对于双曲线,给出下列三个条件:①离心率为;②一条渐近线的倾斜角为;③实轴长为,且焦点在轴上.写出符合其中两个条件的一个双曲线的标准方程__________．【答案】,答案不唯一【解析】根据双曲线的性质，选择其中两个条件，求出，即可得到满足题意的一个的双曲线标准方程．【详解】若选择①③，所以，解得，所以，因为焦点在轴上，所以双曲线的标准方程为．若选择其它，可以得到其它的双曲线的标准方程．故答案为：，答案不唯一．【点睛】本题主要考查双曲线的简单性质的应用，属于基础题．18．数学中有许多寓意美好的曲线，曲线被称为“四叶玫瑰线”（如图所示）.给出下列三个结论：①曲线关于直线对称；②曲线上任意一点到原点的距离都不超过；③存在一个以原点为中心、边长为的正方形，使得曲线在此正方形区域内（含边界）.其中，正确结论的序号是________.【答案】①②【解析】将代入也成立得①正确；利用不等式可得，故②正确；联立得四个交点，满足条件的最小正方形是以为中点，边长为2的正方形，故③不正确.【详解】对于①，将代入得成立，故曲线关于直线对称，故①正确；对于②，因为，所以，所以，所以曲线上任意一点到原点的距离都不超过，故②正确；对于③，联立得，从而可得四个交点，，，，依题意满足条件的最小正方形是各边以为中点，边长为2的正方形，故不存在一个以原点为中心、边长为的正方形，使得曲线在此正方形区域内（含边界），故③不正确.故答案为：①②【点睛】本题考查了由曲线方程研究曲线的对称性，考查了不等式知识，考查了求曲线交点坐标，属于中档题.三、解答题19．从4男3女共7名志愿者中，选出3人参加社区义务劳动.(1)共有多少种不同的选择方法？(2)若要求选中的3人性别不能都相同，求共有多少种不同的选择方法？【答案】(1)35(2)30【分析】（1）7名志愿者中选出3人共有种；（2）选中的3人性别不能都相同，即为1男2女或2男1女，即.【详解】（1）7名志愿者中选出3人共有种；（2）选中的3人性别不能都相同，即为1男2女或2男1女，则有种.20．已知圆经过点，，且______．从下列3个条件中选取一个，补充在上面的横线处，并解答．①与轴相切；②圆恒被直线平分；③过直线与直线的交点C．(1)求圆的方程；(2)求过点的圆的切线方程．【答案】(1)任选一条件，方程都为(2)或【分析】(1)选①，设圆的方程为，根据题意列出方程组，求解即可；选②，由题意可得直线恒过为圆的圆心，代入A点坐标即可求解；选③，求出两直线的交点为，根据圆过A，B，C三点求解即可；(2)先判断出点P在圆外，再分切线的斜率存在与不存在分别求解即可.【详解】（1）解：选①，设圆的方程为，由题意可得，解得，则圆的方程为；选②，直线恒过，而圆恒被直线平分，所以恒过圆心，因为直线过定点，所以圆心为，可设圆的标准方程为，由圆经过点，得，则圆的方程为．选③，由条件易知，设圆的方程为，由题意可得，解得，则圆的方程为，即．综上所述，圆的方程为；（2）解：因为，所以点P在圆外，若直线斜率存在，设切线的斜率为，则切线方程为，即所以，解得．所以切线方程为，若直线斜率不存在，直线方程为，满足题意．综上过点的圆的切线方程为或．21．已知抛物线上一点到焦点F的距离为4．(1)求实数p的值；(2)若过点的直线l与抛物线交于A，B两点，且，求直线l的方程．【答案】(1)(2)或【分析】（1）根据抛物线的几何性质求出p即可；（2）设直线l的方程，联立直线l和抛物线方程，运用韦达定理和抛物线的几何性质即可求解.【详解】（1）由抛物线的几何性质知：P到焦点的距离等于P到准线的距离，，解得：；（2）由（1）知抛物线，则焦点坐标为F，显然直线l斜率不为0，设直线l为：，，联立直线与抛物线方程：，得：，则，，则所以，解得，所以直线l为：或；综上，，直线l为：或.22．已知椭圆的离心率为且过点.(1)求椭圆C的方程；(2)设直线与椭圆C交于不同的两点P，Q（均异于点A），求证：直线AP，AQ的斜率之和为定值；(3)己知点M，N在C上，且，求证：直线MN过定点．【答案】(1)(2)证明见解析；(3)证明见解析；【分析】（1）利用题意得到关于的等式，进行联立求解即可；（2）根据题意，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理代入中计算，即可得到结果；（3）由可得，设出直线方程，与椭圆方程联立后结合韦达定理，代入等