长安一中高2022届第一次模拟考试：文科数学模拟试题 答案

长安一中高2022届第一次模拟考试数学（文）答案一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分.1．复数等于()A．B．C．D．【答案】A2．设全集，集合,，则()A．B．C．D．【答案】B3．观察新生婴儿的体重，其频率分布直方图如右图所示，则新生婴儿体重在(2700，3000)内的频率为()A． B．C． D．xyOxyODxyOBxyOAxyOC4.函数的图像大致是()【答案】B5.已知为不同的直线，为不同的平面，给出下列命题：①；②；③；④.其中的正确命题序号是A．②③B．①②③C．②④D．①②④【答案】A6．若是锐角三角形的三个内角，向量,，则与的夹角为（）A．锐角B．直角C．钝角D．以上都不对【答案】A7.在球内任取一点，使得点在球的内接正方体中的概率是（）A．B．C．D．【答案】C8．已知点的坐标满足，设为坐标原点，，则的最小值为（）A．-4 B．-2 C．1 【答案】B9.已知椭圆（）的短轴端点分别为、，左、右焦点分别为、，长轴右端点为，若，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【答案】C10.已知函数，满足，为正实数.则的最小值为（）A．－6 B．－3 C．0 D【答案】D二．填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分.11.若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如下图所示，则这个棱柱的体积为.【答案】12．若一个圆的圆心在抛物线的焦点上，且此圆与直线相切，则这个圆的方程是.【答案】13．如果执行下面的程序框图,那么输出的S等于.【答案】314.下列三个结论中①命题：“对于任意的，都有”，则为“存在，使得”；②某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为、、、、．已知这组数据的平均数为10，则其方差为；③若函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是.你认为正确的结论序号为.【答案】①②15．（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评阅记分．）A．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，两点，间的距离是.【答案】B．（不等式选讲选做题）若不等式的解集为.【答案】C．（几何证明选讲选做题）如图，点是圆上的点，且，则圆的面积等于．【答案】三．解答题：本题共6小题，共75分.16.（本小题满分12分）已知函数（，）为偶函数，且函数图象的两相邻对称轴间的距离为．（Ⅰ）求和的值；（Ⅱ）将函数的图象向右平移个单位后，得到函数的图象，求的单调递减区间．【解答】：（Ⅰ）．-------2分因为为偶，所以，即.又因为，故．----4分所以．由题意得，所以．---------6分（Ⅱ）由知，所以．--------9分由，解得，因此的单调递减区间为．----12分17．（本题满分12分）有甲乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩后，得到如下的列联表.优秀非优秀总计甲班10乙班30合计105 已知在全部105人中随机抽取1人为优秀的概率为（Ⅰ）请完成上面的列联表；（Ⅱ）从105名学生中选出10名学生组成参观团，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从105人中剔除5人，剩下的100人再按系统抽样的方法抽取10人，请写出在105人中，每人入选的概率.（不必写过程）（Ⅲ）把甲班优秀的10名学生从2到11进行编号，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数之和作为被抽取人的序号，试求抽到6号或10号的概率.优秀非优秀总计甲班104555乙班203050合计3075105【解答】：（Ⅰ）从可知两个班的优秀生共30人，--------------1分---------------4分（Ⅱ）----------------------------------------------------6分（Ⅲ）设“抽到6或10号”为事件A，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数为. 所有的基本事件有（1，1）、（1，2）、（1，3）、……、（6，6），共36个----------------------------8分事件A包含的基本事件有：（1，5）、（2，4）、（3，3）、（4，2）、（5，1）（4，6）、（5，5）、（6、4），共8个-------------------------------------10分 答：抽到6号或10号的概率为--------------12分18．（本小题满分12分）如图所示，四棱锥中，底面为正方形，平面，，，，分别为、、的中点．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求证：．【解答】：（Ⅰ）∵平面，平面，∴．又为正方形，∴．∵，∴平面．-----------3分∵平面，∴．∵，∴．----------6分（Ⅱ）取的中点，连接，∵分别是的中点，且为正方形，∴，且，∴，且．∴四边形是平行四边形．∴．----------10分又∵在平面外，平面．∴．----------12分19．（本小题满分12分）设是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且，，．（Ⅰ）求，的通项公式；（Ⅱ）记数列的前n项和为，证明:．【解答】：（Ⅰ）设的公差为，的公比为，--------1分则依题意有且解得，．-------4分所以，.-----------6分（Ⅱ）．，①，②由②－①得：，．-----------10分∵,∴.-----------12分20．（本小题满分13分）已知实数，函数．（Ⅰ）若的图象在点处的切线与直线平行，求函数的极值；（Ⅱ）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围．【解答】：（Ⅰ）,．，得------------2分令得，∴或．又函数在上为增函数，在上为减函数，在上为增函数------------4分在时取得极大值，．在时取得极小值------------6分（Ⅱ）由知：当时，函数在上是增函数，在上是减函数.此时，.又对，不等式恒成立.∴得,∴.------------9分当时，函数在上是减函数，在上是增函数.又，，此时，.又对，不等式恒成立.∴得,∴.------------12分故所求实数的取值范围是.---------------13分21.(本小题满分14分)已知椭圆的焦点在轴上，一个顶点的坐标是，离心率等于．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过椭圆的右焦点作直线交椭圆于两点，交轴于点，若，，求证：为定值．【解答】：（Ⅰ）设椭圆的方程为，则由题意知．∴．即．∴．∴椭圆的方程为．---------------5分（Ⅱ）方法一：设点的坐标分别为，又易知点的坐标为．∵，∴．∴，．----------------7分将点坐标代入到椭圆方程中得：，去分母整理得：．---------------11分同理，由可得：．∴，是方程的两个根，∴．---------------