浙江省嘉善高级中学2022届高三数学每周一练

嘉善高级中学高三数学周练（4）一、选择题（30分）1、若，其中是虚数单位，则（）（A）（B）1 （C）2 （D）32、从5名学生中选出4名分别参加数学、物理、化学、外语竞赛，其中A不参加物理、化学竞赛，则不同的参赛方案种数为（）（A）24 （B）48 （C）72 （D）1203、等差数列的前项和为，若成等比数列，则的值为（）（A）1或２（B） （C）或2（D）２4、已知函数，，若对，总存在使得恒成立，则（A）（B）（C）（D）5、设椭圆与抛物线在第一象限交于点，且抛物线在点的切线恰好过椭圆的右焦点，则椭圆的离心率为（）（A）（B）（C）（D）二、填空题（30分）6、若函数则不等式的解集为▲．。7、将A、B、C、D四个球放入编号为1，2，3的三个盒子中，每个盒子中至少放一个球且A、B两个球不能放在同一盒子中，则不同的放法有种．308、若平面区域是一个梯形，则实数的取值范围是9.已知函数的定义域为，部分对应值如下表，为的导函数，函数的图象如下图所示：若两正数、满足，oxy-2则的取值范围是oxy-2041110、对于一切实数，令为不大于的最大整数，则函数称为高斯函数或取整函数，如。若数列满足为其前项的和，则的前项的和等于。三、解答题11、在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且，（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若最大边的边长为，且，求最小边长．11、解：（Ⅰ）由整理得，即，∴，∵，∴。（Ⅱ）∵,∴最长边为，∵，∴，∴为最小边，由余弦定理得，解得，∴，即最小边长为112、某人随机地将编号为1，2，3，4的四个小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，每个盒子放一个小球，全部放完。（I）求编号为奇数的小球放入到编号为奇数的盒子中的概率值；（II）当一个小球放到其中一个盒子时，若球的编号与盒子的编号相同，称这球是“放对”的，否则称这球是“放错”的。设“放对”的球的个数为的分布列及数学期望。12、解：（I）四个小球放入四个盒子，每个盒子放一个，共有4！种方法， 又编号为奇数的小球放入到编号为奇数的盒子中，共有各方法 故编号为奇数的小球放入到编号为奇数的盒子中的概率 （II）的取值为0，1，2，4，且 故的分布列如下表：0124P 故 13、如图，已知直角梯形所在的平面垂直于平面，，，．（1）在直线上是否存在一点，使得平面？请证明你的结论；（2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．13、解：（1）线段的中点就是满足条件的点。证明如下：取的中点连结，则，，取的中点，连结，∵且，∴△是正三角形，∴．∴四边形为矩形，∴．又∵，∴且，四边形是平行四边形．∴，而平面，平面，∴平面．（2）（法1）过作的平行线，过作的垂线交于，连结，∵，∴，是平面与平面所成二面角的棱．∵平面平面，，∴平面，又∵平面，∴平面，∴，∴是所求二面角的平面角．设，则，，∴，∴．（法2）∵，平面平面，∴以点为原点，直线为轴，直线为轴，建立空间直角坐标系，则轴在平面内（如图）．设，由已知，得，，．∴，，设平面的法向量为，则且，∴∴解之得取，得平面的一个法向量为.又∵平面的一个法向量为．14、已知函数(1)求使方程存在实数解时的取值范围；(2)设，函数．若对任意，总存在，使，求实数的取值范围．14、解：，令，得或．当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，而，当时，的值域是，的取值范围是(2)设函数在上的值域是A，若对任意．总存在,使，由得①当时，函数在上单调递减。，所以当时，不满足②当时，，令，得或(舍去)（i）时，的变化如下表：2+↘↗．，解得．(ii)当时，函数在上单调递减．，当时，不满足综上可知，实数的取值范围是．15.如图，曲线是以原点O为中心、为焦点的椭圆的一部分，曲线是以O为顶点、为焦点的抛物线的一部分，A是曲线和的交点且为钝角，若，，（Ⅰ）求曲线和的方程；（Ⅱ）过作一条与轴不垂直的直线，分别与曲线依次交于B、C、D、E四点，若G为CD中点、H为BE中点，是否为定值？若是求出定值；若不是说明理由。15、解：（Ⅰ）设椭圆方程为，则，得…2分设，则，，两式相减得，由抛物线定义可知，则或（舍去）所以椭圆方程为，抛物线方程为。………6分另解：过作垂直于轴的直线，