利用SPSS进行因子分析（R型）

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与主成分分析的数据一致：全国30个省市的8项经济指标。

因子模型是一个封闭方程，寻常采用主成分求解，称为“主因解〞。上次陈述的“利用SPSS进行主成分分析〞的过程，实际上是因子分析的第一步。在主成分分析基础上，加上因子旋转，就可完成基于主成分分析的所谓因子分析。当然也可通过另外的途径进行因子分析，在此暂不涉及。

第一步：录入或调入数据（见图1）。

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图1录入工作表中的原始数据

其次步，进行主成分分析（参见主成分分析部分，在此从略）。

第三步，因子正交旋转的系统设置。

沿着主菜单的“Analyze→DataReduction→Factor?〞路径开启因子分析选项框（图2），完成主成分分析的设置或过程以后，单击Rotation（旋转）按钮，开启“FactorAnalysis:Rotation〞（因子分析：旋转）选项单（图3），在Method（方法）栏中选中Varimax（方差极大正交旋转）复选项，此时Display（展示）栏中的Rotated

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Solution（旋转解）将被激活为系统默认态，选中LoadingPlot(s)（载荷图）复选项，将会在输出结果中给出因子载荷图式。注意此时的MaximumIterationsforConvergence（迭代收敛的最大次数）为系统默认的25次，假使数据变量较多或样本较大，经过25次迭代可能计算过程依旧未能收敛，需要改为50次、100次乃至更多，否则SPSS无法给出计算结果。迭代次数越多，计算时间也就越长。在多数状况下，不足25次迭代计算过程就会收敛。

图2因子分析选项框

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图3因子旋转对话框

注意：与上述MaximumIterationsforConvergence（迭代收敛的最大次数）有关的设置是Extraction（提取）对话框中的迭代次数设置（图4），假使今后工作中修改了图3所示的迭代次数依旧未能给出结果，那就意味着图4所示的迭代次数设置没有增加；反过来也是一样。有时候，计算过程或数据自身特别，改正一个地方的迭代次数设置就够了。熟能生巧，诸位多多练习，就会熟谙其中微妙。

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图4因子分析的“提取〞选项框

最终，在图4所示的选项框中，最好选中Display栏中的Unrotatedfactorsolution（非旋转因子解），这样系统会在给出旋转因子解的同时，给出或保存未经旋转的主因解，以便进行因子旋转前后的结果对比分析。

完成上述设置以后，点击Continue继续。然后点击FactorAnalysis中的OK确定，SPSS就会给出计算结果（图5）。

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图5因子分析的输出结果

第四步，正交因子解的结果解读。

在因子分析结果中，前面部分的基础内容与主成分分析结果一致，在因子载荷表以后就有不同。下面是主成分载荷矩阵即未经旋转的主因解载荷矩阵（ComponentMatrix），可以表作A。

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ComponentMatrixa1国内生产居民消费固定资产职工工资货物周转消费价格商品零售工业产值.885.607.912.466.486-.509-.620.823Component2.384-.598.161-.722.738.252.594.4273.121.271.212.368-.275.797.438.211ExtractionMethod:PrincipalComponentAnalysis.a.3componentsextracted.下面是正交旋转以后的因子载荷矩阵（RotatedComponentMatrix），可以表作B，判读方法与解读主成分载荷矩阵一样。

RotatedComponentMatrixa1国内生产居民消费固定资产职工工资货物周转消费价格商品零售工业产值.955.217.8715.112E-02.752-.135-.103.944Component2.125.841.352.927-.505-9.01E-03-.494.1113-.131-.213-.137-.114-.189.969.821-1.46E-02ExtractionMethod:PrincipalComponentAnalysis.RotationMethod:VarimaxwithKaiserNormalization.a.Rotationconvergedin5iterations.下面是成分变换矩阵（ComponentTransformationMatrix），可以表作T。

ComponentTransformationMatrixComponent1231.817.548.1792.408-.769.4923-.407.329.852ExtractionMethod:PrincipalComponentAnalysis.RotationMethod:VarimaxwithKaiserNormalization.三个矩阵的关系是

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B?AT

我们可以用Excel检验这种关系：将旋转前的主成分载荷矩阵A和成分变换矩阵T拷贝到Excel中，然后用A乘以T（图6），得到B阵（图7）。

图6A阵乘以T阵示意图

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图7A阵乘以T阵的结果：B阵

在载荷图下面，给出了正交旋转后的成分得分系数矩阵（ComponentScoreCoefficientMatrix），可以表作B’，它是旋转前的成分得分系数矩阵A’乘以成分变换矩阵T得到的结果，关于旋转前的成分得分系数矩阵A’，可参见“利用SPSS进行主成分分析〞部分。同样可以在Excel中验证以下关系

B??A?T

将检验结果（图8）与下面成分得分系数矩阵比较即知。

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ComponentScoreCoefficientMatrix1国内生产居民消费固定资产职工工资货物周转消费价格商品零售工业产值.306.023.270-.025.249.069.078.317Component2.011.385.128.453-.317.179-.098.0253.046.035.074.099-.135.652.463.123ExtractionMethod:PrincipalComponentAnalysis.RotationMethod:VarimaxwithKaiserNormalization.ComponentScores.

图8A’阵乘以T阵的结果：B’阵

接下来是成分得分协方差矩阵（ComponentScoreCovarianceMatrix），对角线以外的元素为0或十分之小说明正交旋转之后，因子之间仍旧是垂直即正交的。

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ComponentScoreCovarianceMatrixComponent12311.000.000.0002.0001.000-1.16E-163.000-1.16E-161.000ExtractionMethod:PrincipalComponentAnalysis.RotationMethod:VarimaxwithKaiserNormalization.ComponentScores.对正交旋转以后的因子载荷矩阵进行分析，可以看出国内生产总值、固定资产投资、货物周转量和工业总产值与第一因子关系密切，居民消费水平和职工工资水平与其次因子关系密切，消费价格指数和商品零售价格指数与第三因子关系密切。

图9变量与因子的关系

可以看出，相对于旋转以前的主成分，因子的结果明了多了。旋转以前，第一主成分的内容有比较混乱，反映职工工资的变量与反映物流的货物周转量又在其次主成分中混在一起，很难分出一个条理。现在，关系比较明确：与第一因子关系密切的变量主要是投入－产出方面的变量（投资，产值），货物周转又是投入

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－产出的中介过程，可以命名为投入－产出因子；与其次因子关系密切的都是反映民众生活水平的变量，可以命名为消费能力因子；与第三因子关系密切的是价格指数方面的变量，可以命名为价格指数因子（见下表）。

因子

命名

包含变量

第一因投入－产出GDP，工业总产值，固定资产投资，子

因子货物周转量

其次因消费能力因居民消费水平，职工工资水平子

子第三因价格指数因消费价格指数，商品零售价格指数子

从主成分载荷图上可以看出，变量之间亲疏关系比较明确，且与上表的分类结果是一致的，但变量与因子的亲疏关系却不明朗，从而在载荷表上却不易判读（图10）。正交旋转以后，变量之间的亲疏关系依旧，但变量与因子轴的亲疏关系比较明确，因此在载荷表上易于分类（图11）。

子12

ComponentPlot1.0.5货物周转工业产值国内生产固定资产商品零售消费价格Component20.0-.5居民消费职工工资-.5-.Component1Component3图10旋转以前的主成分载荷图

ComponentPlotinRotatedSpace1.0.5职工工资居民消费固定资产工业产值国内生产消费价格商品零售Component20.0货物周转-.-.5-.Component1Component3

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图11正交旋转后的因子载荷图

a在SPSS中b剪贴到Excel中

图12正交因子计量

最终可以解读因子得分，XX、山东等在第一因子上得分较高，而第一因子是反映投入－产出方面的因子，可见XX、山东等省在经济建设方面的投资和产值都具有一定的地位；上海在其次因子方面得分较高，而其次因子是反映消费能力的因子，可见

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上海在职工工资和消费能力方面位居全国之首；同理，通过在第三因子上的得分状况，云南，消费价格指数偏高，而海南则偏低。其余依此类推，可以逐步深入分析。

第五步，斜交因子旋转的设置

既然正交因子旋转的结果已经比较明了，可以不必再作斜交因子旋转。但是，为了说明利用SPSS求斜交因子解的操作方法，下面进行简要介绍。

在图3所示的因子旋转选项框中，在Method栏中选中DirectOblimin复选项，就可以进行斜交因子旋转。DirectOblimin是最常用的斜交因子旋转方法，当然也可以选中Quartimax进行四次方极大旋转，或者Equmax进行等量最大法旋转等。下面就以DirectOblimin方法为了说明吧。选中DirectOblimin复选项以后，参数Delta的设置被激活，系统默认的δ值是0；假使希望斜交程度小一些，可令δ0，如取δ=1。这里采用默认值。

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图13斜交因子旋转与参数δ的设置

完成设置以后，继续，确定，即可得到结果。斜交旋转以后得到因子图式矩阵(PatternMatrix)，可用P表示，它实际上是斜交旋转的载荷矩阵。但斜交旋转以后，因子载荷不再等于变量与因子之间的相关系数，因此有些数值的绝对值会大于1，见下表。

PatternMatrixa1国内生产居民消费固定资产职工工资货物周转消费价格商品零售工业产值.960.207.8795.563E-02.7282.121E-021.865E-02.968Component2-4.64E-02-.807-.280-.918.586-.131.382-4.85E-023-2.57E-02-.137-2.46E-02-4.52E-02-.1561.002.8149.411E-02ExtractionMethod:PrincipalComponentAnalysis.RotationMethod:ObliminwithKaiserNormalization.a.Rotationconvergedin7iterations.同时得到一个因子结构矩阵（StructureMatrix），可用S

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表示，它才是因子与变量的相关系数，绝对值都在0～1之间。见下表。

接下是斜交因子计量（得分）之间的相关系数，即成分相关矩阵（ComponentCorrelationMatrix）,可见此时因子之间已经不再正交。成分相关矩阵不妨用R表示。因子结构S、因子图式P及成分相关系数R的关系如下：

S?P*R

StructureMatrix1国内生产居民消费固定资产职工工资货物周转消费价格商品零售工业产值.970.304.906.136.726-.238-.228.946Component2-.123-.851-.350-.932.500.075.549-.1013-.293-.360-.318-.250-.230.969.888-.176ExtractionMethod:PrincipalComponentAnalysis.RotationMethod:ObliminwithKaiserNormalization.ComponentCorrelationMatrixComponent12311.000-7.39E-02-.2682-7.39E-021.000.2073-.268.2071.000ExtractionMethod:PrincipalComponentAnalysis.RotationMethod:ObliminwithKaiserNormalization.上述关系在Excel中简单得到验证（图14）。

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图14验证因子结构、图式与因子相关系数的关系

输出结果最终给出了成分得分的协方差矩阵（ComponentScoreCovarianceMatrix），它是通过非标准化因子计量得到的协方差。将下表与成分相关矩阵（ComponentCorrelationMatrix）比较可以看出：对于斜交因子而言，因子计量的相关系数与协方差也不再相等。

ComponentScoreCovarianceMatrixComponent1231.8093.397E-031.75123.397E-031.033-.21031.751-.2102.804ExtractionMetho