新高考数学一轮复习《导数小题综合练》课时练习(含详解)

新高考数学一轮复习《导数小题综合练》课时练习一 、选择题LISTNUMOutlineDefault\l3点P是曲线y＝f(x)＝x2﹣lnx上任意一点，则点P到直线x﹣y﹣2＝0的最短距离为()A.eq\r(3)B.eq\f(3\r(3),2)C.eq\f(2\r(2),3)D.eq\r(2)LISTNUMOutlineDefault\l3若曲线f(x)＝lnx﹣(a＋1)x存在与直线x﹣2y＋1＝0垂直的切线，则实数a的取值范围为()A.(﹣eq\f(1,2)，＋∞)B.[﹣eq\f(1,2)，＋∞C.(1，＋∞)D.[1，＋∞)LISTNUMOutlineDefault\l3函数f(x)＝﹣x3＋12x＋6在区间[﹣eq\f(1,3)，3]上的零点个数是()A.0B.1C.2D.3LISTNUMOutlineDefault\l3设函数f(x)＝lnx＋ax2﹣eq\f(3,2)x，若x＝1是函数f(x)的极大值点，则函数f(x)的极小值为()A.ln2﹣2B.ln2﹣1C.ln3﹣2D.ln3﹣1LISTNUMOutlineDefault\l3已知函数f(x)＝sin2x＋2cosx(0≤x≤π)，则f(x)()A.在[0，eq\f(π,3)]上单调递增B.在[0，eq\f(π,6)]上单调递减C.在[eq\f(π,6)，eq\f(5π,6)]上单调递减D.在[eq\f(π,6)，eq\f(2π,3)]上单调递增LISTNUMOutlineDefault\l3已知函数f(x)＝lnx﹣eq\f(m,x)(m＜0)在区间[1，e]上取得最小值4，则m的值为()A.﹣e2B.﹣e3C.﹣2eD.﹣3eLISTNUMOutlineDefault\l3若当x＞0时，函数f(x)＝2﹣ex＋mx2有两个极值点，则实数m的取值范围是()A.(eq\f(e,2)，＋∞)B.(0，eq\f(e,2))C.(0，2e)D.(2e，＋∞)二 、多选题LISTNUMOutlineDefault\l3(多选)已知函数f(x)＝﹣x3＋ax2＋bx＋c，下列结论中正确的是()A.∃x0∈R，f(x0)＝0B.若f(x)有极大值M，极小值m，则必有M＞mC.若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，x0))上单调递减D.若f′(x0)＝0，则x0是f(x)的极值点LISTNUMOutlineDefault\l3(多选)已知函数f(x)＝sinx﹣xcosx，现给出如下结论，其中正确的结论为()A.f(x)是奇函数B.0是f(x)的极值点C.f(x)在区间(﹣eq\f(π,2)，eq\f(π,2))上有且仅有三个零点D.f(x)的值域为RLISTNUMOutlineDefault\l3(多选)若0＜x1＜x2＜1，e为自然数对数的底数，则下列结论错误的是()A.x2SKIPIF1<0＜x1SKIPIF1<0B.x2SKIPIF1<0＞x1SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0﹣SKIPIF1<0＞lnx2﹣lnx1D.SKIPIF1<0﹣SKIPIF1<0＜lnx2﹣lnx1三 、填空题LISTNUMOutlineDefault\l3已知函数f(x)＝eq\f(sinx,ex)，则曲线y＝f(x)在(0，0)处的切线方程为________.LISTNUMOutlineDefault\l3已知函数f(x)＝﹣x3＋ax2﹣x﹣1在(﹣∞，＋∞)上是单调函数，则实数a的取值范围是________.LISTNUMOutlineDefault\l3设函数f(x)＝﹣eq\f(1,x)﹣ax﹣blnx，若x＝1是f(x)的极小值点，则a的取值范围为________.LISTNUMOutlineDefault\l3某企业拟建造一个容器(不计厚度，长度单位：米)，该容器的下部为圆柱形，高为l，底面半径为r，上部为半径为r的半球形，按照设计要求，容器的体积为eq\f(28,3)π立方米.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关，已知圆柱形部分每平方米建造费用为3万元，半球形部分每平方米建造费用为4万元，则该容器的建造费用最小时，半径r的值为________.

LISTNUMOutlineDefault\l3\s0答案解析LISTNUMOutlineDefault\l3答案为：D解析：由y＝f(x)＝x2﹣lnx，可得f′(x)＝2x﹣eq\f(1,x)(x＞0)，令f′(x)＝1，即1＝2x﹣eq\f(1,x)(x＞0)，解得x＝1或x＝﹣eq\f(1,2)(舍).曲线上距离直线最近的点的坐标为(1，1)，则距离为d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(1－1－2)),\r(1＋1))＝eq\r(2).LISTNUMOutlineDefault\l3答案为：C解析：函数f(x)＝lnx﹣eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋1))x，x＞0，则f′(x)＝eq\f(1,x)﹣a﹣1，若函数f(x)存在与直线x﹣2y＋1＝0垂直的切线，可得eq\f(1,x)﹣a﹣1＝﹣2有大于0的解，则eq\f(1,x)＝a﹣1＞0，解得a＞1，则实数a的取值范围是(1，＋∞).LISTNUMOutlineDefault\l3答案为：A解析：f′(x)＝﹣3x2＋12，令f′(x)＝0，得x＝±2.所以当x∈[﹣eq\f(1,3)，2)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；当x∈(2，3]时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，所以f(x)的极大值为f(2)＝22.因为f(﹣eq\f(1,3))＞0，f(3)＞0，所以函数f(x)在区间[﹣eq\f(1,3)，3]上没有零点.LISTNUMOutlineDefault\l3答案为：A解析：∵f(x)＝lnx＋ax2﹣eq\f(3,2)x(x＞0)，∴f′(x)＝eq\f(1,x)＋2ax﹣eq\f(3,2)，∵x＝1是函数f(x)的极大值点，∴f′(1)＝1＋2a﹣eq\f(3,2)＝2a﹣eq\f(1,2)＝0，解得a＝eq\f(1,4)，∴f′(x)＝eq\f(1,x)＋eq\f(x,2)﹣eq\f(3,2)＝eq\f(x2－3x＋2,2x)＝eq\f(x－1\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－2)),2x)，∴当0＜x＜1时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；当1＜x＜2时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；当x＞2时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；∴当x＝2时，f(x)有极小值，且极小值为feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2))＝ln2﹣2.LISTNUMOutlineDefault\l3答案为：C解析：令f′(x)＝2cos2x﹣2sinx＝﹣2(2sin2x＋sinx﹣1)＞0⇒(2sinx﹣1)(sinx＋1)＜0，0≤x≤π，故﹣1＜sinx＜eq\f(1,2)⇒x∈[0，eq\f(π,6))∪(eq\f(5π,6)，π]，故f(x)在[0，eq\f(π,6))和(eq\f(5π,6)，π]上单调递增，在[eq\f(π,6)，eq\f(5π,6)]上单调递减.LISTNUMOutlineDefault\l3答案为：D解析：f′(x)＝eq\f(1,x)＋eq\f(m,x2)＝eq\f(x＋m,x2).令f′(x)＝0得x＝﹣m，且当0＜x＜﹣m时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，当x＞﹣m时，f′(x)＞0，f(x)单调递增.当﹣m≤1，即﹣1≤m＜0时，f(x)min＝f(1)＝﹣m≤1，不可能等于4，故不符合题意；当1＜﹣m＜e，即﹣e＜m＜﹣1时，f(x)min＝f(﹣m)＝ln(﹣m)＋1，当ln(﹣m)＋1＝4时，得m＝﹣e3∉(﹣e，﹣1)，故不符合题意；当﹣m≥e，即m≤﹣e时，f(x)min＝f(e)＝1﹣eq\f(m,e)，令1﹣eq\f(m,e)＝4，得m＝﹣3e，符合题意.综上所述，m＝﹣3e.LISTNUMOutlineDefault\l3答案为：A解析：因为函数f(x)＝2﹣ex＋mx2，则f′(x)＝﹣ex＋2mx，若当x＞0时，函数f(x)＝2﹣ex＋mx2有两个极值点，则f′(x)＝﹣ex＋2mx＝0在x∈(0，＋∞)上有两个根，即m＝eq\f(ex,2x)在x∈(0，＋∞)上有两个解，令g(x)＝eq\f(ex,2x)，则g′(x)＝eq\f(xex－ex,2x2)＝eq\f(x－1ex,2x2)，当x＞1时，g′(x)＞0，则g(x)在x∈(1，＋∞)上单调递增，当0＜x＜1时，g′(x)＜0，则g(x)在x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，1))上单调递减，所以函数g(x)＝eq\f(ex,2x)在x＝1处取得最小值，即g(1)＝eq\f(e,2)，又x→0＋时，g(x)→＋∞，当x→＋∞时，g(x)→＋∞，故m＞eq\f(e,2).二 、多选题LISTNUMOutlineDefault\l3答案为：ABC.解析：因为当x→＋∞时，f(x)→﹣∞，当x→﹣∞时，f(x)→＋∞，由零点存在定理知∃x0∈R，f(x0)＝0，故A正确；因为f′(x)＝﹣3x2＋2ax＋b，若f(x)有极大值M，极小值m，则f′(x)＝0有两根x1，x2，不妨设x1＜x2，易得f(x)在(x1，x2)上单调递增，在(﹣∞，x1)，(x2，＋∞)上单调递减，所以f(x2)＝M＞f(x1)＝m，故B，C正确；导数为0的点不一定是极值点，故D错误.LISTNUMOutlineDefault\l3答案为：AD.解析：由题意，函数f(x)＝sinx﹣xcosx的定义域为R关于原点对称，又由f(﹣x)＝sin(﹣x)＋xcos(﹣x)＝﹣(sinx﹣xcosx)＝﹣f(x)，所以函数f(x)为奇函数，所以A项正确；又由f′(x)＝cosx﹣cosx＋xsinx＝xsinx，当x∈(﹣eq\f(π,2)，0)时，f′(x)＞0，函数f(x)单调递增；当x∈(0，eq\f(π,2))时，f′(x)＞0，函数f(x)单调递增，所以0不是函数f(x)的极值点，所以B不正确；又由f(0)＝0，所以函数f(x)在区间(﹣eq\f(π,2)，eq\f(π,2))上有且仅有一个零点，所以C不正确；例如当x＝2kπ，k∈Z时，可得f(2kπ)＝﹣2kπ，当k→＋∞且k∈Z，f(x)→﹣∞，当x＝2kπ＋π，k∈Z时，可得f(2kπ＋π)＝2kπ＋π，当k→＋∞且k∈Z，f(x)→＋∞，由此可得函数的值域为R，所以D正确.LISTNUMOutlineDefault\l3答案为：ACD解析：令f(x)＝eq\f(ex,x)，由f′(x)＝eq\f(xex－ex,x2)＝eq\f(x－1ex,x2)，当x＜1时，f′(x)＜0，故f(x)＝eq\f(ex,x)在(0，1)上单调递减，所以SKIPIF1<0＞SKIPIF1<0⇒x2SKIPIF1<0＞x1SKIPIF1<0，则A错，B正确；令g(x)＝lnx﹣ex，则g′(x)＝eq\f(1,x)﹣ex，当x＝eq\f(1,2)时，有g′(eq\f(1,2))＝2﹣eq\r(e)＞0，当x＝1时，有g′(1)＝1﹣e＜0，所以存在x0∈(eq\f(1,2)，1)，有g′(x0)＝0，所以g(x)在(0，1)上不单调.在C中，SKIPIF1<0﹣SKIPIF1<0＞lnx2﹣lnx1化为lnx1﹣SKIPIF1<0＞lnx2﹣SKIPIF1<0，因为0＜x1＜x2＜1，故C错误；在D中，SKIPIF1<0﹣SKIPIF1<0＜lnx2﹣lnx1化为lnx1﹣SKIPIF1<0＜lnx2﹣SKIPIF1<0，则D错误.三 、填空题LISTNUMOutlineDefault\l3答案为：y＝x.解析：因为f′(x)＝eq\f(cosx－sinx,ex)，f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0))＝1，f(0)＝0，所以切线方程为y＝x.LISTNUMOutlineDefault\l3答案为：[﹣eq\r(3)，eq\r(3)].解析：由题意，函数f(x)＝﹣x3＋ax2﹣x﹣1，则f′(x)＝﹣3x2＋2ax﹣1，因为函数f(x)在(﹣∞，＋∞)上是单调函数，所以Δ＝(2a)2﹣4×(﹣3)×(﹣1)＝4a2﹣12≤0，即a2≤3，解得﹣eq\r(3)≤a≤eq\r(3)，即实数a的取值范围是[﹣eq\r(3)，eq\r(3)].LISTNUMOutlineDefault\l3答案为：(﹣∞，﹣1).解析：函数f(x)＝﹣eq\f(1,x)﹣ax﹣blnx的定义域为(0，+∞)，f′(x)＝eq\f(1,x2)﹣a﹣eq\f(b,x)＝eq\f(－ax2－bx＋1,x2)，x＝1是f(x)的极小值点.则f′(1)＝﹣a﹣b＋1＝0，所以b＝1﹣a，f′(x)＝﹣eq\f(ax2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－a))x－1,x2)＝﹣eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ax＋1))x－1,x2).(1)当a≥0时，由f′(x)＜0得x＞1，由f′(x)＞0得，0＜x＜1，可得f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，1))上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减.不满足条件.(2)当a＜0时，由f′(x)＝0，得x＝1或x＝﹣eq\f(1,a).若a＝﹣1，则f′(x)≥0在定义域上恒成立，函数单调递增，不满足条件.若﹣1＜a＜0，则