2022-2023学年八年级数学下册《一次函数题型分类》专题基础知识专项讲练含答案解析

专题19.43一次函数题型分类专题（动点问题）（培优篇）（专项练习）一、单选题1．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点O在坐标原点，点E是对角线AC上一动点（不包含端点），过点E作EF//BC，交AB于F，点P在线段EF上．若OA=4，OC=2，∠AOC=45°，EP=3PF，P点的横坐标为m，则m的取值范围是（

）A． B． C． D．2．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，0），点Q是直线yx上的一个动点，以AQ为边，在AQ的右侧作等边△APQ，使得点P落在第一象限，连接OP，则OP+AP的最小值为（）A．6 B．4 C．8 D．63．如图1，点E为矩形的边上一点，动点P，Q同时从点B出发以的速度运动，其中，点P沿折线运动到点C时停止，点Q沿运动到点C时停止．设点P出发时，的面积为，y与t的函数关系如图2所示（曲线为抛物线的一部分），则当时，y的值为（

）A．9 B． C． D．84．如图1，点Q为菱形ABCD的边BC上一点，将菱形ABCD沿直线AQ翻折，点B的对应点P落在BC的延长线上.已知动点M从点B出发，在射线BC上以每秒1个单位长度运动.设点M运动的时间为x，△APM的面积为y．图2为y关于x的函数图象，则菱形ABCD的面积为（

）A．12 B．24 C．10 D．205．如图①，在正方形ABCD中，点E是AB的中点，点P是对角线AC上一动点，设PC＝x，PE+PB＝y，图②是y关于x的函数图象，且图象上最低点Q的坐标可能是（）A．（，） B．（2，3） C．（4，3） D．（4，3）6．如图1，在中，是斜边的中点，动点从点出发，沿运动，设，点运动的路程为，若与之间的函数图象如图2所示，则的长为（

）A． B． C． D．7．如图，矩形的边、分别在轴、轴上，点的坐标是，点、分别为、的中点，点为上一动点，当最小时，点的坐标为（

）A． B． C． D．8．如图，已知点是第一象限内横坐标为2的一个定点，轴于点，交直线于点，若点是线段上的一个动点，，，点在线段上运动时，点不变，点随之运动，当点从点运动到点时，则点运动的路径长是（

）A． B． C．2 D．9．如图-①，在矩形中，，对角线、相交于点，动点由点出发，沿→→向点运动，设点的运动路径为，的面积为，图-②是关于的函数关系图像，则边的长为（

）A．3 B．4 C．5 D．610．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（4，0），点B的坐标是（3，4），点P是y轴正半轴上的动点，连接AP交线段OB于点Q，若△OPQ是等腰三角形，则点P的坐标是（）A．（0，） B．（0，）C．（0，）或（0，） D．（0，）或（0，）二、填空题11．如图，一次函数与轴交于点，点在直线上且横坐标为．点为轴上一点，，若点是轴上的动点，在直线上找在一点（点与点不重合），使与全等，点的坐标为______．12．在平面直角坐标系中，已知，，点P为x轴上一动点，以QP为腰作等腰，当最小时，点H的坐标为___________．13．已知直线与轴，轴分别交于点A，，点是射线上的动点，点在坐标平面内，以O，A，C，D为顶点的四边形是菱形．则点的坐标为______．14．如图，在直角坐标系中，直线分别交轴，轴于A，B两点，C为OB的中点，点D在第二象限，且四边形AOCD为矩形，P是CD上一个动点，过点P作PH⊥OA于H，Q是点B关于点A的对称点，则BP＋PH＋HQ的最小值为________．15．如图，一次函数y=-x+4的图像与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C为AO中点，OD=3，点P为AB上的动点，当∠APC=∠BPD时，点P的坐标为____．16．如图，中，//轴，．点A的坐标为，点D的坐标为，点B在第四象限，点G是AD与y轴的交点，点P是CD边上不与点C，D重合的一个动点，过点P作y轴的平行线PM，过点G作x轴的平行线GM，它们相交于点M，将△PGM沿直线PG翻折，当点M的对应点落在坐标轴上时，点P的坐标为______．17．在平面直角坐标系中，Q是直线上的一个动点，将Q绕点顺时针旋转，得到点连接，则的最小值为__________．18．直线与轴交于点，与轴交于点，与直线交于点．（1）点的坐标为________；（2）若点是轴上的动点，点是直线上的动点，若以，，为顶点的三角形与全等，则点的坐标是________．三、解答题19．在平面直角坐标系中，直线：过，，直线：．求直线的表达式；过动点且垂直于y轴的直线与，的交点分别是C，D．当时，点C位于点D右方，直接写出的取值范围．20．如图，直线经过点，点，与直线交于点C，点D为直线AB上一动点，过D点作x轴的垂线交直线OC于点E．求直线AB的表达式和点C的坐标；当时，求的面积；连接，当沿着折叠，使得点A的对应点落在直线上，直接写出此时点D的坐标．21．阅读并解决下面问题：定义：把函数中自变量作为横坐标，函数值作为纵坐标，我们把坐标叫做函数的函数坐标；反过来，把坐标中的横坐标看做自变量，纵坐标看作因变量，得到函数，我们把函数叫做坐标的坐标函数．坐标是函数的函数坐标；（填函数表达式）已知，两点在同一直角坐标系中，则线段的最短距离是；如图，已知直线与两坐标轴分别交于，两点，与直线交于点，是直线上的动点，点横坐标为，过点作轴的平行线，交直线于点，且，求点的坐标；在（3）的条件下，点在的内部（不包括边界），则t的取值范围是．22．如图，直线与x轴、y轴分别交于点和点，直线与直线交于点，平行于y轴的直线m从原点O出发，以每秒个单位长度的速度沿x轴向右平移，到点时停止．直线m交线段、于点、，以为斜边向左侧作等腰，设与重叠部分的面积为（平方单位），直线m的运动时间为t（秒）．填空：_______，______；填空：动点的坐标为（t，_____），______（用含t的代数式表示）；当点落在轴上时，求的值．求S与t的函数关系式并写出自变量的取值范围；23．如图，在平面直角坐标系中，点，，，直线和直线的图象相交于点A，连接．求直线和直线的函数表达式；请直接写出的面积为___________，在第一象限，直线上找一点D，连接，当的面积等于的面积时，请直接写出点D的坐标为___________．点E是直线上的一个动点，在坐标轴上找一点F，连接，，，当是以为底边的等腰直角三角形时，请直接写出的面积为___________．24．如图1，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线：与x轴，y轴分别交于A，B两点，点为直线上一点，另一直线：经过点C，且与y轴交于点D．(1)求点C的坐标和b的值；(2)如图2，点P为y轴上一动点，将沿直线翻折得到．①当点P为线段上一动点时，设线段交线段于点F，求与的面积相等时，点P的坐标；②当点E落在x轴上时，求点E的坐标及的面积．参考答案1．A【分析】先求确定A、C、B三个点坐标，然后求出AB和AC的解析式，再表示出EF的长，进而表示出点P的横坐标，最后根据不等式的性质求解即可．解：由题意可得，设直线AB的解析式为y=kx+b则解得：∴直线AB的解析式为：y=x-4，∴x=y+4，设直线AC的解析式为y=mx+n则解得：∴直线AC的解析式为：，∴，∴点F的横坐标为：y+4，点E的坐标为：，∴，∵EP=3PF，∴，∴点P的横坐标为：，∵，∴．∴故答案为：A．【点拨】本题主要考查了等腰直角三角形性质、求一次函数的解析式、不等式性质等知识，根据题意表示出点P的横坐标是解答本题的关键．2．C【分析】根据点Q的运动先证明点P在直线PM是运动，再根据轴对称最值问题，作点P关于直线PM的对称点B，连接AB，求出AB的长即可．解：如图，作∠OAM＝60°，边AM交直线OQ于点M，作直线PM，由直线yx可知，∠MOA＝60°，∴∠MOA＝∠OAM＝60°，∴△OAM是等边三角形，∴OA＝OM，∵△APQ是等边三角形，∴AQ＝AP，∠PAQ＝60°，∴∠OAQ＝∠MAP，∴△OAQ≌△MAP（SAS），∴∠QOA＝∠PMA＝60°＝∠MAO，∴PM∥x轴，即点P在直线PM上运动，过点O关于直线PM的对称点B，连接AB，AB即为所求最小值，此时，在Rt△OAB中，OA＝4，∠BAO＝60°，∴∠OBA＝30°，∴AB＝2OA＝8．故选：C．【点拨】本题属于一次函数与几何综合题，涉及勾股定理，等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，轴对称最值问题，旋转的性质等知识，解题的关键是得出点P在直线PM是运动．3．C【分析】由图2可知：当点P、Q运动5s时，此时点P运动到点E点Q运动到点C，Q点停止运动．可得cm；当t=7时，P点运动了7cm，此时面积仍为；当t=8时，cm，进而可求当时，y的值为．

解：如图所示：过点作，垂足为．由题意可知：由图2可知当时，点P在BE上，当点P、Q运动5s时，的面积ｙ达到最大，最大值为．此时点P运动到点E点Q运动到点C，Q点停止运动．可得PC=3cm．∵点P、Q的运动速度都为，∴当t=5时，cm．∵＝10，

∴cm．当时，点P在线段ED上，此时cm，而当t=7时，P点运动了7cm．∴此时．面积不变对应线段MN的图像．当时，点P在线段DC上．当t=8时，cm，∴∴cm∴故选：C．【点拨】本题考查了动点函数图像的分析，解题的关键是分清横、纵坐标的含义；分清每一段图像的含义．4．D【分析】由图2，可知BP=6，S△ABP=12，由图1翻折可知，AQ⊥BP，进而得出AQ=4，由勾股定理，可知BC=AB=5，菱形ABCD的面积为BC×AQ即可求出.解：由图2，得BP=6，S△ABP=12∴AQ=4由翻折可知，AQ⊥BP由勾股定理，得BC=AB==5∴菱形ABCD的面积为BC×AQ=5×4=20故选：D【点拨】本题是一道几何变换综合题，解决本题主要用到勾股定理，翻折的性质，根据函数图象找出几何图形中的对应关系是解决本题的关键.5．D【分析】如图，连接PD．由B、D关于AC对称，推出PB＝PD，推出PB+PE＝PD+PE，推出当D、P、E共线时，PE+PB的值最小，观察图象可知，当点P与A重合时，PE+PB＝9，推出AE＝EB＝3，AD＝AB＝6，分别求出PB+PE的最小值，PC的长即可解决问题．解：如图，连接PD．∵B、D关于AC对称，∴PB＝PD，∴PB+PE＝PD+PE，∴当D、P、E共线时，PE+PB的值最小，观察图象可知，当点P与A重合时，PE+PB＝9，∵点E是AB的中点，∴AE＝EB＝3，AD＝AB＝6，在Rt△AED中，，∴PB+PE的最小值为，∴点Q的纵坐标为，∵AE∥CD，∴，∵，∴，∴点Q的横坐标为，∴．故选：D【点拨】本题考查动点问题的函数图象，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．6．B【分析】由图2可得，AC+BC=4，由图1可得，当点E从点A运动至点C时，的面积随着点E的运动增大，当点E从点C运动至点B时，的面积随着点E的运动减小，由此可得，当点E运动路程为2即运动至点C时，的面积为1，即AC=BC=2，所以是等腰直角三角形，所以，BD=CD，根据的面积为1列式，求出CD的长度即可．解：，D是斜边的中点，BD=CD，由题意可得：AC=2，AC+BC=4，BC=2，BC=AC，是等腰直角三角形，，由题意可得：的面积为1，，解得：CD=．故选：B．【点拨】本题主要考查函数图像的识别、直角三角形斜边上的中线的性质以及平方根的求解，把函数图像信息转化为几何图形的信息是解题关键．7．A【分析】先作点E关于x轴的对称点，连接与x轴的交点就是点P，找到取最小值的状态，然后通过点坐标求出直线的解析式，点P就是它和x轴的交点．解：作点E关于x轴的对称点，连接与x轴的交点就是点P，此时是最小的，根据矩形的性质，，，根据轴对称，，设直线的解析式为，将点和点代入，，解得，则直线解析式为，令，求出，则点P坐标是．故选：A．【点拨】本题考查直角坐标系中线段和最小问题，解题的关键是利用数形结合的思想，将几何中的线段和最小问题利用函数的方法求解．8．D【分析】根据题意利用相似三角形可以证明线段就是点运动的路径（或轨迹），又利用∽求出线段的长度，即点B运动的路径长．解：由题意可知，，点在直线上，轴于点，则为顶角30度直角三角形，.如下图所示，设动点在点（起点）时，点的位置为，动点在点（终点）时，点的位置为，连接，∵，∴又∵，∴（此处也可用30°角的）∴∽，且相似比为，∴现在来证明线段就是点运动的路径（或轨迹）.如图所示，当点运动至上的任一点时，设其对应的点为，连接，，∵，∴又∵，∴∴∽∴又∵∽∴∴∴点在线段上，即线段就是点运动的路径（或轨迹）.综上所述，点运动的路径（或轨迹）是线段，其长度为.故选：【点拨】本题考查坐标平面内由相似关系确定的点的运动轨迹，难度很大．本题的要点有两个：首先，确定点B的运动路径是本题的核心，这要求考生有很好的空间想象能力和分析问题的能力；其次，由相似关系求出点B运动路径的长度，可以大幅简化计算，避免陷入坐标关系的复杂运算之中.9．B【分析】根据函数图象可知AB+BC＝7，△AOB的面积为3，再根据矩形的性质可知点O到AB的距离为BC的长，利用面积建立方程即可求解.解：观察图象可知：AB+BC＝7，S△AOB＝3，∵四边形ABCD是矩形，∴点O到AB的距离是BC的长，设AB＝x，则BC＝7-x，∵S△AOB＝＝3，∴，解得，∵，即，∴AB＝4.故选B.【点拨】本题考查了函数的图象.结合图象得出矩形邻边和为7，△AOB的面积为3并利用面积建立关于AB的方程是解题的关键.10．C【分析】利用待定系数法分别求出OB、PA的函数关系式，设，，并由P、Q点坐标，可表示出OP、OQ和PQ，根据△OPQ是等腰三角形，可得或或，则可得到关于m的方程，求得m的值，即可求得P点坐标．解：设OB的关系式为，将B（3，4）代入得：，∴，设，，∴，，，设PA的关系式为，将，代入得：，解得，∴，将，联立方程组得：，解得，若△OPQ是等腰三角形，则有或或，当时，，，即，解得，则P点坐标为（0，），当时，，，解得，不合题意，舍去，当时，根据等腰三角形性质可得：点Q在OP的垂直平分线上，，∴，且，即，解得，则P点坐标为（0，）综上可知存在满足条件的点P，其坐标为（0，）或（0，）．故选：C．【点拨】本题是一次函数的综合问题，考查了待定系数法、等腰三角形的性质等知识，掌握待定系数法与两点间的距离公式并注意分类讨论思想及方程思想的应用是解题的关键，综合性较强．11．或或．【分析】把点代入一次函数中，即可求出；然后令，代入一次函数解析式，即可求得即可求得y，从而得出点坐标；设，根据利用，利用勾股定理求得点的坐标，然后分两种情况：①当时，②当时，分别求解即可．解：点代入，得，解得：，，当时，则，；令，则，∴，设，则，∵，∴，∵，∴，解得：，；∵，，，∴，，∵点是轴上的动点，点在直线上，设且与点不重合，分两种情况：①当时，则，即，解得：，，∴或，∴或；②当时，则，，即，解得：，，或，∵点与点不重合，，综上，存在点(点与点不重合)，使与全等，点N的坐标为或或．故答案为：或或．【点拨】本题考查了一次函数上点的坐标特征，一次函数与坐标轴的交点，两点间的距离，勾股定理，全等三角形的判定和性质、分类讨论思想，是一次函数与全等三角形的综合题，解答本题的关键在分类讨论．12．【分析】作、垂直于轴于、，证明≌，推出，，设，得，求出点的运动轨迹，找到最小值的情况，求出的解析式，再和联立，即可求出点H坐标．解：作、垂直于轴于、，则，则，为等腰直角三角形，，即，，在和中，，≌，，，设，得，点在直线上运动，作点关于直线的对称点，连交于点，当点与点重合时最小，此时F，设直线的解析式为，将F代入，得：，解得：，，联立：，解得：，即，故答案为：．【点拨】本题考查轴对称最短问题，全等三角形的判定和性质，一次函数的应用等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．13．或【分析】先根据题意求得分C点在第二象限和第一象限两种情况讨论，根据点D关于直线OC的对称点恰好落在y轴，根据含30°角的直角三角形的性质，在第一象限时候，证明是等边三角形，在第二象限时候证明是等边三角形，利用等边三角形的性质，分别求得C点的坐标．解：∵与轴，轴分别交于点A，，令∴，令∴，∴，∵，∴∴，∴如图，当C点在第二象限时，设交x轴于点E，交AO于点F，CD交y轴于点G∵四边形OACD是平行四边形，∴，∵，∴，∴，∵，,∴，∴，∵，∴，∵点D关于直线OC的对称点为，∴，∴，∵，∴是等边三角形，∴，∵∴∴点为的中点，∵，，∴．如图，当C点在第二象限时，延长DC交y轴于点H，则．∵点D关于直线OC的对称点为，∴，∵，∴是等边三角形，∴，∴，∴∵，∴，∴，∴，∴．综合①②可知OC的坐标为或．故答案为：或．【点拨】本题考查了一次函数图象的性质，平行四边形的性质，等边三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理，轴对称的性质，此题方法较多，利用等边三角形的性质是解题的关键．14．【分析】根据解析式求出点，，的坐标，结合矩形性质得出，两点对称公式得出点；利用所给函数图象、平行四边形的性质构造等量关系，则，由三点之间直线最短可知的值最小时，即，可得出结论．解：，为的中点，点，点，点．PH⊥OA于H，Q是点B关于点A的对称点，，点．连接，四边形是平行四边形，，．当点，，三点共线，的值最小，，．故答案为：．【点拨】本题考查动点问题中的函数图象的理解与运用能力．数形结合，恰当利用四边形（平行四边形）的性质定性构造等量关系，理解并掌握三角形三边关系定理（三点共线时取得最值）是解本题的关键．15．（，）【分析】过点P作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，过点作，交轴于点，过点作轴，交的延长线与点，如图，，是等腰直角三角形，证明，设，则，求得，进而根据三点共线，求得直线的解析式，将点的坐标代入求得的值，即可求解．解：过点P作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，∵一次函数y＝﹣x+4的图像与x轴交于点A，与y轴交于点B，∴A（4，0），B（0，4），∴OA＝OB＝4，AB＝4，∵点C为AO中点，OD＝3，∴OC＝AC＝2，BD＝1，∵OA＝OB，∠AOB＝90°，∴∠ABO＝∠OAB＝45°，过点作，交轴于点，过点作轴，交的延长线与点，如图，则，是等腰直角三角形，，轴，，，设，则，，，∠APC=∠BPD,，，又，，，，，三点共线，设直线的解析式为，则，解得，直线的解析式为，将点代入得，，解得，∴P（，）．故答案为：（，）．【点拨】本题考查了一次函数的性质，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，设参数法求得点的坐标是解题的关键．16．，或，【分析】先求出直线的解析式为，则可求，设，则，可求，，分两种情况讨论：当在轴负半轴时，由折叠可知，在△中，由勾股定理可求，在△中，，，可求，所以，解得，则，；当在轴正半轴时，同理可得，，解得，求得，．解：设的直线解析式为，将，代入可得，，解得，，，点是边上，轴，设，轴，，，，当在轴负半轴时，如图，由折叠可知，，，在△中，，在△中，，，，，解得，，；当在轴正半轴时，如图，同理可得，，解得，，；综上所述：点坐标为，或，，故答案为，或，．【点拨】本题考查折叠的性质，熟练掌握平行四边形的性质、平面上点的坐标特点、并灵活应用勾股定理是解题的关键．17．【分析】利用等腰直角三角形构造全等三角形，求出旋转后的坐标，进而可得点所在直线的函数关系式，然后根据勾股定理求解即可解决问题．解：作轴于点，轴于，，，，在和△中，，△，，，设，，，，，，设点，，则，整理，得：，则点，在直线上，设直线与x轴，y轴的交点分别为E、F，如图，当时，取得最小值，令，则，解得，∴，令，则，∴，在中，，当时，则，∴，的最小值为，故答案为：．【点拨】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，三角形全等，坐标与图形的变换－旋转，勾股定理，表示出点的坐标以及点所在直线的函数关系式是解题的关键．18．

（，）；

（3，11）或（，）或（，）；【分析】（1）直接把两条直线方程组成方程组，求出方程组的解，即可得到答案；（2）根据题意，可分为两种情况进行分析：①△DBE≌△OBC；②△EBD≌△OBC；分别求出点E的坐标，即可得到答案．解：（1）∵直线与直线交于点，∴，解得：，∴点C的坐标为（，）；故答案为：（，）；（2）∵直线与轴交于点，与轴交于点，∴点A的坐标为（，0），点B的坐标为（0，7），∴OB=7；若以，，为顶点的三角形与全等，则可以分为两种情况进行分析：①当△DBE≌△OBC时，如图：∴BD=BO=7，∠BED=∠BCO，∴CO∥DE，点D的坐标为（0，14），∴直线DE为，∵点E是直线与直线的交点，∴，解得；∴点E的坐标为（3，11）；②当△EBD≌△OBC时，如图∴BE=OB=7，BC=BD，∵点E在直线的图像上，则设点E为（x，），∵点B为（0，7），