电大 离散数学 形成性考核册 作业（一）答案

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集合论部分

本课程形成性考核作业共4次，内容由中央电大确定、统一布置。本次形考作业是第一次作业，大家要认真及时地完成集合论部分的形考作业，字迹工整，抄写题目，解答题有解答过程。

第1章集合及其运算

1．用列举法表示“大于2而小于等于9的整数〞集合．解：{3，4，5，6，7，8，9}

2．用描述法表示“小于5的非负整数集合〞集合．解：{n0?n?5且n?N}

3．写出集合B={1,{2,3}}的全部子集．

解：集合B={1,{2,3}}的全部子集为：?,{1},{{2,3}},{1,{2,3}}.4．求集合A={?,{?}}的幂集．

解：A={?,{?}}的幂集为，

P(A)?2A?{?,{?},{{?}},{?,{?}}}，应把子集列举出来；4题是求集合的幂集，[注意]：3题是求集合的全部子集是子集的集合。

5．设集合A={{a},a}，命题：{a}?P(A)是否正确，说明理由．

解：{a}?P(A)不正确。由于P(A)是A的幂集，是由A的子集组成的集合。{a}既是

A的元素又是A的子集，应有{a}?P(A)。

6．设A?{1,2,3},B?{1,3,5},C?{2,4,6},求

(1)A?B(2)A?B?C

(3)C-A(4)A?B

解：(1)A?B={1，3}；(2)A?B?C={1，2，3，4，5，6}；(3)C-A={4，6}；(4)A?B={2，5}7．化简集合表示式：((A?B)?B)-A?B．解：((A?B)?B)?A?B?B?A?B??

8．设A,B,C是三个任意集合，试证：A-(B?C)=(A-B)-C．

解：A?(B?C)?A?A?(B?C)?A?((A?B)?(A?C))?A?(A?B)?(A?C)?(A?B)?C

1

9．填写集合{4,9}{9,10,4}之间的关系．

10．设集合A={2,a,{3},4}，那么以下命题中错误的是（A）．

A．{a}?AB．{a,4,{3}}?AC．{a}?AD．??A

11．设B={{a},3,4,2}，那么以下命题中错误的是（C、D）．A．{a}?BB．{2,{a},3,4}?BC．{a}?BD．{?}?B

第2章关系与函数

1．设集合A={a,b}，B={1,2,3}，C={3,4}，求A?(B?C)，(A?B)?(A?C)，并验证A?(B?C)=(A?B)?(A?C)．

解：A?（B?C）?{a,b}?{3}?{?a,3?,?b,3?};(A?B)?(A?C)?{?a,1?,?a,2?,?a,3?,?b,1?,?b,2?,?b,3?}?{?a,3?,?a,4?,?b,3?,?b,4?}?{?a,3?,?b,3?}由上面可知，A?（B?C）?(A?B)?(A?C)2．对任意三个集合A,B和C，若A?B?A?C，是否一定有B?C？为什么？

解：不一定有B?C。例如，A?{1}，B?{2}，C?{2，3}，有A?B?A?C，也有B?C。

又如，A??，B?{2，3，4}，C?{2}，有A?B?A?C，但是B?C。3．对任意三个集合A,B和C，试证若A?B=A?C，且A??，则B=C．

证明：（1）对任意b?B,由于A??，存在a?A,使?a,b??A?B,而A?B?A?C，得到?a,b??A?C，有b?C,所以B?C。（2）对任意c?C,由于A??，存在a?A,使?a,c??A?C,而A?B?A?C，得到?a,c??A?C，有c?C,所以C?B。由（1）、（2）得B?C。

4．写出从集合A={a，b，c}到集合B={1}的所有二元关系．

解：A?B?{a,b,c}?{1}?{?a,1?,?b,1?,?c,1?}3?1

A到B上的所有二元关系共有2?8个空关系?，全关系{?a,1?,?b,1?,?c,1?}，以及{?a,1?},{?b,1?},{?c,1?}{?a,1?,?b,1?},{?a,1?,?c,1?},{?b,1?,?c,1?}.

5．设集合A={1，2，3，4，5，6}，R是A上的二元关系，

R={?a,b??a,b?A,且a+b=6}

写出R的集合表示式．

5?，?2，4?，?3，3?，?4，2?，?5，1?}解：R?{?1，6．设R从集合A={a，b，c，d}到B={1，2，3}的二元关系，写出关系R

2

R={?a,1?，?a,3?，?b,2?，?c,2?，?c,3?}

的关系矩阵，并画出关系图．

?1??0??0??0?01101??0?1??0??a,b,c,d及1，2，3，有边?a,1?,?a,3?,?b,2?,?c,2?,?c,3?

解：MR

关系图中有结点

7．设集合A={a,b,c,d}，A上的二元关系

R={?a,b?，?b,d?，?c,c?，?c,d?}，S={?a,c?，?b,d?，?d,b?，?d,d?}．

求R?S，R?S，R-S，~（R?S），R?S．

解：已知R?{?a,b?，?b,d?，?c,c?，?c,d?}S?{?a,c?，?b,d?，?d,b?，?d,d?}R?S?{?a,b?，?a,c?,?b,d?，?c,c?，?c,d?,?d,b?,?d,d?}R?S?{?b,d?}R?S?{?a,b?，?c,c?，?c,d?}R?S?{?a,a?，?a,d?,?b,a?，?b,b?，?c,b?,?c,a?,?c,b?,?d,a?,?d,c?}R?S?{?a,b?，?c,c?，?c,d?,?a,c?,?d,b?,?d,d?}

8．设集合A={1,2}，B={a,b,c}，C={?,?}，R是从A到B的二元关系，S是从B到C的二元关系，且

R={，，}，S={，}，用关系矩阵求出复合关系R·S．

解：可知，?1???0?100??，?1??1???0??0???0?0?1??1?，0??1???01????0??0?1??0??MRMS

MR?S?MR?M10S?00?????0?1???09．设集合A={1,2,3,4}上的二元关系

R={?1,1?，?1,3?，?2,2?，?3,1?，?3,3?，?3,4?，?4,3?，?4,4?}，判断R具有哪几种性质？

解：R具有自反性、对称性。

R不具有反自反性、反对称性、传递性。10．设集合A={a,b,c,d}上的二元关系

R={?a,a?，?a,b?，?b,b?，?c,d?}，

求r(R)，s(R)，t(R)．

3

解：r(R)?{?a,a?,?a,b?,?b,b?,?c,c?,?c,d?,?d,d?}s(R)?{?a,a?,?a,b?,?b,a?,?b,b?,?c,d?,?d,c?}t(R)?{?a,a?,?a,b?,?b,b?,?c,d?}11．设集合A={a,b,c,d}，R，S是A上的二元关系，且

R={,,,,,,,}

S={,,,,,,,,}

试画出R和S的关系图，并判断它们是否为等价关系，若是等价关系，则求出A中各元素的等价类及商集．

解：R、S的关系图请自己画出。

通过R的关系图可以看出，R的等价类有[a]?[b]?{a,b}，R是等价关系。[c]?[d]?{c,d},R的商集AR?{[a],[c]}?{{a,b}，{c,d}}.通过S的关系图可以看出，S不是等价关系。

12．图1.1所示两个偏序集?A，R?的哈斯图，试分别写出集合A和偏序关系R的集合表达式．

解：(1)A?{a,b,c,d,e,f,g},R?IA?{?a,b?,?b,d?,?a,d?,?b,e?,?a,e?,?a,c?,?c,f?,?a,f?,?c,g?,?a,g?}(2)A?{a,b,c,d,e,f,g},S?IA?{?a,b?,?a,c?,?a,d?,?d,f?,?a,f?,?a,e?,?e,f?}dbefca(1)

g

bcfda(2)

eg图1.1题12哈斯图

13．画出各偏序集?A，?1?的哈斯图，并指出集合A的最大元、最小元、极大元和微小元．其中：A={a,b,c,d,e}，

?1={?a,b?，?a,c?，?a,d?，?a,e?，?b,e?,?c,e?，?d,e?}?IA；

解：A，?1的哈斯图见补充A的最大元为e；最小元为a；极大元为e；微小元为a.

14．以下函数中，哪些是满射的？那些是单射的？那些是双射的？

3

(1)f1：R?R，f(a)=a+1；

?0,(2)f4：N?{0,1}，f(a)=??1,解：（1）是满射的，单射的，（2）是满射的，不是单射a为奇数a为偶数．

双射的。的，不是双射的。

4

15．设集合A={1,2}，B={a,b,c}，则B?A=．应填：B?A?{?a,1?，?a,2?，?b,1?，?b,2?，?c,1?，?c,2?}16．设集合A={1，2，3，4}，A上的二元关系

R={?1,2?，?1,4?，?2,4?，?3,3?}，

S={?1,4?，?2,3?，?2,4?，?3,2?}，

则关系（B）={?1,4?，?2,4?}．

A．R?SB．R?SC．R-SD．S-R

17．设集合A={1,2,3,4}上的二元关系R={?1,1?，?2,3?，?2,4?，?3,4?}，则R具有（B）．

A．自反性B．传递性C．对称性D．反自反性

18．设集合A={a,b,c,