非齐次微分方程特解

本文格式为Word版，下载可任意编辑——非齐次微分方程特解二阶常系数线性非齐次微分方程特解的求法讨

论

幸克坚

（遵义师范学院贵州遵义５６３００２）

摘要：非数学专业《常微分方程》中，“二阶常系数线性微分方程〞一般是作为一个单独的模块来讲授。但在一般非数学专业使用的《高等数学》教材中，特解的介绍往往比较突然和不够完整，引入不大自然也不易于理解和接受。本文结合非数学专业学生的特点就特解的求法进行了分析和探讨。

（二）其次考虑：y?+py?+qy=f(x)中f(x)=asinωx(或f(x)=acosωx)的情形：

即：y?+py?+qy=asinωx（不失一般，取f(x)=asinωx即可）

由于复角“ωx〞的正、余弦函数的微商（或导数）依旧是复角“ωx〞的正、余弦函数，并且y、y?与y?中sinωx与cosωx总是交替出现的。因此，要使方程y?+py?+qy=

**

asinωx的特解y代入原方程后等式成立，y应当形如：*

y=αcosωx+βsinωx

*

将y=αcosωx+βsinωx代入原方程得：

（αcosωx+βsinωx）?+p（αcosωx+βsinωx）?+q（αcosωx+βsinωx）=asinωx求导整理得：

22

—αωcosωx—βωsinωx—pαωsinωx+pβωcosωx+qαcosωx+qβsinωx=asinωx比较系数得：

2（q—ω）α+pωβ=0

2（q—ω）β—pωα=a

2

所以当pω≠0且q—ω≠0时，特解中待定系数α、β可以由原方程的系数p、q、a、ω通过关系式：

?pωaα=β222(q?ω)?(pω)(q?ω2)a=

(q?ω2)2?(pω)2

唯一确定。

22

而pω=0与q—ω=0正好与：（±ωi）+p（±ωi）+q=0等价，即±ωi是特征方程：

2

λ+pλ+q=0的根2

所以，当±ωi不是特征方程λ+pλ+q=0的根时，原方程的特解由原方程的系数p、q、a、ω通过上式唯一确定。

2

但当±ωi是特征方程：λ+pλ+q=0的根时，pω=0

与q—ω=0，此时，若再设：

*

y=αcosωx+βsinωx将无法确定α、β之值。考虑到这一结果正好是由“αcosωx+βsinωx〞及其微商导致的，故可参照f(x)为一次多项式时的情形，考虑设：

*

y=（αcosωx+βsinωx）x

*

则：（y）′=（（αcosωx+βsinωx）x）′=（－αωsinωx+βωcosωx）x+（αcosωx+βsinωx）

*

（y）″=（（－αωsinωx+βωcosωx）x+（αcosωx+βsinωx））′

22

=（－αωcosωx－βωsinωx）x+2（－

αωsinωx+βωcosωx）代入原方程得：

***y″+py′+qy

22

=（－αωcosωx－βωsinωx）x+2（－α

ωsinωx+βωcosωx）+

+p（（－αωsinωx+βωcosωx）x+（α

cosωx+βsinωx））+q（αcosωx+βsinωx）x）

=asinωx比较系数得：

22

（－αωcosωx－βωsinωx）+p（－αωsinω

x+βωcosωx）+q（αcosωx+βsinωx）=0

－2ωα+pβ=apα+2ωβ=0

2

因±ωi是特征方程λ+pλ+q=0的根，所以pω=0与q—ω2

=0，于是前面一式中的α、β可以为任意值，而由后二式解得：α=?22?a2β=2pa2

4??p4??p2

2

所以，当±ωi是特征方程：λ+pλ+q=0的根时，α、β可由原方程的系数通过上式得出。

综上所述，对于：y?+py?+qy=asinωx形式的非齐次方程，其特解为：

1）当±ωi不是特征方程λ+pλ+q=0的根时，则原

*

方程的特解是：y=αcosωx+βsinωx，

其中α、β由原方程的系数p、q、a、ω通过：

?pωaα=β222(q?ω)?(pω)2

(q?ω2)a=

(q?ω2)2?(pω)2唯一确定。

2

2）当±ωi是特征方程：λ+pλ+q=0的根时，原方程

*

的特解是：y=（αcosωx+βsinωx）x，其中α、β可由原方程的系数通过：

paα=?22?a2β=224??p4??p唯一确定。

而对于：y?+py?+qy=bcosωx形式的方程，可以类似地探讨，这里就不赘述了。

bx

（三）最终考虑：y?+py?+qy=f(x)中f(x)=ae即

bx

y?+py?+qy=ae的情形：

bxbx

由于e的各阶微商及其原函数均为e的常数倍，所

bx

以，方程y?+py?+qy=ae的特解也应当形如：

*bx

y=αe

2bxbxbx

将其代入原方程求导整理得：αbe+pbαe+qαe=bxae

bx2

由于e≠0，所以由上式得：（b+pb+q）α=a

2

所以，当b+pb+q≠0，即b不是特征方程：

2

λ+pλ+q=0的根时，α=2a

b?pb?q*bx

方程的特解为：y=αe=2ab?pb?q2

2

e

bx

而当b+pb+q=0，即b是特征方程λ+pλ+q=0的根时，由此式不能确定α的值，

*

但若仍参照f(x)为一次多项式时的情形，考虑设：y=bx

αxe代入原方程求导整理得：（b+pb+q）αxe+(2b+p)αe=ae

bx

bx

2

2bxbx

两边约去（e≠0）并比较系数得：b+pb+q=0且(2b+p)α=a

2

前一式说明b是特征方程：λ+pλ+q=0的根，

2

于是，在2b+p≠0，即b只是特征方程λ+pλ+q=0的单根，而不是重根的状况下有：

*

α=a即原方程的特解为：y=α

2b?pxe=

bx

bxaxe2b?p2

在2b+p=0，即b是特征方程λ+pλ+q=0的重根的状况下，由上式无法确定α之值，但也参照

*2bx

f(x)为多项式时的情形，可考虑设y=αxe代入原方程求导整理得：

***bxbx2y?+py?+qy==2αe+（4b+2p）αxe+（b+2bxbx

pb+q）αxe=ae

即：2α=a，α=a即原方程的特解为：

2y=αxe=axe

*

2

bx

2bx

2综上所述，在f(x)=ae的状况下：

2

1）若b不是特征方程λ+pλ+q=0的根，则特解为：

*bxbxy=αe=2ae

b?pb?qbx

2）若b是特征方程λ+pλ+q=0的单根，则特解为：*bxbxy=αxe=axe

2b?p2

3）若b是特征方程λ+pλ+q=0的重根，则特解为：

*2bx