迭代格式的对比

本文格式为Word版，下载可任意编辑——迭代格式的对比课题一迭代格式的比较

一、问题提出

设方程f(x)=x-3x–1=0有三个实根x*1=1.8793,x*2=0.34727,x*3=-1.53209现采用下面六种不同计算格式，求f(x)=0的根x*1或x*21.x?3x?1x22.x?x3?13

3.x?33x?14.x?1x2?35.x?3?1x6.x?x?1?x3?3x?1?3????x2?1??二、要求

1、编制一个程序进行运算，最终打印出每种迭代格式的敛散状况；

2、用事后误差估计xk?1?xk??来控制迭代次数，并且打印出迭代的次数；3、初始值的选取对迭代收敛有何影响；4、分析迭代收敛和发散的原因。

三、目的和意义

1、通过试验进一步了解方程求根的算法；2、认识选择计算格式的重要性；3、把握迭代算法和精度控制；4、明确迭代收敛性与初值选取的关系。

1

1．六种不同计算格式运行程序及运算结果

1.1运行程序

（1）x?3x?1x2functioniteration_1

x0=input('输入初始值x0=');k=input('输入迭代次数k=');x(1)=x0;i=1;

whilei>iteration

输入初始值x0=输入迭代次数k=

（1）

>>iteration_1

输入初始值x0=1输入迭代次数k=5

计算格式（1）最终运行结果如下：

x=1.00004.00000.81255.20710.61307.5549由此知，计算格式（1）发散。

（2）

>>iteration_2

输入初始值x0=1输入迭代次数k=5

计算格式（2）最终运行结果如下：

x=1.00000-0.3333-0.3457-0.3471-0.3473由此知，计算格式（2）收敛。

（3）

>>iteration_3

输入初始值x0=1输入迭代次数k=8

计算格式（2）最终运行结果如下：

x=1.00001.58741.79281.85451.87231.87741.8788由此知，计算格式（3）收敛。

（4）

>>iteration_4

输入初始值x0=1输入迭代次数k=5

计算格式（2）最终运行结果如下：

x=1.0000-0.5000-0.3636-0.3487-0.3474-0.3473

1.87934

1.8792由此知，计算格式（4）收敛。（5）

>>iteration_5

输入初始值x0=1输入迭代次数k=8

计算格式（5）最终运行结果如下：

x=1.00002.00001.87081.88001.87931.87941.87941.87941.8794由此知，计算格式（5）收敛。

（6）

>>iteration_6

输入初始值x0=2输入迭代次数k=5

计算格式（6）最终运行结果如下：

x=2.00001.88891.87951.87941.87941.8794

2.matlab事后误差估计控制迭代次数，程序如下

（①注：此程序只能够在迭代式收敛的状况下有意义；

②假使要采用不同的计算格式，只要将matlab程序的子函数中的迭代式修改即可。）function[k,control,xk]=iteration%k为输出的迭代次数

%control为控制条件，使循环终止%xk为迭代方程的一个根

%此函数只能够在迭代式收敛的状况下有意义N=input('输入最大迭代次数N=');x(1)=input('输入初始值x0=');m=input('输入控制误差m=');fori=1:N

x(i+1)=fun(x(i))

control=abs(x(i+1)-x(i));[(i-1)controlx(i)]if(control>[kcontrolxk]=iteration

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输入最大迭代次数N=30输入初始值x0=1

输入控制误差m=0.0000005运行输出结果为：

x=1.00001.58741.79281.85451.87231.87741.87881.8792

1.87931.87941.87941.87941.87941.8794k=13

control=2.0924e-007xk=1.8794

有输出结果可以看出，方程的一个根为1.8794，迭代了13次，并且最终一次的偏差为2.0924e-007。

3.初始值的选取对迭代收敛有何影响？

假使函数在C[a，b]满足不动点的两个条件，那么对于任意的x0∈[a，b]，得到的迭代序列{xk}收敛到函数的不动点。在此状况下，初始值的选取对迭代收敛没有任何影响，只是影响迭代收敛的速度和到达误差的精度要求的次数。

4.分析迭代收敛和发散的原因。

f（x）=0改写成等价的形式x=?（x），迭代法是一种逐次迫近法，其基本思想是将隐式方程=?(x)归结为一组显式的计算公式，就是说迭代工程实质上是一个逐步显化的过程。当迭代下去不能趋于某个极值，这种现象成为发散。如下图，图1为收敛的状况，图2为发散的状况。

图1

图2

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输入最大迭代次数N=30输入初始值x0=1

输入控制误差m=0.0000005运行输出结果为：

x=1.00001.58741.79281.85451.87231.87741.87881.8792

1.87931.87941.87941.87941.87941.8794k=13

control=2.0924e-007xk=1.8794

有输出结果可以看出，方程的一个根为1.8794，迭代了13次，并且最终一次的偏差为2.0924e-007。

3.初始值的选取对迭代收敛有何影响？

假使函数在C[a，b]满足不动点的两个条件，那么对于任意的x0∈[a，b]，得到的迭代序列{xk}收敛到函数的不动点。在此状况下，初始值的选取对迭代收敛没有任何影响，只是影响迭代收敛的速度和到达误差的精度要求的次数。

4.分析迭代收敛和发散的原因。

f（x）=