弹塑性力学试题集锦(很全,有答案)

弹塑性力学2008级试题

一简述题（60分）

1）弹性与塑性

弹性：物体在引起形变的外力被除去以后能恢复原

形的这一性质。

塑性：物体在引起形变的外力被除去以后有部分变

形不能恢复残留下来的这一性质。

2）应力和应力状态

应力：受力物体某一截面上一点处的内力集度。

应力状态：某点处的9个应力分量组成的新的二阶

张量

3）球张量和偏量

aoo'

球张量：球形应力张量，即05.0,其

.00

中5“=3a+%+/）

偏量：偏斜应力张量，即

石-5”1Q

品=%。、一5“乙，其中

%J（J2-（Jm

i/

5）转动张量：表示刚体位移部分,即

i⑶1代“a

o

2d2

vaJaaJ

0

20a,,22

i(a.a„1(

H0

23aJ2a

6）应变张量:表示纯变形部分,即

ifa„“八

ik+V"I

%22

⑼aJdzdj

1包+乙]左

——-----1--------

2a32a.a

\Ja,

i(aa[f3a]

Wu

---------------1--------3

2a3J2EJa.

7）应变协调条件:物体变形后必须仍保持其整体性和

连续性，因此各应变分量之间，必须要有一定得关系,

2

即应变协调条件。粤+婆=20

dyox~dxdy

8）圣维南原理：如作用在弹性体表面上某一不大的局

部面积上的力系，为作用在同一局部面积上的另一静

力等效力所代替，则荷载的这种重新分布，只造离荷

载作用处很近的地方，才使应力的分布发生显著变化,

在离荷载较远处只有极小的影响。

9）屈服函数：在一般情况下，屈服条件与所考虑的应

力状态有关，或者说，屈服条件是改点6个独立的应

力分量的函数，即为=即为屈服函数。

10）不可压缩：对金属材料而言，在塑性状态，物体

体积变形为零。

11）稳定性假设：即德鲁克公社，包括：1.在加载过程

中，应力增量所做的功4%恒为正；2.在加载与卸载

的整个循环中，应力增量所完成的净功”以恒为非负。

12）弹塑性力学的基本方程：包括平衡方程、几何方

程和本构方程。

13）边界条件：边界条件可能有三种情况：1.在边界上

给定面力称为应力边界条件;2.在边界上给定位移称为

位移边界条件；3.在边界上部分给定面力，部分给定

3

位移称为混合边界条件。

14）标量场的梯度：其大小等于场在法向上的导数，

其指向为场值增大的方向并垂直于场的恒值面的一个

矢量。

17）塑性钱：断面所受弯矩达到极限弯矩后，不增加

弯矩，该断面转角仍不断增加，称此断面形成了塑性

钱。塑性较是单向较，只能沿弯矩增大方向发生有限

转动。

‘010、

二求100的主值和主方向（10分）

00,

解：

令%

那么（Jjj.nj-=0

4

解之得：4=04=i4=-i,即主应力分别为3=1

(72=0。3=-1

同理可得：主方向2：（%%2〃23）=（001）

主方向3：（由公丐3）=（1-10）

四论述（15分）

1）本构方程遵从的一般原理

2）弹塑性本构关系

答：1）本构方程遵从的一般原理：1.决定性原理，与

时间历程相关的；2.局部作用原理；3.坐标无关性；4.

空间各向同性原理；5.时间平移的无关性。

2）课本第四章。

一、问答题：（简要回答，必要时可配合图件答题。每小题5分,

共10分。）

1、简述固体材料弹性变形的主要特点。

5

2、试列出弹塑性力学中的理想弹塑性力学模型（又称弹性完

全塑性模型）的应力与应变表达式，并绘出应力应变曲线。

二、填空题：（每空2分，共8分）

1、在表征确定一点应力状态时，只需该点应力状态的——

个独立的应力分量，它们分别是——。（参照oxyz直角坐标系）。

2、在弹塑性力学应力理论中，联系应力分量与体力分量间关

系的表达式叫-----方程，它的缩写式为——。

三、选择题（每小题有四个答案，请选择一个正确的结果。每小

题4分，共16分。）

1、试根据由脆性材料制成的封闭圆柱形薄壁容器，受均匀内

压作用，当压力过大时，容器出现破裂。裂纹展布的方向是：

匕A、沿圆柱纵向（轴向）口B、沿圆柱横向（环向）CC、

与纵向呈45。角0D、与纵向呈30°角

2、金属薄板受单轴向拉伸，板中有一穿透形小圆孔。该板危

险点的最大拉应力是无孔板最大拉应力倍。

口A、2cB、31匕C、心D、5

3、若物体中某一点之位移u、v、w均为零（u、v、w分别为

物体内一点，沿x、y、z直角坐标系三轴线方向上的位移分量。）

则在该点处的应变o

匕A、一定不为零CB、一定为零CC、可能为零CD、

6

不能确定

4、以下表示一个二阶张量。

匕A、3，匚：B、匕C、4外□D、°■四

四、试根据下标记号法和求和约定展开下列各式：（共8分）

1、叫;（i,j=1,2,3）；

■如+明；

2、d

五、计算题（共计64分。）

1、试说明下列应变状态是否可能存在：

Z（/+V）ayo'

ay0

L°°°［（出ZW

上式中C为己知常数，且c・Q。

2、已知一受力物体中某点的应力状态为：

7

式中a为已知常数，且a>0,试将该应力张量%分解为球

应力张量彳,与偏应力张量与之和。7为平均应力。并说明

这样分解的物理意义。

3、一很长的（沿z轴方向）直角六面体，上表面受均布压q

作用，放置在绝对刚性和光滑的基础上，如图所示。若选取伊=

ay2做应力函数。试求该物体的应力解、应变解和位移解。

（提示：①基础绝对刚性，则在x=0处，u=0；②由于受

力和变形的对称性，在y=0处，v=0o）

题五、3图

4、已知一半径为R=50mm,厚度为t=3mm的薄壁圆管，

承受轴向拉伸和扭转的联合作用。设管内各点处的应力状态均相

同，且设在加载过程中始终保持/,(采用。rCz柱坐标系,

r为径向，。为环向，z为圆管轴向。)材料的屈服极限为5=

400MPa»试求此圆管材料屈服时(采用Mises屈服条件)的轴

向教荷P和轴矩Ms。

(提示：Mises屈服条件：

aaa

(q-oi)+(ai-^)+(^-CTi)=24i?；)

填空题

6

、4，■Q

平衡微分方程

%+4-0

选择ABBC

1、解：已知该点为平面应变状态，且知：+配

为■呵;k为已知常量。则将应变分量函数代入相容方程得:

9

融中2k+0=2k成立，故知该应变状态可能存在。

2、解:

。19,一，][

00+J（4一％）

0〜」LJ%

3

球应力张量作用下，单元体产生体变。体变仅为弹性变形。

号偏应力张量作用下单元体只产生畸变。塑性变形只有在畸变时

才可能出现。关于岩土材料，上述观点不成立。

3、解：,满足B伊是应力函数。相应的应力分

量为:

，=勿，/・0,心…；①

应力边界条件：在x=h处，％・r②

a=■一

将式①代入②得：2,故知:

10

，f%,0,s；③

由本构方程和几何方程得：

%

%亨,■留，

¥加

4J④

8-——

积分得a⑤

,■a+俨o+的）

o⑥

在x=0处u=0,则由式⑤得，f1（y尸0；

在y=0处v=0,则由式⑥得，0x）=0；

"一"二

B-K

v=a+M-qy

因此，位移解为：月

4、解：据题意知一点应力状态为平面应力状态，如图示，且知

心—5+5士十可一丁丫」.

5f，则2±Vl2JC

l=0o

11

代入Mises屈服条件得：域+出+（5-5）'=2寸

即

片a-W）］+（1-5）+修［（1+询-（1-粕］）■

解得：*200MPa；

轴力：P==2X50X1()-3X3X10-3X200X

106=188.495kN

扭矩：=2?Tx502X10-6X3X10-3X200X

106=9.425kN•m

综合测试试题二

一、问答题：（简要回答，必要时可配合图件答题。每小题5分,

共10分。）

1、试简述弹塑性力学理论中变形谐调方程（即：相容方程或

变形连续方程）的物理意义。

2、简述Tresea屈服条件的基本观点和表达式，并画出其在TT

平面上的屈服轨迹。

二、填空题：（每空2分，共10分）

12

1、关于正交各向异性体、横观各向同性体和各向同性体，在

它们各自的弹性本构方程中，独立的弹性参数分别只有——个、

―――o

2、判别固体材料在复杂应力状态作用下，是否产生屈服的常

用屈服条件（或称屈服准则）分别是一一和——。

三、选择题（每小题有四个答案，请选择一个正确的结果。每小

题4分，共16分。）

1、受力物体内一点处于空间应力状态（根据OXYZ坐标系），

一般确定一点应力状态需独立的应力分量。

□A、18个CB、9个CC、6个CD、2个

2、弹塑性力学中的几何方程一般是指联系的关

系式。

JA、应力分量与应变分量CB、面力分量与应力分量

匚C、应变分量与位移分量0D、位移分量和体力分量

3、弹性力学中简化应力边界条件的一个重要原理是

匕A、圣文南原理CB、剪应力互等定理CC、叠加原理

匕D、能量原理

4、一点应力状态一般有三个主应力%.。相应的三

13

个主应力方向彼此。

□A、平行口B、斜交CC、无关口D、正交

四、试根据下标记号法和求和约定展开下列各式（式中i、j=x、

y、z）：（共10分）

①为，

②飞;

五、计算题（共计54分。）

1、在平面应力问题中，若给出一组应力解为：

/■0一矽叼・《r+力力■•*+*

q=G=，=o

式中a、b、c、d、e和f均为待定常数。且已知该组应力解

满足相容条件。试问：这组应力解应再满足什么条件就是某一弹

性力学平面应力问题的应力解。（15分）

2、在物体内某点，确定其应力状态的一组应力分量为：

14

。・=0,”，=0,>・=0,，=0,%=3a,，・=4a,知。>口。

试求：（16分）

①该点应力状态的主应力可、，和、

②主应力丐的主方向；

③主方向彼此正交；

3、如图所示，楔形体OA、0B边界不受力。楔形体夹角为

2a,集中力P与y轴夹角为由试列出楔形体的应力边界条件。

（14分）

题五、3图

15

4、一矩形横截面柱体，如图所示，在柱体右侧面上作用着

均布切向面力q,在柱体顶面作用均布压力p。试选取：

中一y(出3+Aca+Qr)+ZJr3+&a

做应力函数。式中A、B、C、D、E为待定常数。试求：(16

分)

(1)上述夕式是否能做应力函数；

(2)若伊可作为应力函数，确定出系数A、B、C、D、E。

(3)写出应力分量表达式。(不计柱体的体力)

题五、4图

5、已知受力物体内一点处应力状态为:

16

师-022

022

L」(Mpa)

旦已知该点的一个主应力的值为2MPa。试求：(15分)

①应力分量’的大小。

②主应力。、！和小。

952Tresca屈服条件Mises屈

服条CCAD

1、解：应力解应再满足平衡微分方程即为弹性力学平面应力问题可能的

应力解，代入平衡微分方程得：

生+冬+4=0

%%+9•+1=0

则知，只要满足条件a=-f,e=-d,b和C可取任意常数。若给

出一个具体的弹性力学平面应力问题，则再满足该问题的应力边界条件,

该组应力分量函数即为一个具体的弹性力学平面应力问题的应力解。

2、解：由式(2-19)知，各应力不变量为

17

Zx-07,-0

代入式(2—18)得：

H-Z5〃q=[J

也即⑴

因式分解得：，3・-5aX°・+5fl)-°

(2)则求得三个主应力分别为CTi-Sa.crj-O.crs--5a

设主应力5与xyz三坐标轴夹角的方向余弦为

hl>2,小

将"】・必及已知条件代入式(2-13)得：

-5aA1+44-0

-5HqI3aJ^-0

4ahi+%Aa一⑷口■0

由式(3)前两式分别得:

18

将式（4）代入式（3）最后一式，可得0=0的恒等式。再由式（2

—15）得：

则知

355JU（5）

同理可求得主应力的方向余弦？21、/、%和主应力/的

方向余弦01、1幺、1蕤，并且考虑到同一个主应力方向可表示成两种

形式，则得：

°i主方向为：

（好闻，啕一

主方向为：

19

仔理©；⑺

小主方向为:

（砰，阂，逐）

阵等,用

若取0i主方向的一组方向余弦为I）,小

（-乎，・格孚）

主方向的一组方向余弦为\则由空间两直

线垂直的条件知：

Jiifn+W13+/Xn.伸-曾+舒晨

由此证得0rl主方向与G由方向彼此正交。同理可证得任意两主

应力方向一定彼此正交。

3、解：楔形体左右两边界的逐点应力边界条件：当0=±a时，4

=0,%=0；以半径为r任意截取上半部研究知：

20

ZW。，匚0pli也，・0

工

4、解：据结构的特点和受力情况，可以假定纵向纤维互不挤压，即:

6・°；由此可知应力函数可取为：

■系

x»+/(x);(a)

将式(a)代入炉”口，可得：

21

oIL8

•—K

，警+睇•。⑹

故有：

铲铲

0t,0

则有:

工（K）-而十左2十Gx十］

4（*）=QP+&2+以中耳

略去翻中的一次项和常数项后得:

22

相应的应力分量为：

缶・0

,■乂&Ax+29+6R+2S

a

rv--3Jx-2*-C(f)

边界条件：

①x-。处，

则。■[(g)

②x・、处，

则

ffr-O,Tv-p_W_2Bft・p；；(h)

③在y=0处，

2叫即

卜34x/2&冲・3+•)[■口

由此得:

23

B=-Ah,

人・_#；E=E

再代入式(h)得："h.

由此得：

可■.引*¥)+6加油

由于在y=0处，

工弓£外出・。

积分得：32»'+28»-0(j)

3s

积分得：3Z»+JSh=Q(k)

由方程(j)(k)可求得：

D-2-0,

投知各应力分量为:

24

2，A3X.

丐中小

“V/-a⑴

据圣文南原理，在距0处稍远处这一结果是适用的。

5、解：首先将各应力分量点数代入平衡微分方程，则有:

04040-01

Q*q*弓■寸

得：

显然，杆件左右边界边界条件自动满足，下端边界的边界条件为:

^-o-1

叫+3=>■4■0

。水

叫।W-060-0.即：

G-n：

或:

25

一、问答题：（简要回答，必要时可配合图件答题。每小题5分,

共10分。）

1、简述弹塑性力学的研究对象、分析问题解决题的根本思路

和基本方法。

2、简述固体材料塑性变形的主要特点。

二、选择题（每小题有四个答案，请选择一个正确的结果。每小

题4分，共16分。）

1、一点应力状态的主应力作用截面上，剪应力的大小必定等

于。

匕A、主应力值CB、极大值匕C、极小值CD、零

2、横观各向同性体独立的弹性常数有个。

匕A、2匕B、5C、9匕D、21

3、固体材料的波桑比|J（即横向变形系数）的取值范围是：

26

匕A、I4屋2cB、4。"°□c、D、

十里

4、空间轴对称问题独立的未知量是应力分量和应变分量，分

别个，再加上个位移分量，一共

个。

匕A、3cB、6cC、4D、10

三、试据下标记号法和求和约定，展开用张量符号表示的平衡微

分方程：（10分）

0W+/?-0、

"1（I,j=x,y,z）

式中T为体力分量。

四、计算题（共计64分。）

1、已知一弹性力学问题的位移解为：（13分）

“之此地“&”一三

①«；a；

式中a为已知常数。试求应变分量，并指出它们能否满足变

形协调条件（即相容方程）。

27

2、设如图所示三角形悬臂梁，只受自重作用，梁材料的容

重为了。若采用纯三次多项式：

伊-△+E力+C1/+

作应力函数，式中A、B、C、D为待定常数。试求此悬臂梁

的应力解。（15分）

3、试列出下列各题

所示问题的边界条件。

（每题10分，共20

分。）

（1）试列出图示一

变截面薄板梁左端面上

的应力边界条件，如图

所示。

Z

题

四、3、(2)图

(2)试列出半空间体在边界上受法向集中P作用

------Boussinesq问题的应力边界条件，如图所示。

4、一薄壁圆筒，承受轴向拉力及扭矩的作用，筒壁上一点

处的轴向拉应力为2,环向剪应力为其余应力分量

为零。若使用Mises屈服条件，试求：(16分)

1)材料屈服时的扭转剪应力J应为多大？

2)材料屈服时塑性应变增量之比，即：闻：：ds；：

d匕：中勺：dR。已知乂段屈服条件为：

29

省［仁-bJ+5-缶丁+E-/），+6（d+U+噂）］上缶

1、解：将位移分量代入几何方程得:

弓吟Y”一"一"0

由于应变分量是X的线性函数，固知它们必然满足变形协调条件:

30

2、解：将口式代入0・°知满足，可做应力函数，相应的应力

分量为：（已知Fx=O,Fy=y）

a,-察-卒-2Ck+6力

d^a

丐=言-耳y=6/*+2取-yy

%==-2取-2Qy

vmay

边界条件:

①上边界：＞=°,%・°,“■°,代入上式得：A=B

31

=0

瓦■尸,・。，J=CO3J

②斜边界：»■ma.

*»—Maa,则:

-tifia(2u+6£Mga{l+coi或-在彻2-O'

coia(-yxtga-lifta(-2ufsai)-0

得:

3.*D._2^

2；3

于是应力解为：

q■yxe^a-

，■小

亏

题四、2图

32

3、解：(1)左端面的应力边界条件为：据圣文南原理

题四、3、(1)图

E4-"°

51丹-0.Lo~・小+♦―0.

£叫,・。・匚可，/4?-0

⑵上边界：①当"0』♦。时,，,・口；

②当*・0"。时，f.-°；

③当“0.，・°时，r.(-0；在此边界上已

知：

勺・0■0/1■—1E■工■£■1

33

④当设想■■力时，截取一平面，取上半部研究,

则由平衡条件知:

S^-0,£^iF+P-for,Jir-*+f-Ot

X界・0j,Q#・0,已知：、・・・0,对称性

4、解：采用柱坐标，则圆筒内一点的应力状态为：

a,-1彳■争C.-0.

则miss条件知：

+&-,y+9.-0+6(rJ+讨+rj)7

•加•和郎+M4号+，')■1

解得：2;此即为圆筒屈服时，一点横截面上的剪应力。

,■；(£；+耳+q).奉：

已知:J0

则：

4■/-/--今;*■・*

34

与・马■。吟-牛■争a

々%-q,■争

由增量理论知：

则：

dd”旗，”””*?）：（_*：争0:0玲

即：

四

一、问答题：（简要回答，必要时可配合图件答题。每小题5分,

共10分。）

1、弹性力学、弹塑性力学、材料力学这几门课程同属固体力

学的范畴，它们分析研究问题的基本思路都是相同的。试简述这

一基本思路。

2、试画出理想弹塑性材料的应力应变曲线，即。一£曲线，并

列出相应的应力应变关系式。

35

二、选择题（每小题有四个答案，请选择一个正确的结果。每小

题4分，共16分。）

1、极端各向异性体、正交各向异性体、横观各向同性体和各

向同性体独立的弹性常数分别为：。

口A、81、21、15、9；CB、21、15、9、6；

匕C、21、9、5、2；匕D、36、21、9,2；

2、主应力空间”平面上各点的为零。

匕A、球应力状态□B、偏斜应力状态小；

匕C、应力状态,：匕D、球应力状态仁・马不一定；

3、若一矩形无限大弹性薄平板，只在左右两边受均布拉力q

作用，板中有一穿透型圆孔。圆孔孔边危险点应力集中，此点最

大的应力力（环向正应力）是无孔板单向拉应力的。

□A,1倍CB、2倍CC、3倍CD、4倍

4、固体材料的弹性模E和波桑比"（即横向变形系数）的取

值区间分别是：

1

匕A、E<0,0<2；CB、E>0,-1<“

<1:

36

1_1_

匕C、E<0,-2<2；CD、E>0,0<

三、试根据下标记号法和求和约定展开下列各式：（变程取i,j=

1、2、3或x、y、z„）（共10分。）

2、.

四、计算题（共计64分。）

1、如图所示一半圆环，在外壁只受《・始8的法向面力作用,

内壁不受力作用。A端为固定端，B端自由。试写出该问题的逐

点应力边界条件和位移边界条件。（15分）

37

题四、1图

2、已知一点的应变状态与为：

ff.-l.OxW4",=50x1。"a;-l.OxlOr4

^-2.0x10-*2.0x10-<y,,-6.0X10-1

试将其分解为球应变状态与偏斜应变状态。（15分）

3、已知受力物体内一点处应力状态为：

G30'

0^■022

022

L"」（Mpa）

且已知该点的一个主应力的值为2MPa。试求：（18分）

①应力分量力的大小；

②主应力5、5和G。

4、一厚壁圆筒，内半径为a,外半径为b,仅承受均匀内

压q作用（视为平面应变问题）。圆筒材料为理想弹塑性，屈服

极限为内。试用Tresca屈服条件，分析计算该圆筒开始进入塑

38

性状态时所能承受的内压力q的值。已知圆筒处于弹性状态时的

应力解为：

上式中：a<r<b.（16分）

选择CACD

1、“3.

39

2、%

■，韦伊鲁,

计算题1、解：逐点应力边界条件：

当r=a时，%=0,9=0；

当r=b时，/=qsi0,弓*=0；

当8=元时，，=0,=0；

A端位移边界条件：

a+4

T---------

当8=0,2时，ur=0,u9=0,且过A点处径向微

必生

线素不转动，即*=0；或环向微线素不转动，即89=0。

2、解：

40

3、解(1)：

A-G+q+c;-q+2+2・4+o;

h--口&,S+%

■一2b.-4-2,+0+4+0-—4a^

41

-4o;+0-4ffa-3-0-0

£7.'..T汽―4■0

即：

-（4+a;）/'+4ator-0/[a；-（4+b,〉/+4aJ-0,

q，

将：代入上式解得：见々；

故知：c?-6/+8-C，-g-4）-0:

u；-2,u/-4.

由：■ZaW融：■・4；，-2:巧・任

又解（2）：代入教材、公式：«代入

42

+(^-2);+0+0-01

Qg-叫+^,-0-0+(2-%+

♦工十-ojo+4*G■霖■口

由：4F；褶・L

且由上式知：2式知人・0,由3式？・・】，故1・0,则知:

■■2；（由i式）再由:

(2-0；)00

0(2-0.)2-0

02(2-

展开得：

G-/X2・/X2-，)・42-/)-口

(2-/)a-工。一6)-电・0

则知：I-,；

1

由：ca-^xa-^^-ca-oLy-a

-0-^-2X2-0,+2)-0

43

即：兄吗!・4；

再由：/=知：oi-4,o-j-iq・口；

4、解：由题目所给条件知：

G・［：，・q：/叫：

则由Tresca条件：

知：

通用-离H■卜

则知：

"Fp-叱.-k%

考试科目：弹塑性力学试题

班号研班姓名

成绩_____

44

一、概念题

(1)最小势能原理等价于弹性力学平衡微分方程和静力边界

条件，用最小势能原理求解弹性力学近似解时，仅要求位移函

数满足已知位移边界条件。

(2)最小余能原理等价于应变协调方程和位移边界条

件，用最小余能原理求解弹性力学近似解时，所设的应力分量

应预先满足平衡微分方程和静力边界条件。

(3)弹性力学问题有位移法和应力法两种基本解法,前者以

位移为基本未知量,后者以应力为基本未知量。

二、已知轴对称的平面应变问题，应力和位移分量的一般解为:

AA

=-^-+2C,(y=—-+2C"re=0

rer

_1-A2-'+£)+2。(1-£)］，"9=0

Ur一E

利用上述解答求厚壁圆筒外面套以绝对刚性的外管，厚壁圆筒

承受内压P作用，试求该问题的应力和位移分量的解。

解：边界条件为：

r=a时：＜7;.=­p:Trf)=0。

r=。时：=0；u0=0o

将上述边界条件代入公式得:

45

A__

—+2C=-p

I1-A2

ur\r=b=—~一和+与+2以”£)=0

解上述方程组得：

,pa2b2(\-2^

/(1—2〃)+/

<

C：pa:

2出2(1-24)+*

则该问题的应力和位移分量的解分别为：

_pa2b2(l-2jU)1pa2

'Z>2(l-2/z)+a2r2Z?2(l-2//)+a2

_pa2b2(1-2/2)1pa2

06~b2(l-2p)+a2'7r_Z?2(1-2A)+O2

KTrO~0

_1一〃2「pa+2(l-2〃)(一〃)pra2

E\_r[a2+b\\-2^][1-//)[a2+b2(\-1

"e=0

三、已知弹性半平面的O点受集中力p时，在直角坐标下卢

平面体内的应力分量为：

46

IPX3

a

'兀(x2+^2)2

IPxy1

a-n(x2+y2)2

2Px2y

%=一三，+V)2

利用上述解答求在弹性半平面上作用着n个集中力p,构成的

力系，

这些力到所设原点的距离分别为先,试求应力。，，。,，7。的

一般表达式。

解：由题设条件知，第，个力P：在点（x,y）处产生的应力将

47

为:

(/)_2P(1+4

'兀[(%+a)2+(y-y,)2]2

.aW(x+Xf旷

.'一一三k+疗+(尸乃)2]2

T⑺；2P(x+a)2(y-yj

n[(x+a)2+(y-X)2f

故由叠加原理，〃个集中力构成的力系在点(x,y)处产生的

应力为：

,幺"甸卜+牙+6姆]2

“一寸/).2Ps-J

','己[―f「

t=yr(，•)=2P-4+力(二/

?'"M「+a)2+(yr泮

四、一端固定，另一端弹性支承的梁，其跨度为/,抗弯刚度

£7为常数，弹簧系数为攵,承受分布荷载q(x)作用。试用最

小势能原理导出该梁以挠度形式表示的平衡微分方程和静力

边界条件。

48

2

外力做功为：T=^qwdx-^kw|A.=/

总势能为

r2

2

n^U-T=-(EIHdx-(qwdx+-kw\x.

2Jodx"JJo2

第二步：由最小势能原理可知：

(5n=0等价于平衡微分方程和静力边界条件。

阳dx-1q^dx+^-Skw21.^

乙ICLVI乙

=tE1翳《翳办一工"苏Wr+Z卬84日

(*)

49

—d^vdx

dx

-q\d^vdx

所以平衡微分方程为：

(0WxW/)

=0

静力边界条件为：

50

五、已知空间球对称问题的一般解为:

B

UR=AR+R)

E.2E

B

1—24―(1+4)-

盲从+(1+4E*

(JTB

其中R是坐标变量，，，R是径向位移，

向应力。首先求出空心球受均匀内外压成，心时的解答，然后

在此基础上导出无限大体中有球形孔洞，半径为a,内壁受有

均匀压力4时的解答。

解：（1）相应空心球受均匀内外压％,,%时的边界条件为:

R=a：OR=—qa

R=b：OR=~qh

将上述边界条件代入得：

51

A

1-2/z---(1+4)/TB=~Qa

E,2Ec

~—--A--------rB=­q

1-2〃(1+〃)/f

可解得:

(qM3r

A=

(a3-b3)E

(/一久)(1+〃)。％3

B=

2(a3-b3)E

故空心球受均匀内外压q“，为时的解为:

(调一％如_23(%一4)(1+//)酎.

1

(a3-b^)E.~~2(/%)ER2

。屹3-w。3)_(为一/、3/]

任一下「二刚飞

(%/_的3)(%_%口广]

口一川2目-川”3

(2)当无限大体中有球形孔洞，半径为a,内壁受有均匀压

力q时，即在上式中令a=q、/=0、bT8,则可得:

52

一加(1+川

R-2ER2

qcf

qcC

(Jr=----7

TZR'

六、已知

%+月=°

1z、

dj=Mbij+2/

推导以位移分量表示的平衡微分方程。

解：由与=；(%,/+Ujj)得

1、

e=£kk=5(z"0+uk,k)=uk,k

将上述两式代入为.=屹％+2^,得到

Gj=%=^llk,k^ij+A(M；j+uj,i)

代入%,+片=0得

V»J•

2"k,kjbij+〃(%,方+UjJj)+Fj=0

而为"肉%=a〃k,ki=九。，力ru：：：—n：：：

故平衡方程可写成

53

—（几+4）勺"+耳=0

He

由因为町，户=（町,j）i=（e）j=57

0.（j

所以以位移分量表示的平衡微分方程的最终形式为：

rA。

4VM+（4+4）——+耳=0o

加

七、证明弹性力学功的互等定理（用张量标记）。

证明：（1）先证可能功原理

考虑同一物体的两种状态，这两种状态与物体所受的实

际荷载和边界约束没有必然的联系。第一状态全用力学量

（耳㈤、七⑶、来描述，它在域内满足平衡方程

%产+即）=0

并在全部边界条件上满足力的边界条件：

短）%=胪）

第二状态全用几何量（与⑹，/⑹）来描述。它在域内满

足几何方程

£严=1四+（k）

且要求全部边界位移等于域内所选位移场在边界处的值。从而

利用力的边界条件和高斯积分定理，可得

54

Js0%/as=卜/%(%心=£(%”)严

利用平衡方程，式（*）右端第一项可化为

⑹”r心力力丫

第二项利用张量的对称性和几何方程可改写成