二次函数压轴题带详细答案

二次函数压轴题强化训练(带详细答案)一.解答题(共30小题)3(2016深圳模拟)已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线尸-［肝&与x轴、y轴的交点分别为A、B,将NOBA对折，使点O的对应点H落在直线AB上，折痕交x轴于点C.(1)直接写出点C的坐标，并求过A、B、C三点的抛物线的解析式；(2)若抛物线的顶点为D,在直线BC上是否存在点P,使得四边形ODAP为平行四边形若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；(3)设抛物线的对称轴与直线BC的交点为T,Q为线段BT上一点，直接写出|QA-QO|的取值范围.(2015•枣庄)如图，直线y=x+2与抛物线y=ax'bx+6(a不0)相交于A(,，^)和B(4,m),点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC^x轴于点D,交抛物线于点C.(1)求抛物线的解析式；(2)是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值若存在，求出这个最大值；若不存在,请说明理由；(3)求APAC为直角三角形时点P的坐标.(2007•玉溪)如图，已知二次函数图象的顶点坐标为C(1,0),直线y=x+m与该二次函数的图象交于A、B两点，其中A点的坐标为(3,4),B点在y轴上.(1)求m的值及这个二次函数的关系式；(2)P为线段AB上的一个动点(点P与A、B不重合)，过P作x轴的垂线与这个二次函数的图象交于点E,设线段PE的长为h,点P的横坐标为x,求h与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(3)D为直线AB与这个二次函数图象对称轴的交点，在线段AB上是否存在一点P,使得四边形DCEP是平行四边形若存在，请求出此时P点的坐标；若不存在，请说明理由.(2013.凉山州)如图，抛物线y=ax2-2ax+c(a十0)交x轴于A、B两点，A点坐标为(3,0),与y轴交于点C(0,4),以OC、OA为边作矩形OADC交抛物线于点G.(1)求抛物线的解析式;(2)抛物线的对称轴l在边OA(不包括O、A两点)上平行移动，分别交x轴于点E,交CD于点F,交AC于点M，交抛物线于点P，若点M的横坐标为m，请用含m的代数式表示PM的长；(3)在(2)的条件下，连结PC，则在©口上方的抛物线部分是否存在这样的点P，使得以P、C、F为顶点的三角形和△AEM相似若存在，求出此时m的值，并直接判断△PCM的形状;若不存在，请说明理由.1(2009綦江县)如图，已知抛物线y=a(x-1)-3・巧(a不0)经过点A(-2,0),抛物线的顶点为D,过O作射线OM〃AD.过顶点平行于x轴的直线交射线OM于点C,B在x轴正半轴上，连接BC.(1)求该抛物线的解析式；(2)若动点P从点O出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM运动，设点P运动的时间为t(s).问当t为何值时，四边形DAOP分别为平行四边形，直角梯形，等腰梯形(3)若OC=OB,动点P和动点Q分别从点O和点B同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC和BO运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动.设它们的运动的时间为t(s),连接PQ,当t为何值时，四边形BCPQ的面积最小并求出最小值及此时PQ的长./OQ\5V(2013•天水)如图1,已知抛物线y=ax2+bx(a十0)经过A(3,0)、B(4,4)两点.(1)求抛物线的解析式；(2)将直线OB向下平移m个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共点D,求m的值及点D的坐标；(3)如图2,若点N在抛物线上，且NNBO二NABO,则在(2)的条件下，求出所有满足△PODs^NOB的点P坐标(点P、0、D分别与点N、0、B对应).(2014.河南)如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A(-1,0),B(5,0)两点，直线y=-1x+3与y轴交于点C,与x轴交于点D.点P是x轴上方的抛物线上一动点，过4点P作PF^x轴于点F,交直线CD于点E.设点P的横坐标为m.(1)求抛物线的解析式；(2)若PE=5EF,求m的值；(3)若点E,是点E关于直线PC的对称点，是否存在点P,使点E,落在y轴上若存在，请直接写出相应的点P的坐标；若不存在，请说明理由.

（2013*德州）如图，在直角坐标系中有一直角三角形AOB,O为坐标原点，OA=1,tanNBAO=3,将此三角形绕原点O逆时针旋转90°,得到^DOC,抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B、C.（1）求抛物线的解析式；（2）若点P是第二象限内抛物线上的动点，其横坐标为t,①设抛物线对称轴l与x轴交于一点E,连接PE,交CD于F,求出当4CEF与ACOD相似时,点P的坐标；②是否存在一点P,使APCD的面积最大若存在，求出APCD的面积的最大值；若不存在，（2013・河南）如图，抛物线y=-x2+bx+c与直线ygx+2交于C、D两点，其中点C在y轴上，点D的坐标为（3,方）.点P是y轴右侧的抛物线上一动点，过点P作PE^x轴于点E,交CD于点F.(1)求抛物线的解析式;(2)若点P的横坐标为m,当m为何值时，以0、C、P、F为顶点的四边形是平行四边形请说明理由.(3)若存在点P,使NPCF=45°,请直接写出相应的点P的坐标.(2013重庆)如图，已知抛物线y=x2+bx+c的图象与x轴的一个交点为B(5,0),另一个交点为A,且与y轴交于点C(0,5).(1)求直线BC与抛物线的解析式；(2)若点M是抛物线在x轴下方图象上的一动点，过点M作1^〃丫轴交直线BC于点N,求MN的最大值；(3)在(2)的条件下，MN取得最大值时，若点P是抛物线在x轴下方图象上任意一点，以BC为边作平行四边形CBPQ,设平行四边形CBPQ的面积为S1,AABN的面积为S2,且81=682,求点P的坐标.

1 3(2013.徐州)如图，二次函数y4x2+bx-|的图象与x轴交于点A(-3,0)和点B,以AB为边在x轴上方作正方形48©口，点P是x轴上一动点，连接DP,过点P作DP的垂线与y轴交于点E.(1)请直接写出点D的坐标：;(2)当点P在线段AO(点P不与A、O重合)上运动至何处时，线段OE的长有最大值，求出这个最大值；(3)是否存在这样的点P,使APED是等腰三角形若存在，请求出点P的坐标及此时APED与正方形48©口重叠部分的面积；若不存在，请说明理由.备用图(2013.泰安)如图，抛物线y=#bx+c与y轴交于点C(0,-4),与x轴交于点A,B,且B点的坐标为(2,0).(1)求该抛物线的解析式.

(2)若点P是AB上的一动点，过点P作PE〃AC,交BC于E,连接CP,求4PCE面积的最大值.(3)若点D为OA的中点，点M是线段AC上一点，且△OMD为等腰三角形，求M点的坐标.DPOjDPOj(2014广元)如图甲，四边形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，顶点在B点的抛物线交x轴于点A、D,交y轴于点E,连接AB、AE、BE.已知tanNCBE=。，A(3,0),D(-1,0),E(0,3).(1)求抛物线的解析式及顶点B的坐标；(2)求证：CB是4ABE外接圆的切线；(3)试探究坐标轴上是否存在一点P,使以D、E、P为顶点的三角形与4ABE相似，若存在,直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由；(4)设4AOE沿x轴正方向平移t个单位长度(0VtW3)时，4AOE与4ABE重叠部分的面积为s,求s与t之间的函数关系式，并指出t的取值范围.(201伞成都)如图，已知抛物线y*(x+2)(x-4)(k为常数，且k>0)与x轴从左A至右依次交于A,B两点，与y轴交于点C,经过点B的直线y=--gx+b与抛物线的另一交点为D.(1)若点D的横坐标为-5,求抛物线的函数表达式；(2)若在第一象限内的抛物线上有点P,使得以A,B,P为顶点的三角形与4ABC相似，求k的值；(3)在(1)的条件下，设F为线段BD上一点(不含端点)，连接AF,一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F,再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到(2014•南宁)在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+(k-1)x-k与直线y=kx+1交于A,B两点，点A在点B的左侧.(1)如图1,当k=1时，直接写出A,B两点的坐标；(2)在(1)的条件下，点P为抛物线上的一个动点，且在直线48下方，试求出^ABP面积的最大值及此时点P的坐标；(3)如图2,抛物线y=x2+(k-1)x-k(k>0)与x轴交于点C、D两点(点C在点D的左侧)，在直线y=kx+1上是否存在唯一一点Q,使得NOQC=900若存在，请求出此时k的值;若不存在，请说明理由.

(2013.防城港)如图，抛物线y=-(x-1)2+c与x轴交于A,B(A,B分别在y轴的左右两侧)两点，与y轴的正半轴交于点C,顶点为D,已知A(-1,0).(1)求点B,C的坐标;(2)判断4CDB的形状并说明理由;(3)将ACOB沿x轴向右平移t个单位长度(0VtV3)得到△QPE.4QPE与4CDB重叠部(2014.重庆)如图，抛物线y=-x2-2x+3的图象与x轴交于A、B两点(点A在点B的左边)，与y轴交于点C,点D为抛物线的顶点.(1)求A、B、C的坐标；(2)点M为线段AB上一点(点M不与点A、B重合)，过点M作x轴的垂线，与直线AC交于点E,与抛物线交于点P,过点P作PQ〃AB交抛物线于点Q,过点Q作QN^x轴于点N.若点P在点Q左边，当矩形PMNQ的周长最大时，求△AEM的面积;

(3)在(2)的条件下，当矩形PMNQ的周长最大时，连接DQ.过抛物线上一点F作y轴的平行线，与直线AC交于点G(点G在点F的上方).若FG=2：%DQ,求点F的坐标.似若存在，求出此时m的值；若不存在，请说明理由.A似若存在，求出此时m的值；若不存在，请说明理由.Aye◎乂\z19.(2014•昆明)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx-A(-2,0)、B(4,0)两点，与y轴交于点C.(1)求抛物线的解析式；3(a十0)与x轴交于点力为yoA(2014•钦州)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-1x2+bx+c与x轴交于A、D两点，与y轴交于点B,四边形OBCD是矩形，点A的坐标为(1,0),点B的坐标为(0,4),已知点E(m,0)是线段DO上的动点，过点E作PE^x轴交抛物线于点P,交BC于点G,交BD于点H.(1)求该抛物线的解析式；(2)当点P在直线8©上方时，请用含m的代数式表示PG的长度；(3)在(2)的条件下，是否存在这样的点P,使得以P、B、G为顶点的三角形与ADEH相

(2)点P从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时点Q从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，当4PBQ存在时，求运动多少秒使4PBQ的面积最大，最大面积是多少(3)当4PBQ的面积最大时，在8©下方的抛物线上存在点K，使S4bk：S»bq=5：2,求K点坐标.(2013•恩施州)如图所示，直线l：y=3x+3与x轴交于点A,与y轴交于点B.把4AOB沿y轴翻折，点A落到点C,抛物线过点B、C和D(3,0).(1)求直线BD和抛物线的解析式.(2)若BD与抛物线的对称轴交于点M,点N在坐标轴上，以点N、B、D为顶点的三角形与△MCD相似，求所有满足条件的点N的坐标.(3)在抛物线上是否存在点P,使S^bd=6若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由.(2013^毕节地区)如图，抛物线y=ax2+b与x轴交于点A、B,且A点的坐标为(1,0),与y轴交于点C(0,1).(1)求抛物线的解析式，并求出点B坐标;

(2)过点B作BD〃CA交抛物线于点D,连接BC、CA、AD,求四边形ABCD的周长；(结果保留根号)(3)在x轴上方的抛物线上是否存在点P，过点P作PE垂直于x轴，垂足为点E，使以B、P、EP、E为顶点的三角形与4CBD相似若存在请求出P点的坐标;冲若不存在，请说明理由.(2014德州)如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标是(4,0),并且0A=0C=40B,动点P在过A，B，C三点的抛物线上.(1)求抛物线的解析式;(2)是否存在点P,使得4ACP是以AC为直角边的直角三角形若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由;(3)过动点(3)过动点P作PE垂直于y轴于点E,交直线AC于点D,过点D作x轴的垂线.垂足为F,(201/吉林)如图①，直线l：y=mx+n(mV0,n>0)与x,y轴分别相交于A,B两点，将^AOB绕点O逆时针旋转90°得到ACOD,过点A,B,D的抛物线P叫做l的关联抛物线，而l叫做P的关联直线.(1)若l：y=-2x+2,则P表示的函数解析式为；若P：y=-x2-3x+4,则IJl表示的函数解析式为.(2)求P的对称轴(用含m,n的代数式表示)；(3)如图②，若l：y=-2x+4,P的对称轴与CD相交于点E,点F在l上，点Q在P的对称轴上.当以点C,E,Q,F为顶点的四边形是以CE为一边的平行四边形时，求点Q的坐标;(4)如图③，若l：y=mx-4m,G为AB中点，H为CD中点，连接GH,M为GH中点，连接OM.若OM='.''五,直接写出l,P表示的函数解析式.(2013.武汉)如图，点P是直线l：y=-2x-2上的点，过点P的另一条直线m交抛物线y=x2于A、B两点.(1)若直线m的解析式为y=-方x+1,求A,B两点的坐标；(2)①若点P的坐标为(-2,t).当PA=AB时，请直接写出点A的坐标；②试证明：对于直线l上任意给定的一点P,在抛物线上能找到点A,使得PA二AB成立.(3)设直线l交y轴于点C,若AAOB的外心在边AB上，且NBPC=NOCP,求点P的坐标.

-;x2+bx+c与x-;x2+bx+c与x轴交于点A(2,0),交y轴于点B(0,25.(2013.遂宁)如图，抛物线y二-1).直线y=kx一A与y轴交于点C,与抛物线的另一个交点是D.⑴求抛物线y二-++i与直线y=…粉解析式;(2)设点P是直线AD上方的抛物线上一动点(不与点A、D重合)，过点P作y轴的平行线,交直线AD于点M,作DE^y轴于点E.探究：是否存在这样的点P,使四边形PMEC是平行四边形若存在请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；(3)在(2)的条件下，作PNLAD于点N,设△PMN的周长为I,点P的横坐标为x,求l与x的函数关系式，并求出I的最大值.26.(2013.舟山)如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y二弓(x-m)2-击2+m的顶点为A,与y轴的交点为B,连结AB,AC，AB,交y轴于点C,延长CA到点D,使AD=AC,连结BD.作AE〃x轴，DE〃y轴.

(1)当m=2时，求点B的坐标；(2)求DE的长(3)①设点D的坐标为(x,y),求y关于x的函数关系式②过点D作AB的平行线，与第(3)①题确定的函数图象的另一个交点为P,当m为何值时，以A,B，D，P为顶点的四边27(2006重庆)已知：m、n是方程x2-6x+5=0的两个实数根，且mVn,抛物线y=-x?+bx+c的图象经过点A(m,0)、B(0,n).(1)求这个抛物线的解析式；(2)设(1)中抛物线与x轴的另一交点为C,抛物线的顶点为D,试求出点C、D的坐标和△BCD的面积；(3)P是线段OC上的一点，过点P作PH^x轴，与抛物线交于H点，若直线BC把4PCH(2015.阜新)如图，抛物线y=-x2+bx+c交x轴于点A(-3,0)和点B,交y轴于点C(0,3).(1)求抛物线的函数表达式;(1)求抛物线的函数表达式;(2)若点P在抛物线上，且S.0P=4Sb0c，求点P的坐标;(2)(3)如图b,设点Q是线段AC上的一动点，作DQ^x轴，交抛物线于点D,求线段DQ长度(3)的最大值.的最大值.(2014.白银)如图，在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线是由抛物线y=x2-3向右平移一个单位后得到的，它与y轴负半轴交于点A,点B在该抛物线上，且横坐标为3.(1)求点M、A、B坐标;(2)连接AB、AM、BM,求NABM的正切值;(3)点P是顶点为M的抛物线上一点，且位于对称轴的右侧，设PO与x正半轴的夹角为a,当a,当a二NABM时，求P点坐标.(2014.宿迁)如图，已知抛物线y=ax2+bx+c(a>0,cV0)交x轴于点A,B,交y轴于点C,设过点A,B,C三点的圆与y轴的另一个交点为D.

(1)如图1,已知点A,B,C的坐标分别为(-2,0),(8,0),(0,-4)；①求此抛物线的表达式与点D的坐标；②若点M为抛物线上的一动点，且位于第四象限，求△BDM面积的最大值;(2)如图2,若a=1,求证：无论b,c取何值，点口均为定点，求出该定点坐标.图L 肆二次函数压轴题强化答案一.解答题（共30小题）, ，_ ， . - 3 , ,.1.（2016深圳模拟）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线尸一1工十&与x轴、y轴的交点分别为A、B,将NOBA对折，使点O的对应点H落在直线AB上，折痕交x轴于点C.（1）直接写出点C的坐标，并求过A、B、C三点的抛物线的解析式；（2）若抛物线的顶点为D,在直线BC上是否存在点P,使得四边形ODAP为平行四边形若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；（3）设抛物线的对称轴与直线BC的交点为T,Q为线段BT上一点，直接写出|QA-QO|的取值范围.【考点】二次函数综合题.【专题】压轴题；开放型.【分析（1）点A的坐标是纵坐标为0,得横坐标为8,所以点A的坐标为（8,0）；点B的坐标是横坐标为0,解得纵坐标为6,所以点B的坐标为（0,6）；由题意得：BC是NABO的角平分线，所以OC=CH,BH=OB=6,/AB=10,AAH=4,设OC=x,则AC=8-x由勾股定理得：x=3・•点C的坐标为（3,0）将此三点代入二次函数一般式，列的方程组即可求得；

（2）求得直线BC的解析式，根据平行四边形的性质，对角相等，对边平行且相等，借助于三角函数即可求得；（3）如图，由对称性可知QO=QH，|QA-QO|=|QA-QH|.当点Q与点B重合时，Q、H、A三点共线，|QA-QO|取得最大值4（即为AH的长）;设线段OA的垂直平分线与直线BC的交点为K,当点Q与点K重合时，|QA-QO|取得最小值0.【解答】解：（1）点C的坐标为（3,0）.（1分）・・点A、B的坐标分别为A（8,0）,B（0,6）,•・可设过A、B、C三点的抛物线的解析式为y=a（x-3）（x-8）.将x=0,丫=6代入抛物线的解析式，得字］.（2分）.・.过A、B、C三点的抛物线的解析式为尸产一告肝3（3分）（2）可得抛物线的对称轴为直线区弓，顶点D的坐标为-用）,设抛物线的对称轴与x轴的交点为G.直线BC的解析式为y=-2x+分）设点P的坐标为（x,-2x+6）.解法一：如图，作OP〃AD交直线BC于点P,连接AP,作PM^x轴于点M.■「OP〃AD,/.ZPOM=ZGAD,tanZPOM=tanZGAD.「里里,,25-2k+6 16即——=~77.

经检验工¥是原方程的解.此时点P的坐标为（坐芈.（5分）但此时。经检验工¥是原方程的解.此时点P的坐标为（坐芈.（5分）但此时。M#,GA=1,OMVGA.V0P=_^―,AD=，—,ZP0M=ZGAD,cosZPOMcoeZGAB・•.OPVAD,即四边形的对边OP与AD平行但不相等,・・・直线BC上不存在符合条件的点P（6分）解法二：如图，取OA的中点E,作点D关于点E的对称点P,作PN^x轴于点N.则NPEO二NDEA,PE=DE.可得APEN@ADEG.由0E若二4,可得E点的坐标为（4,0）.3 ENE=EG=-,ON=OE-NE=-,NP=DG=—.2 2 16・•点P的坐标为（5,¥f）.（5分）vx当时-2"6二-2乂标二1力卷，■L_b £_■ -L---・•点P不在直线BC上.直线BC上不存在符合条件的点P.（6分）（3）|QA-QO|的取值范围是区画二里坐0.（8分）当Q在OA的垂直平分线上与直线BC的交点时，（如点K处），此时OK=AK,则|QA-QO|二O,当Q在AH的延长线与直线BC交点时，此时|QA-QO|最大，直线AH的解析式为：y=-tx+6,直线BC的解析式为：y=-2x+6,联立可得：交点为（0,6）,/.OQ=6,AQ=10,/.|QA-QO|=4,，|QA-QO|的取值范围是：OW|QA-QO|W4.【点评】此题考查了二次函数与一次函数以及平行四边形的综合知识，解题的关键是认真识图，注意数形结合思想的应用.2.（2015枣庄）如图，直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6（a不0）相交于A4，$和B（4,m）,点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC^x轴于点D,交抛物线于点C.（1）求抛物线的解析式；

(2)是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值若存在，求出这个最大值；若不存在,请说明理由；(3)求APAC为直角三角形时点P的坐标.【考点】二次函数综合题.【专题】几何综合题；压轴题.［分析(1)已知B(4,m)在直线y=x+2上，可求得m的值，抛物线图象上的A、B两点坐标，可将其代入抛物线的解析式中，通过联立方程组即可求得待定系数的值.(2)要弄清PC的长，实际是直线AB与抛物线函数值的差.可设出P点横坐标，根据直线AB和抛物线的解析式表示出P、C的纵坐标，进而得到关于PC与P点横坐标的函数关系式,根据函数的性质即可求出PC的最大值.(3)当APAC为直角三角形时，根据直角顶点的不同，有三种情形，需要分类讨论，分别求解.【解答】解：(1)VB(4,m)在直线y=x+2上,/.m=4+2=6,，B(4,6),,/A(i微)、B(4,6)在抛物线y=ax2+bx+6上,2a-H^b+6解得、2a-H^b+6解得、6=16a+4b+6b=-8抛物线的解析式为y=2x2-8x+6.(2)设动点P的坐标为(n,n+2),则C点的坐标为(n,2n2-8n+6),，PC=(n+2)-(2n2-8n+6),=-2n2+9n-4,=-2"总哼,/PC>0,・・・当n=时，线段PC最大且为胃.4 8(3)：^PAC为直角三角形，i)若点P为直角顶点，则NAPC=90°.由题意易知，PC〃y轴，NAPC=45°,因此这种情形不存在；ii)若点A为直角顶点，则NPAC=90°.如答图3-1,过点A(吉，微)作A3轴于点N,则O畤，AN寺过点A作AM,直线AB,交x轴于点M,则由题意易知，AAMN为等腰直角三角形,・MN=An4,，OM=ON+MN」旦3,1,・M(3,0).设直线AM的解析式为：y=kx+b,则：，2 2,解得,;3k+b=0 "=3・直线AM的解析式为：y=-x+3①又抛物线的解析式为：y=2x2-8x+6②联立①②式，解得：x=3或xg(与点A重合，舍去)・C(3,0),即点C、M点重合.当x=3时，y=x+2=5,.■.匕(3,5)；

iii）若点iii）若点C为直角顶点，则NACP=90°.,..y=2x2-8x+6=2(x-2)2-2,..・抛物线的对称轴为直线x=2.如答图3-2,作点A（方则点如答图3-2,作点A（方则点C在抛物线上，且C^）关于对称轴x=2的对称点C,!.当x=^时，y=x+2=ii.・・•点P1（3,5）、P2（9普）均在线段AB上,・・.综上所述，APAC为直角三角形时，点P的坐标为（3,5）或（,，弓）.【点评】此题主要考查了二次函数解析式的确定、二次函数最值的应用以及直角三角形的判定、函数图象交点坐标的求法等知识.3.（2007玉溪）如图，已知二次函数图象的顶点坐标为C（1,0）,直线y=x+m与该二次函数的图象交于A、B两点，其中A点的坐标为（3,4）,B点在y轴上.（1）求m的值及这个二次函数的关系式；（2）P为线段AB上的一个动点（点P与A、B不重合），过P作x轴的垂线与这个二次函数的图象交于点E,设线段PE的长为h,点P的横坐标为x,求h与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围;(3)D为直线AB与这个二次函数图象对称轴的交点，在线段AB上是否存在一点P,使得四边形DCEP是平行四边形若存在，请求出此时P点的坐标；若不存在，请说明理由.【考点】二次函数综合题.【专题】压轴题.【分析(1)因为直线y=x+m过点A,将A点坐标直接代入解析式即可求得m的值；设出二次函数的顶点式，将(3,4)代入即可；(2)由于P和E的横坐标相同，将P点横坐标代入直线和抛物线解析式，可得其纵坐标表达式，h即为二者之差；根据P、E在二者之间，所以可知x的取值范围是0VxV3；(3)先假设存在点P,根据四边形DCEP是平行四形的条件进行推理，若能求出P点坐标，则证明存在点P,否则P点不存在.【解答】解：(1)；点A(3,4)在直线y=x+m上,/.4=3+m./.m=1.设所求二次函数的关系式为y=a(x-1)2.・•点A(3,4)在二次函数y=a(x-1)2的图象上，/.4=a(3-1)2,/.a=1.•・所求二次函数的关系式为y=(x-1)2.即y=x2-2x+1.(2)设P、E两点的纵坐标分别为yP和yE.•.PE=h=yP-yE=(x+1)-(x2-2x+1)=-x2+3x.即h=-x2+3x(0VxV3).(3)存在.解法1：要使四边形DCEP是平行四边形，必需有PE二DC.・・点D在直线y=x+1上，・•点D的坐标为(1,2),「.-x2+3x=2.即x2-3x+2=0.解之，得x1=2,x2=1(不合题意，舍去)・・当P点的坐标为(2,3)时，四边形DCEP是平行四边形.解法2：要使四边形DCEP是平行四边形，必需有BP〃CE.设直线CE的函数关系式为y=x+b.:直线CE经过点C(1,0),・0=1+b,,b=-1.・直线CE的函数关系式为y=x-1.「产耳-1、产J-2富+1得x2-3x+2=0.解之，得x1=2,x2=1(不合题意，舍去)・・・当P点的坐标为(2,3)时，四边形DCEP是平行四边形.【点评】此题考查了用待定系数法求函数解析式以及函数图象上点的坐标特征，结合图形有利于解答；(3)是一道存在性问题，有一定的开放性，需要先假设点P存在，然后进行验证计算.(2013凉山州)如图，抛物线y=ax2-2ax+c(a十0)交x轴于A、B两点，A点坐标为(3,0),与y轴交于点C(0,4),以OC、OA为边作矩形OADC交抛物线于点G.(1)求抛物线的解析式；(2)抛物线的对称轴l在边OA(不包括O、A两点)上平行移动，分别交x轴于点E,交CD于点F,交AC于点M,交抛物线于点P,若点M的横坐标为m,请用含m的代数式表示PM的长；(3)在(2)的条件下，连结PC,则在CD上方的抛物线部分是否存在这样的点P,使得以P、C、F为顶点的三角形和△AEM相似若存在，求出此时m的值，并直接判断△PCM的形状;若不存在，请说明理由.【考点】二次函数综合题.【专题】压轴题.【分析】(1)将A(3,0),C(0,4)代入丫=2乂2-22乂+5运用待定系数法即可求出抛物线的解析式；(2)先根据A、C的坐标，用待定系数法求出直线AC的解析式，进而根据抛物线和直线AC的解析式分别表示出点P、点M的坐标，即可得到PM的长；(3)由于NPFC和NAEM都是直角，F和E对应，则若以P、C、F为顶点的三角形和^AEM相似时，分两种情况进行讨论：①△PFCs^AEM,②△CFPs^AEM；可分别用含m的代数式表示出AE、EM、CF、PF的长，根据相似三角形对应边的比相等列出比例式，求出m的值，再根据相似三角形的性质，直角三角形、等腰三角形的判定判断出^PCM的形状.【解答】解：(1)二.抛物线y=ax2-2ax+c(a不0)经过点A(3,0),点C(0,4),

4只，抛物线的解析式为y=-£x2理x+4；■_JJ(2)设直线AC的解析式为y=kx+b,,.-A(3,0),点C(0,4),言二°,解得b=4「•直线AC的解析式为y=-[x+4.■--1.「点M的横坐标为m,.「点M的横坐标为m,点M在AC上,点的坐标为(m,4 m+4),34g,点P的横坐标为m,点P在抛物线y二-£,点P的横坐标为m,4即PM二—七2+4m(0<m<3)；(3)在(2)的条件下，连结PC,在CD上方的抛物线部分存在这样的点P,使得以P、C、F为顶点的三角形和AAEM相似.理由如下：由题意，可得AE=3-m,EM=--1m+4,CF=m,若以P、C、F为顶点的三角形和AAEM相似，情况：TOC\o"1-5"\h\z4 S 4 8(1)P点在F上，PF= m2^一m+4-4= m2^―m.' 3 3 3 3若△PFCs^AEM,则PF： AE=FC： EM,即(-$2+^jn)：(3-m)=m：(-』+4),".'m^=0且m^=3,,/△PFC^AAEM,

，NPCF二NAME,:NAME二NCMF,/.NPCF=NCMF.在直角^CMF中,.「NCMF+NMCF=90°,，NPCF+NMCF=90°,即NPCM=90°「.△PCM为直角三角形;②P点在F②P点在F下，PF=4-（-若△PFCs^AEM,则PF：AE=FC：EM,,「m不0且m不3,「m啜（不合题意舍去）.「NCFP=90「NCPM=NCFP+FCM>90°,「△CPM为钝角三角形；③若△CFPs^AEM,则CF：AE=PF：EM,,rr，一、 ， 4 *、，,即m：(3-m)二( m2+—m)：(-33.「△CFPs^AEM,「NCPF二NAME,「NAME二NCMF,「NCPF二NCMF.「CP二CM,「△PCM为等腰三角形.综上所述，存在这样的点P使4PFC与△AEM相似.此时m的值为蔻或1,4PCM为直角三角形或等腰三角形.【点评】此题是二次函数的综合题，其中涉及到运用待定系数法求二次函数、一次函数的解析式,矩形的性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形、等腰三角形的判定,难度适中.要注意的是当相似三角形的对应边和对应角不明确时，要分类讨论，以免漏解.(2009綦江县)如图，已知抛物线y=a(x-1)-3.不(a不0)经过点A(-2,0),抛物线的顶点为D,过O作射线OM〃AD.过顶点平行于x轴的直线交射线OM于点C,B在x轴正半轴上，连接BC.(1)求该抛物线的解析式；(2)若动点P从点O出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM运动，设点P运动的时间为t(s).问当t为何值时，四边形DAOP分别为平行四边形，直角梯形，等腰梯形(3)若OC=OB,动点P和动点Q分别从点O和点B同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC和BO运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动.设它们的运动的时间为t(s),连接PQ,当t为何值时，四边形BCPQ的面积最小并求出最小值及此时PQ的长.・•・二次函数的解析式为：・•・二次函数的解析式为：y=;（3分）/OQ\5a-【考点】二次函数综合题.【专题】压轴题.［分析(1)将A的坐标代入抛物线y=a(x-1)2+3■反(a不0)可得a的值，即可得到抛物线的解析式；(2)易得D的坐标，过D作DNLOB于N；进而可得DN、AN、AD的长，根据平行四边形，直角梯形，等腰梯形的性质，用t将其中的关系表示出来，并求解可得答案；(3)根据(2)的结论，易得4OCB是等边三角形，可得BQ、PE关于t的关系式，将四边形的面积用t表示出来，进而分析可得最小值及此时t的值，进而可求得PQ的长.【解答】解：(1)二.抛物线y=a(x-1)2+3■反(a十0)经过点A(-2,0),/.0=9a+3..3,-得0分)(2)①:D为抛物线的顶点,D（1,3-/3）,过D作DN^OB于N,则DN=3.=3,AN=3・AD=','32-F（3巧）2=6/.ZDAO=60°.（4分）.「OM〃AD,①当AD=OP时，四边形DAOP是平行四边形・OP=6,・•.t=6（s）.（5分）

②当DP^OM时，四边形DAOP是直角梯形,过O作OH±AD于H,A0=2,则AH=1（如果没求出NDAO=60°可由Rt^OHAsRt^DNA（求AH=1）/.0P=DH=5,t=5（s）（6分）③当PD=OA时，四边形DAOP是等腰梯形，易证：4AOH0△DPP,,/.AH=CP,，OP=AD-2AH=6-2=4,・・.t=4（s）综上所述：当t=6、5、4时，对应四边形分别是平行四边形、直角梯形、等腰梯形；（7分）(3)由(2)及已知，NCOB=60°,OC=OB,4OCB是等边三角形则OB=OC=AD=6,OP=t,BQ=2t,/.OQ=6-2t（0VtV3）过P作PE^OQ于E,则PE=—t（8分）・•・Sbcpq+6X3巨£x（6-2t）X苧专（t-'l）2喈*（9分）当t二日时，四边形BCPQ的面积最小值为受力（10分）此时OQ=3,OP=-|,OE=-|；【点评】本题考查学生将二次函数的图象与解析式相结合处理问题、解决问题的能力.6.(2013天水)如图1,已知抛物线y=ax2+bx(a十0)经过A(3,0)、B(4,4)两点.(1)求抛物线的解析式；(2)将直线OB向下平移m个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共点D,求m的值及点D的坐标；(3)如图2,若点N在抛物线上，且NNBO二NABO,则在(2)的条件下，求出所有满足△PODs^NOB的点P坐标(点P、0、D分别与点N、0、B对应)./图1 图2【考点】二次函数综合题.【专题】压轴题.［分析(1)利用待定系数法求出二次函数解析式即可；(2)根据已知条件可求出OB的解析式为y=x,则向下平移m个单位长度后的解析式为：y二x-m.由于抛物线与直线只有一个公共点，意味着联立解析式后得到的一元二次方程，其根的判别式等于0,由此可求出m的值和D点坐标；(3)综合利用几何变换和相似关系求解.方法一：翻折变换，将^NOB沿x轴翻折；方法二：旋转变换，将4NOB绕原点顺时针旋转90°.特别注意求出P点坐标之后，该点关于直线y=-x的对称点也满足题意，即满足题意的P点有两个，避免漏解.【解答】解：(1)...抛物线y=ax2+bx(a眩0)经过A(3,0)、B(4,4)・•・将A与B两点坐标代入得:f9a+3b=0

tl6a+4b=4解得:a=lb=-3,・抛物线的解析式是y=x2-3x.(2)设直线OB的解析式为y二人x,由点B(4,4),得：4=4k］，解得：k1=1・直线OB的解析式为y=x,・直线OB向下平移m个单位长度后的解析式为：y=x-m,:点D在抛物线y=x2-3x上，,可设D(x,x2-3x),又二,点D在直线y=x-m上，...x2-3x=x-m,即x2-4x+m=0,.・抛物线与直线只有一个公共点，/.△=16-4m=0,解得：m=4,此时x1=x2=2,y=x2-3x=-2,・•.D点的坐标为(2,-2).(3):.直线OB的解析式为y=x，且A(3,0),・•点A关于直线OB的对称点A,的坐标是(0,3),根据轴对称性质和三线合一性质得出NA'BO=NABO,设直线A,B的解析式为y=k2x+3,过点(4,4),.,.4k2+3=4,解得：k2=-1,直线A,B的解析式是丫日1+3,,/ZNBO=ZABO,ZA,BO=ZABO,,BA，和BN重合，即点N在直线A,B上,■•设点N（n,%+D又点N在抛物线y=x2-3x上,0口+声n2-3n,解得：n1=--|,n2=4（不合题意，舍去）•N点的坐标为（-福，T|）.方法一：如图1,将^NOB沿x轴翻折，得到△N1OB1,贝UN1（--1,-1|）,B1（4,-4）,,O、D、B都在直线y二-x上.1•..△PpDs^NOB'^NOB0△N1OB1,/.△PiOD^^NiOBi，，鬼二处二叫叫2，.・.点匕的坐标为（-1-敖将^OPp沿直线y二-x翻折，可得另一个满足条件的点P2（黑，5）,综上所述，点P的坐标是（一亮一关）或啜京方法二:如图2,将4NOB绕原点顺时针旋转90°,得到△N2OB2,则N嗜，后，B2（4,-4）,,O、D、B都在直线y二-x上.i...△P'DsANOB,^NOB0△n2ob2,/.△PiOD^^N2OB2,,QP10D_!,,西=皈二T.・・点匕的坐标为

将^OPJ沿直线y二-x翻折，可得另一个满足条件的点P2（-，，-^|）,综上所述，点p的坐标是（V，-器或（器务方法三:・.・直线OB：y=x是一三象限平分线,4+3

行J-・•.A（3,0）关于直线OB的对称点为4+3

行J-・•.A（3,0）关于直线OB的对称点为A,（0,3）,得3i：x1=4（舍），%=-%，,),,「D(2,-2),「.l：y=-x,OD••.|0D：y=x，/.OD±OB,,/△POD^ANOB,“谭豢旋转9。。后可嘿，鲁或N关于x轴对称点为（T-器，OB=4一2，OD=2.2,ODOP10B_0M"2,/P为ON或ON2中点，州嘿令，P2（■?一数I鸣图1【点评】本题是基于二次函数的代数几何综合题，综合考查了待定系数法求抛物线解析式、一次函数(直线)的平移、一元二次方程根的判别式、翻折变换、旋转变换以及相似三角形等重要知识点.本题将初中阶段重点代数、几何知识熔于一炉，难度很大，对学生能力要求极高，具有良好的区分度，是一道非常好的中考压轴题.7.(2014河南)如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A(-1,0),B(5,0)两点，直线y二-鲁+3与y轴交于点C,与x轴交于点D.点P是x轴上方的抛物线上一动点，过点P作PF^x轴于点F,交直线CD于点E.设点P的横坐标为m.(1)求抛物线的解析式；(2)若PE=5EF,求m的值；(3)若点E,是点E关于直线PC的对称点，是否存在点P,使点E,落在y轴上若存在，请直接写出相应的点P的坐标；若不存在，请说明理由.

【考点】二次函数综合题.【专题】代数几何综合题；压轴题.［分析（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）用含m的代数式分别表示出PE、EF，然后列方程求解；（3）解题关键是识别出当四边形PECE/是菱形，然后根据PE二CE的条件，列出方程求解;当四边形PECE,是菱形不存在时，P点y轴上，即可得到点P坐标.【解答】方法一：解：（1）将点A、B坐标代入抛物线解析式，得:-1-b+c=O--1-b+c=O-254-5b+c=0解得b=4c二5'.・・抛物线的解析式为：y=-x2+4x+5.（2）二・点P的横坐标为m,/.P(m,-m2+4m+5),E(m, m+3),F(m,0)./.PE=|y/.PE=|yP-yE|=|(-m2+4m+5)--m2+-^-^+2|,，EF=|yE-yF|=|(-率+3)-0|=|一率+3|.由题意，PE=5EF,即：|-m2告m+2|=5|-}m+3|=|-字+15|4 4 4①若-m2+^m+2=-弱m+15,整理得：2m2-17m+26=0,4 4解得：巾=2或巾二与；②若-巾2岑巾+2=-（-拳+15）,整理得：m2-m-17=0,解得：,=亭或m=T.由题意，m由题意，m的取值范围为：-1VmV5,故、m=L£69这两个解均舍去.，m=2或m".（3）假设存在.作出示意图如下:•・•点E、E,关于直线PC对称，/.Z1=Z2,CE=CE,,PE=PE,.,「PE平行于y轴，，N1=N3,/.Z2=Z3,APE=CE,「.PE二CE=PE，=CE，,即四边形PECE/是菱形.当四边形PECE,是菱形存在时，由直线CD解析式y=-3x+3,可得OD=4,OC=3,由勾股定理得CD=5.过点E作£乂〃乂轴，交y轴于点M,易得△CEMs^CDO,...需落即可考，解得吟屈,R 1Q「PE=CE=^|m|,又由（2）可知：PE=|-m2—m+2|4 4Z.|-m2+-^m+2|=^|m|.①若-m2+1jm+2=^，整理得：2m2-7m-4=0,解得m=4或m=-5；②若-m2+1jm+2=-~^,整理得:m2-6m-2=0,解得m1=3+V11,m2=3-Vil.由题意，m的取值范围为：-1VmV5,故m=3+：・五这个解舍去.当四边形PECE/是菱形这一条件不存在时,此时P点横坐标为0,E,C,E'三点重合与y轴上，菱形不存在.综上所述，存在满足条件的点P,可求得点P坐标为（-5，¥）,（4,5）,（3-1.;11,2'.;1124-3）方法二:(1)略.(2)略.(3)若E关于直线PC的对称点E,在y轴上，则直线CD与直线CE关于PC轴对称.・•点D关于直线PC的对称点D,也在y轴上，/.DD,±CP,Vy=^^x+3,D(4,0),CD=5,,/OC=3,OD，=8或OD，=2,①当OD，=8时，D，(0,8),设P(t,-t2+4t+5),D(4,0),C(0,3),,/pc±dd，,akpcxkdd；=-i,.一t2+4t+5-3乂2-0_]/.2t2-7t-4=0,t1=4,t2=1,②当OD，=2时，D，(0,-2),设P(t,-t2+4t+5),,/pc±dd，,akpcxkdd；=-i,.-t?+4t+5-320+2_,"tX4-0--15/.ti=3+Vll,t2=3-V1T,・・点P是x轴上方的抛物线上一动点，・-1VtV5,，点P的坐标为(-4,¥),(4,5),(3-/TL,2.11-3).24>4一鼻，【点评】本题是二次函数压轴题，综合考查了二次函数与一次函数的图象与性质、点的坐标、待定系数法、菱形、相似三角形等多个知识点，重点考查了分类讨论思想与方程思想的灵活运用.需要注意的是，为了避免漏解，表示线段长度的代数式均含有绝对值，解方程时需要分类讨论、分别计算.(2013德州)如图，在直角坐标系中有一直角三角形AOB,O为坐标原点，OA=1,tanZBAO=3,将此三角形绕原点O逆时针旋转90°,得到^DOC,抛物线y=ax'bx+c经过点A、B、C.(1)求抛物线的解析式；(2)若点P是第二象限内抛物线上的动点，其横坐标为t,①设抛物线对称轴l与x轴交于一点E,连接PE,交CD于F,求出当4CEF与ACOD相似时,点P的坐标；②是否存在一点P,使APCD的面积最大若存在，求出APCD的面积的最大值；若不存在，请说明理由.【考点】二次函数综合题.【专题】压轴题.【分析(1)先求出A、B、C的坐标，再运用待定系数法就可以直接求出二次函数的解析式;(2)①由(1)的解析式可以求出抛物线的对称轴，分类讨论当NCEF=90°时，当NCFE=90°时，根据相似三角形的性质就可以求出P点的坐标；②先运用待定系数法求出直线CD的解析式，设PM与CD的交点为N,根据CD的解析式表示出点N的坐标，再根据SaCD=S&CN+S&DN就可以表示出三角形PCD的面积，运用顶点式就可以求出结论.l-lp【解答】解：(1)在Rt^AOB中,OA=1,tanZBAO=-7T=3,0A/.OB=3OA=3.・「△DOC是由4AOB绕点O逆时针旋转90°而得到的,/.△DOC^AAOB,/.OC=OB=3,OD=OA=1,「.A、B、C的坐标分别为(1,0),(0,3)(-3,0).代入解析式为'什b4。二口+9H一3b+c=0,二3ra=-1解得：，b=-2.、c=3..・抛物线的解析式为y=-x2-2x+3；

(2)①・.・抛物线的解析式为y=-x2-2x+3,，对称轴1=-*=-1,・•.E点的坐标为(-1,0).如图，当NCEF=90°时，△CEFs^COD.此时点P在对称轴上，即点P为抛物线的顶点，P(-1,4)；当NCFE=90°时，△CFEs^COD,过点P作PM^x轴于点M,则△EFCs^EMP..EMEFDO1… = = =—.MPFC0C3，/.MP=3EM.・•.P的横坐标为t,/.P(t,-t2-2t+3).・•.P在第二象限，/.PM=-t2-2t+3,EM=-1-t,/--t2-2t+3=-(t-1)(t+3),解得：t1=-2,t2=-3(因为P与C重合，所以舍去),，t=-2时，y=-(-2)2-2X(-2)+3=3./.P(-2,3).・•・当4CEF与ACOD相似时，P点的坐标为:(-1,4)或(-2,3)；②设直线CD的解析式为y=kx+b,由题意，得「-3k+b=0解得：,,>=1解得：,,>=1・直线CD的解析式为：y=1x+1.设PM与CD的交点为N,则点N的坐标为(t,春+1),,一J/.NM=-1t+1.・PN二PM-NM・PN二PM-NM=-t2-2t+3-7)=-t2 1+2.3寺N(CM+OM)二寺WOC三角形的面积公式的运用，二次函数的顶点式的运用，解答本题时，先求出二次函数的解析寺N(CM+OM)二寺WOC三角形的面积公式的运用，二次函数的顶点式的运用，解答本题时，先求出二次函数的解析式是关键，用函数关系式表示出^PCD的面积由顶点式求最大值是难点.(2013.河南)如图，抛物线y=-x2+bx+c与直线丫方+2交于C、D两点，其中点C在y轴上，点D的坐标为(3,巳).点P是y轴右侧的抛物线上一动点，过点P作PE，x轴于点E,交CD于点F.(1)求抛物线的解析式；(2)若点P的横坐标为m,当m为何值时，以0、C、P、F为顶点的四边形是平行四边形请说明理由.(3)若存在点(3)若存在点P,使NPCF=45，请直接写出相应的点P的坐标.【专题】压轴题.［分析(1)首先求出点C的坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的解析式；(2)本问采用数形结合的数学思想求解.将直线yJx+2沿y轴向上或向下平移2个单位之后得到的直线，与抛物线y轴右侧的交点，即为所求之交点.由答图1可以直观地看出,这样的交点有3个.联立解析式解方程组，即可求出m的值；(3)本问符合条件的点P有2个，如答图2所示，注意不要漏解.在求点P坐标的时候，需要充分挖掘已知条件，构造直角三角形或相似三角形，解方程求出点P的坐标.【解答】解：(1)在直线解析式y二,乂+2中，令x=0,得y=2,/.C(0,2).・・•点C(0,2)、D(3,弓)在抛物线y=-x2+bx+c上，〃亡二2J-j解得b=J,c=2,J抛物线的解析式为：y=-x2+^x+2.(2)：PF〃OC,且以0、C、P、F为顶点的四边形是平行四边形，/.PF=0C=2,.・・将直线y=ix+2沿y轴向上、下平移2个单位之后得到的直线，与抛物线y轴右侧的交点,即为所求之交点.由答图1可以直观地看出，这样的交点有3个.将直线y=[x+2沿y轴向上平移2个单位，得到直线y=1x+4,「1y=-^x+4联立解得x1=1,x2=2,/.mi=1,m2=2；将直线y=1x+2沿y轴向下平移2个单位，得到直线y=ix,(1联立2或丑声时，以O、C、P、F为顶点的四边形是平行四边形.2或丑声时，以O、C、P、F为顶点的四边形是平行四边形.・・・当m为值为1,解得x39t卢，x4=3-?17(在y轴左侧，不合题意，舍去),(3)存在.在Rt^CFM中，由勾股定理得:■过点P作PNLCD于点N,则PN二FWtanZPFN=FN*tanNCFM=2FN.,/ZPCF=45°,

/.PN=CN,而PN=2FN,/.FN=CF=-^n,PN=2FN=.G,在Rt^PFN中，由勾股定理得：PF二一'Fia+PN$1n.)=-m)=-m2+3m,7,「PF=y-y=(-m2+m+2)-pF整理得：m整理得：m2-,解得m=0（舍去）或m=^,同理求得，另一点为P吟至）.6 18...符合条件的点P的坐标为弓［）或（【点评】本题是二次函数综合题型，考查了二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、解方程（方程组）、平行四边形、相似三角形（或三角函数）、勾股定理等重要知识点.第（2）问采用数形结合思想求解，直观形象且易于理解；第（3）问中，符合条件的点P有两个，注意不要漏解.（2013重庆）如图，已知抛物线y=x2+bx+c的图象与x轴的一个交点为B（5,0）,另一个交点为A,且与y轴交于点C（0,5）.（1）求直线BC与抛物线的解析式；（2）若点M是抛物线在x轴下方图象上的一动点，过点M作1^〃丫轴交直线BC于点N,求MN的最大值；（3）在（2）的条件下，MN取得最大值时，若点P是抛物线在x轴下方图象上任意一点，以BC为边作平行四边形CBPQ,设平行四边形CBPQ的面积为S1,AABN的面积为S2,且81=682,求点P的坐标.

【考点】二次函数综合题.【考点】二次函数综合题.【专题】压轴题.［分析（1）设直线BC的解析式为y=mx+n,将B（5,0）,C（0,5）两点的坐标代入，运用待定系数法即可求出直线BC的解析式；同理，将B（5,0），C（0，5）两点的坐标代入y=x2+bx+c，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）MN的长是直线BC的函数值与抛物线的函数值的差，据此可得出一个关于MN的长和M点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出MN的最大值；（3）先求出4ABN的面积52=5,则q=652=30.再设平行四边形CBPQ的边BC上的高为BD,根据平行四边形的面积公式得出BD=3''2,过点D作直线BC的平行线，交抛物线与点P,交x轴于点E,在直线DE上截取PQ=BC,则四边形CBPQ为平行四边形.证明^EBD为等腰直角三角形，则BE=1QBD=6,求出E的坐标为（-1,0）,运用待定系数法求出直线PQ的解析「产_s_1式为y=-x-1,然后解方程组 , ，即可求出点P的坐标.「尸产_6x4-5【解答】解：（1）设直线BC的解析式为y=mx+n,将B（5,0）,C（0,5）两点的坐标代入，得『解得富，所以直线BC的解析式为y=-x+5；将B(5,0),C(0,5)两点的坐标代入y=x2+bx+c,鼠卜+^解得b=-鼠卜+^解得b=-6c二5,所以抛物线的解析式为y=x2-6x+5；(2)设M(x,x2-6x+5)(1<x<5),贝ljN(x,-x+5),MN=(-x+5)-(x2-6x+5)=-x2+5x=-(x——)2+工2 4二当x=^时，MN有最大值号；(3)方法一：「MN取得最大值时，x=,-x+5=-+5=,即N(,).解方程x2-6x+5=0,得x=1或5,.,.A(1,0),B(5,0),.-.AB=5-1=4,.,.△ABN的面积S^X4X=5,，平行四边形CBPQ的面积S=6S=30.设平行四边形CBPQ的边BC上的高为BD,则BC±BD.,.,BC=5a/2,.".BCBD=30,，BD二3血.过点D作直线BC的平行线，交抛物线与点P,交x轴于点E,在直线DE上截取PQ二BC,则四边形CBPQ为平行四边形.,,,BC±BD,Z0BC=45°,ZEBD=45°,「.△EBD为等腰直角三角形，BE=V1BD=6,,.,B(5,0),.,.E(-1,0),设直线PQ的解析式为y=-x+t,将E(-1,0)代入，得1+t=0,解得t=-1・・直线PQ的解析式为y=-x-1.解方程组_解方程组_k_1小2-6肝5，得.s2=3y广一4,・•点P的坐标为匕（2,-3）（与点D重合）或P2（3,-4）.方法二:.「MN取得最大值时，x=,「.-x+5=-+5二，即N(,).解方程乂2-6乂+5=0,得x=1或5,A(1,0),B(5,0),/.AB=5-1=4,/.△ABN的面积S2sx4X=5,平行四边形CBPQ的面积S1=6S2=30.;S =±S1,△BCP,该问题等价于在抛物线上找到一点P,使得S4cp=15,过点P作x轴垂线交直线BC于点H,设P(t,t2-6t+5),/H(t,-t+5),/S△BCP=-2=15,，工X(5-0)X[(-t+5)-(t2-6t+5)]=15,・・t2-5t+6=0,4,]-2 ,2-§、喳7卜广-小，点P的坐标为P1(2,-3)或P2(3,-4).【点评】本题是二次函数的综合题，其中涉及到运用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，二次函数的性质，三角形的面积，平行四边形的判定和性质等知识点，综合性较强,考查学生运用方程组、数形结合的思想方法.(2)中弄清线段MN长度的函数意义是关键，(3)中确定P与Q的位置是关键.1 q11.(2013徐州)如图，二次函数y苫x2+bx-，的图象与x轴交于点A(-3,0)和点B,以AB为边在x轴上方作正方形48©口，点P是x轴上一动点，连接DP,过点P作DP的垂线与y轴交于点E.(1)请直接写出点D的坐标： (-3.4)；(2)当点P在线段AO(点P不与A、O重合)上运动至何处时，线段OE的长有最大值，求出这个最大值；(3)是否存在这样的点P,使APED是等腰三角形若存在，请求出点P的坐标及此时APED与正方形48©口重叠部分的面积；若不存在，请说明理由.备用图备用图【考点】二次函数综合题.【专题】压轴题.【分析(1)将点A的坐标代入二次函数的解析式求得其解析式，然后求得点B的坐标即可求得正方形ABCD的边长，从而求得点D的纵坐标；(2)PA=t,OE=l,利用△DAPs^POE得到比例式，从而得到有关两个变量的二次函数，求最值即可；(3)分点P位于y轴左侧和右侧两种情况讨论即可得到重叠部分的面积.【解答】解：(1)(-3,4)；(2)设PA=t,OE=l由NDAP二NPOE=NDPE=90°得△DAPs^POE3-t13-t1•・•匚一一多二4(t-i)喋・・・当t=1时，1有最大值於q即P为AO中点时，OE的最大值为《；(3)存在.①点P点在y轴左侧时，DE交AB于点G,P点的坐标为(-4,0),,PA=OP-AO=4-3=1,由4PAD04EOP得OE=PA=1

,/△ADG^AOEG/.AG：GO=AD：OE=4：1•/A*考•/A*考,重叠部分的面积二■1X4X1224②当P点在y轴右侧时，P点的坐标为（4,0）,【点评】本题考查了二次函数的综合知识，与二次函数的最值结合起来，题目的难度较大.12.（2013泰安）如图，抛物线y二=x-bx+c与y轴交于点C（0,-4）,与x轴交于点A,B,且B点的坐标为（2,0）.（1）求该抛物线的解析式.(2)若点P是AB上的一动点，过点P作PE〃AC,交BC于E,连接CP,求4PCE面积的最大值.(3)若点D为OA的中点，点M是线段AC上一点，且△OMD为等腰三角形，求M点的坐标.【考点】二次函数综合题.【专题】压轴题.［分析(1)利用待定系数法求出抛物线的解析式；(2)首先求出4PCE面积的表达式，然后利用二次函数的性质求出其最大值;(3)4OMD为等腰三角形，可能有三种情形，需要分类讨论.【解答】解：(1)把点C(0,-4),B(2,0)分别代入y42+bx+c中,飞二-4得|X22+2b+c=0，解得该抛物线的解析式为y=-1x2+x-4.(2)令y=0,即向x2+x-4=0,解得x1=-4,x2=2,，A(-4,0)，"ABOC=12.设P点坐标为(x,0),则PB=2-x.■「PE〃AC,/.ZBPE=ZBAC,ZBEP=ZBCA,...△pbes^bac,

舞等，事化简得：Sapbe4(272.SGS"Jbe*B℃fpBE寺（2-x）X4\（2-x）=一](x+1)2+3・・当x=-1时，S"Ce的最大值为3.(3)4OMD为等腰三角形，可能有三种情形：(I)当DM=DO时，如答图①所示.DO=DM=DA=2,/.Z0AC=ZAMD=45°,・NADM=90°,•.M点的坐标为(-2,-2)；(II)当MD=M0时，如答图②所示.过点M作MNLOD于点N,则点N为0D的中点，,DN=ON=1,AN=AD+DN=3,又4AMN为等腰直角三角形，「.MN=AN=3,•.M点的坐标为(-1,-3)；(III)当OD=OM时,.・.△oac为等腰直角三角形，・・点0到AC的距离为厚X4=2y'2即AC上的点与点0之间的最小距离为2过2/2..-2>2,AOD=OM的情况不存在.综上所述，点M的坐标为综上所述，点M的坐标为(-2,-2）或（-1,-3）.答图②答图①【点评】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、相似三角形、等腰三角形等知识点，以及分类讨论的数学思想.第(2)问将面积的最值转化为二次函数的极值问题，注意其中求面积表达式的方法；第(3)问重在考查分类讨论的数学思想，注意三种可能的情形需要一一分析，不能遗漏.13.(2014广元)如图甲，四边形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，顶点在B点的抛物线交x轴于点A、D,交y轴于点E,连接AB、AE、BE.已知tanNCBE=。，A(3,0),D(-1,0),E(0,3).(1)求抛物线的解析式及顶点B的坐标；(2)求证：CB是4ABE外接圆的切线；(3)试探究坐标轴上是否存在一点P,使以D、E、P为顶点的三角形与4ABE相似，若存在,直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由；(4)设4AOE沿x轴正方向平移t个单位长度(0VtW3)时，4AOE与4ABE重叠部分的面积为s,求s与t之间的函数关系式，并指出t的取值范围.【考点】二次函数综合题.图甲【考点】二次函数综合题.图甲图乙［备用图)【专题】代数几何综合题；压轴题；分类讨论.【分析】(1)已知A、D、E三点的坐标，利用待定系数法可确定抛物线的解析式，进而能得到顶点B的坐标.(2)过B作BM^y轴于M,由A、B、E三点坐标，可判断出△BME,AAOE都为等腰直角三角形，易证得NBEA=90°,即4ABE是直角三角形，而AB是4ABE外接圆的直径，因此只需证明AB与CB垂直即可.BE、AE长易得，能求出tanNBAE的值，结合tanNCBE的值，可得到NCBE二NBAE,由此证得NCBA=NCBE+NABE=NBAE+NABE=90°,此题得证.(3)△ABE中，NAEB=90°,tanNBAE二日，即AE=3BE,若以D、E、P为顶点的三角形与^ABE相似，那么该三角形必须满足两个条件：①有一个角是直角、②两直角边满足1：3的比例关系；然后分情况进行求解即可.(4)过E作EF〃x轴交AB于F,当E点运动在EF之间时，4AOE与4ABE重叠部分是个四边形；当E点运动到F点右侧时，4AOE与4ABE重叠部分是个三角形.按上述两种情况按图形之间的和差关系进行求解.【解答】(1)解：由题意，设抛物线解析式为y=a(x-3)(x+1).将E(0,3)代入上式，解得：a=-1.「.y=-x2+2x+3.则点B(1,4).(2)证明：如图1,过点B作BM，y于点M,则M(0,4).在Rt^AOE中，OA=OE=3,/.Z1=Z2=45°,AE=-0A2+OE2=3，;-2.在Rt^EMB中，EM=OM-OE=1=BM,/.ZMEB=ZMBE=45°,BE=\；eM产：：工/.ZBEA=180°-Z1-ZMEB=90°.「.AB是^ABE外接圆的直径.BE1在RtAABE中,tanZBAE=^；=-1=tanZCBE,/.ZBAE=ZCBE.在Rt^ABE中，NBAE+N3=90°,「.NCBE+N3=90°.「.NCBA=90°,即CB^AB.「CB是^ABE外接圆的切线.(3)解：Rt^ABE中，NAEB=90°,tanNBAE」，sinNBAE=^,cosNBAE=^^1；3 10 10若以D、E、P为顶点的三角形与4ABE相似，则4DEP必为直角三角形;①DE为斜边时，P1在x轴上，此时匕与0重合;由D(-1,0)、E(0,3),得0D=1、0E=3,即tanNDEO二工二tanNBAE,即NDEO二NBAE3满足△DEOs^BAE的条件，因此0点是符合条件的匕点，坐标为(0,0).②DE为短直角边时，P2在x轴上;若以D、E、P为顶点的三角形与^ABE相似，则NDEP2=NAEB=90°,sinNDP2E=sinNBAE二郊;而口£=/7^7^^^，则DP2=DE+sinNDP2E=VT5+^^=10,OP2=DP2-OD=9即：打(90)；③DE为长直角边时，点P3在y轴上;若以D、E、P为顶点的三角形与4ABE相似，则NEDP『NAEB=90°,cosZDEP3=cosZBAE=^ypl；,贝ljEPjDE+cosNDEP3Hli!.=!^^,OP3=EP3-,综上，得：P1(0,0),P2(9,0),P3(0,-().

(4)解：设直线AB的解析式为y=kx+b.WA(3,0),B(1,4)代入，得兆：一，解得二2[k+b=4 1b=6/-y=_2x+6.过点E作射线EF〃x轴交AB于点F,当y=3时，得乂二!「下号3).情况一：如图2,当0VtW,时，设4AOE平移到△GNM的位置，MG交AB于点H,MN交AE于点S.则ON=AG=t,则ON=AG=t,过点H作LK^x轴于点K,交EF于点L.即心_「3一进”I由△AHGs^FHM,得黑等,rriiHL解得HK=2t.1 I 1 R/.S=S-S-S=^X3X3--(3-t)2if2t二—±t2+3t.阴△MNG△SNA△HAG2 2 2 2情况二：如图3,当■IvtWB时，设AAOE平移到APQR的位置，PQ交AB于点I,交AE于解得IQ=2(3-t).点V.由△IQAs^ipf,得备=^1.嗔毋,■,/AQ=VQ=3-t,/•S阴二/v*解得IQ=2(3-t).点V.由△IQAs^ipf,得备=^1.嗔毋,■,/AQ=VQ=3-t,/•S阴二/v*AQ=-i(3-t)2=lt2-■综上所述：s=CO<t<-|)DO【点评】该题考查了二次函数的综合题，涉及到二次函数解析式的确定、切线的判定、相似三角形的判定、图形面积的解法等重点知识，综合性强，难度系数较大.此题的难点在于后两个小题，它们都需要分情况进行讨论，容易出现漏解的情况.在解答动点类的函数问题时,一定不要遗漏对应的自变量取值范围.14.(2014成都)如图，已知抛物线y*(x+2)(x-4)(k为常数，且k>0)与x轴从左至右依次交于A,B两点，与y轴交于点C,经过点B的直线y二-个x+b与抛物线的另一交点为D.(1)若点D的横坐标为-5,