理科数学高考试题分类汇编

1、集合与简易逻辑

(2014)1.设集合乂={0,1,2},N={x|%2—3%+2口},则McN=()

A.{1}B.{2}C.{0,1}D.{1,2}

(2013课标全国H,理1)已知集合,”=3(x—1”'V4,xeR},N—{—1,0,1,2,3},则"C/V=().

A.{0,1,2}B.{-1,0,1,2}C.{-1,0,2,3}D.{0,1,2,3}

(2012)1、已知集合人={1,2,3,4,5},B={(x,y)|xCA,y£A,x-yGA},则B中所含元素的

个数为

(A)3(B)6(C)8(D)10

(2010)(1)已知集合A={||2,XG4}},8={x|6Z},则Ac8=

(A)(0,2)(B)[0,2](C){0,2](D){0,l,2}

2、平面向量

(2014)3.设向量满足|a+臼,\a-b\=>/6,则。•5=()

A.1B.2C.3D.5

(2013课标全国II,理13)已知正方形力时的边长为2,后为勿的中点，则AE-8D=.

(2012)13>已知向量Q,白夹角为45。，且时=1,3一耳=痴，则网=.

(2011)(10)已知a与b均为单位向量，其夹角为。，有下列四个命题

\‘2%

[:\a+b\>lo0eg：,+可>1<=>e£

7

71

P4:\a-b\>\o0e

其中的真命题是

(A)(B)片出(C)P2,P3(D)P2,P4

3、复数

(2014)2.设复数4,Z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，Z|=2+i,则z,=()

A.-5B.5C.-4+1D.-4-/

(2013课标全国n,理2)设复数z满足(l-i)z=2i,则z=().

A.—1+iB.—1—IC.1+iD.1—i

2

(2012)3、下面是关于复数z=--的四个命题

-1+z

Pl：|z|=2P2:z2=2i

P3:z的共辄复数为1+iP4：z的虚部为-1

其中真命题为

(A),P2,P3(B)Pl,P2(C)P2,P4(D)P3,P4

(2011)(1)复数2型的共规复数是

l-2z

33

(A)——z(B)-i(C)-i(D)i

55

也+i--

(2010)(2)已知复数z=-5L一,z是z的共知复数，则z・z=

(1-")2

11

A.—B.-C.1D.2

42

4、框图

(2014)7.执行右图程序框图,如果输入的x,t均为2,则输出的5=()

A.4B.5C.6D-7

/输入X,t/

I

M=l,S=3

I

/输入必

(2013课标全国II,理6)执行下面的程序框图，如果输入的川上10,那么输出的S=(

111

1t+—+—++—

A.2310

,111

1H-----1-----Fd-----

B.2!3!10!

,111

1+—+—++—

C.2311

,111

D.2!3!11!

(2012)6、如果执行右边的程序图，输入正整数N(NN2)和

实数囚,。2,…%，输入A,B,则

(A)A+B为的a],4,...。”和

(B)♦—为4,生,…%的算式平均数

(C)A和B分别是a”的,•.•%中最大的数和最小的数

(D)A和B分别是4,外,…%中最小的数和最大的数

2011)(3)执行右面的程序框图，如果输入的N是6,那么输出的p是

(A)120

(B)720

(C)1440

(D)5040

(2010)(7)如果执行右面的框图，输入N=5,则输出的数等于

2

(A)

4

4

(B)?

6

(C)I

3

(D)

6

5、定积分

(2011)(9)由曲线y=«,直线y=x-2及y轴所围成的图形的面积为

(A)—(B)4(C)—(D)6

33

(2010)(13)设y=/(x)为区间［0,1］上的连续函数，且恒有O〈/(x)Wl,可以用随机模拟方法近似计算积分

［'f(x)dx,先产生两组(每组N个)区间［0,1］上的均匀随机数百,孙…4和X，…%，由此得到N个点

JO

a，X)(j=l,2「・,N),再数出其中满足yW/a)(i=l,2,…,N)的点数2,那么由随机模拟方案可得积分

£f(x)dx的近似值为。

6、排列组合、二项式定理

(2014)13.(x+a)i°的展开式中，X1的系数为15,则a=.(用数字填写答案)

(2013课标全国H,理5)已知(l+ax)(l+x”的展开式中f的系数为5,则a=().

A.-4B.-3C.-2D.-1

(2012)2、将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小

组有1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有

(A)12种(B)10种(C)9种(D)8种

(2011)(8)+的展开式中各项系数的和为2,则该展开式中常数项为

(A)-40(B)-20(C)20(D)40

7、不等式

x+y-7W0

(2014)9.设x,y满足约束条件vx—3y+lW0,则z=2x—y的最大值为()

y-520

A.10B.8C.3D.2

x>1,

(2013课标全国II,理9)已知a>0,x,y满足约束条件,x+y43,若z=2x+y的最小值为1,则a=().

y>6Z(X-3).

A.4B.2C.1D.2

x-y>-1

2012)14、设x,y满足约束条件则z=x—2y的取值范围为

x>0

7>0

3<2x+y<9,

(2011)(13)若变量x,y满足约束条件<-则z=x+2y的最小值为

6<x-y<9,

8、概率

(2014)5.某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75,连续两为优良的概率是0.6,已知

某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是()

A.0.8B.0.75C.0.6D.0.45

14.(2013课标全国H,理14)从4个正整数1,2,…，〃中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的

概率为—>则〃=.

14

(2011)(4)有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这

两位同学参加同一个兴趣小组的概率为

(2010)(6)某种种子每粒发芽的概率都为0.9,现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补

种的种子数记为才，则才的数学期望为

(A)100(B)200(C)300(D)400

9、三角函数

(2014)4.钝角三角形ABC的面积是，，AB=1,BC=V2,则AC=()

A.5B.逐C.2D.1

(2014)14.函数/(x)=sin(x+2夕)-2sin0cos(x+°)的最大值为.

、

71

(2013课标全国II,理15)设。为第二象限角,若tan|0+—=—，则sin9+cos0=

47

(2013课标全国H,理17)(本小题满分12分)的内角4B,。的对边分别为a,b,a已知a=AosC+csin笈

⑴求民

⑵若6=2,求△/回面积的最大值.

7T7T

(2012)9、已知w>0,函数/(x)=sin(@:+i)在(于乃)单调递减，则公的取值范围是

(A)¥(B)[—,—](C)(0,—](D)(0,2J

24242

(2012)17、(本小题满分12分)已知a,b,c分别为4ABC的三个内角A,B,C的对边，acosC+J^asin=0。

(I)求A；

(II)若。=2,△ABC的面积为百，求b,Co

(2011)(5)已知角。的顶点与原点重合，始边与龙轴的正半轴重合，终边在直线y=2x上，则cos2。二

4334

(A)——(B)——(C)-(D)一

5555

(2011)(11)设函数，。)=$皿8+9)+(：05(5+9)(0>0,|同<:|9的最小正周期为"，且/(—x)=/(x),则

(A)/1)在(0,、)单调递减(B)/(x)在')单调递减

(C)/(x)在[(),生)单调递增(D)/(九)在年)单调递增

(2011)(16)在A4BC中，B=60,AC=g,则AB+28C的最大值为

(2010)(4)如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P。(后，-、£),角速度为1,那么点P

到x轴距离d关于时间t的函数图像大致为

A1+tan—

(2010)(9)若cosa=-一，a是第三象限的角，则------2.

51*a

1-tan—

2

11

(A)--(B)-(C)2(D)-2

22

(2010)(16)在AABC中，D为边BC上一点，BD=-DC,ZADB=120°,AD=2,若AADC的面积为3-JL则

2

ZBAC=

10、数列

(2014)17.(本小题满分12分)

已知数列｛。〃｝满足。］=1,aH+｝=34+1.

(I)证明｛4+4｝是等比数列，并求｛4｝的通项公式；

(II)证明：

J_+，+・・・+J_<3

a｝a2an2

(2013课标全国n,理3)等比数列｛&｝的前77项和为Sn.己知&=&+108,&=9,则4=().

1111

A.3B.3c.9D.9

(2013课标全国II,理16)等差数列｛a｝的前n项和为S,,已知So=O,Ss=25,则77s的最小值为

(2012)5、已知｛〃”｝为等比数列，%+4=2，。5・。6=-8，则4+4()=

(A)7(B)5(C)-5(D)-7

(2012)16、数列｛a“｝满足4+I+(-1)"4=2〃一1,则｛%｝的前60项和为。

(2011)(17)(本小题满分12分)

等比数列｛«„｝的各项均为正数，且2/+34=1,«32=94%

求数列｛勺｝的通项公式.

设bn=log34+log3/+.....+log3a”，求数列，—>的前项和.

(2010)(17)(本小题满分12分)

设数列｛风｝满足«,=2,。,用一%=322n-'

(1)求数列｛4｝的通项公式；

(2)令b.=na”,求数列的前n项和S”

11、立体几何

(2014)6.如图，网格纸上正方形小格的边长为1(表示1cm)，图中粗线画出

是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm,高为6cm的圆柱体毛坯切

得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为()

(2013课标全国n,理7)一个四面体的顶点在空间直角坐标系方xyz中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),

(0,0,0),画该四面体三视图中的正视图时，以z公平面为投影面，则得到的正视图可以为().

(2012)7、如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为

(A)6(B)9(C)12(D)18

(2011)(6)在一个儿何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示,

则相应的侧视图可以为

(iEttB)

(A)(B)(C)(D)

（2010）（14）正视图为一个三角形的几何体可以是（写出三种）

（2014）11.直三棱柱ABC-A山©中,ZBCA=90°,M,N分别是A|B|,AQ的中点,BC=CA=CG，

则BM与AN所成的角的余弦值为（)

V2

Aj_B.2r730D.

10ycTT2

18.（本小题满分12分）

（2013课标全国II,理4）已知如，〃为异面直线，如，平面a,〃，平面£.直线/满足/，/，IVn,ma,/仁£,

则（）.

A.a〃B且1〃aB.aJ.B且1J.B

C.a与B相交，且交线垂直于1D.a与B相交，且交线平行于1

（2013课标全国H,理18）（本小题满分12分）如图，直三棱柱/比、-48G中，D,£分别是49,1班的中点,AAt=AC

—CB——AB.

2

（1）证明：阳〃平面45；

⑵求二面角尸4。一£的正弦值.

（2012）11、已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，AABC是边长为1的正三角形，SC为O的直径,

且SC=2,则此棱锥的体积为

V2V2V2

(A)(B)(C)(D)

6TV

(2012)19、(本小题满分12分)

如图，直三棱柱ABC—44G中，AC=BC=^AA,

t。是棱44,的中点，DQLBD.

(1)证明：DQ1BC；

(2)求二面角|4一8。一。的大小。

(2011)(15)已知矩形A8CO的顶点都在半径为4的球。的球面上，且AB=6,3C=2G,则棱锥O—A3CO的

体积为

(2011)(18)(本小题满分12分)

如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为平行四

边形，NDAB=60°,AB=2AD,PD_L底面ABCD.

(I)证明：PA±BD；

(II)若PD=AD,求二面角A-PB-C的余弦值。

(2010)(10)设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为。，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为

272112

(A)Tia：(B)§~(C)—7TCI(D)5几注

3

(2010)(18)(本小题满分12分)

如图，已知四棱锥P-ABCD的底面为等腰梯形，ABCD,AC1BD,垂足为H,PH是四棱锥的高，E为AD中点

(1)证明：PEIBC

(2)若NAPB=NADB=60°,求直线PA与平面PEH所成角的正弦

值

12、解析几何

(2014)10.设F为抛物线C：V=3x的焦点，过F且倾斜角为30。的直

线交C于A,B两点，O为坐标原点，则4OAB的面积为()

3G

R96c.g9

A.BD.

-丁324

(2014)16.设点M(%,1),若在圆O:x2+y2=l上存在点N,使得NOMN=45°,则小的取值范围是,

(2014)20.(本小题满分12分)

设耳，鸟分别是椭圆今+城=l(a>b>0)的左右焦点，M是C上一点且ME与x轴垂直，直线M4与C的另一

个交点为N.

(I)若直线MN的斜率为g,求C的离心率；

4

(II)若直线MN在y轴上的截距为2,且|MN|=5忻N|，求“力•

(2013课标全国II,理11)设抛物线a_/=2p*(p>0)的焦点为£点材在。上，|孙=5,若以物'为直径的圆过点

(0,2),则C的方程为().

A.y2=4x或y2=8xB.y2=2x或y2=8x

C.y2=4x或y2=16xD.y2=2x或y2=16x

(2013课标全国II,理12)已知点4(—1,0),夙1,0),<7(0,1),直线y=ax+bQ>0)将△/笈分割为面积相等的两

部分，则b的取值范围是().

1夜1)V2\_

A.(0,1)B.7D.32

x2,2

(2013课标全国H,理20)(本小题满分12分)平面直角坐标系x分中，过椭圆斑—+乙=1(a>b>0)右焦点的直

/b2

线x+y—6=0交M于46两点，。为力6的中点，且。的斜率为;.

(1)求材的方程；

⑵C,。为材上两点，若四边形/碗的对角线制，/6,求四边形/如面积的最大值.

222

(2012)4、设Fl,F2是椭圆E:吃x+齐=1(a>b>0)的左、右焦点，P为直线x=^a上的一点，△a是底角

为30。的等腰三角形，则E的离心率为

123/、4

(A)—(B)一(C)(D)一

235

(2012)8、等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线：/=16X的准线交于AB两点，|A0=46，

则C的实轴长为

(A)V2(B)272(C)4(D)8

(2012)20、(本小题满分12分)

设抛物线C：9=2〃乂〃>0)的焦点为尸，准线为1,A为C上一点，已知以F为圆心，E4为半径的圆尸交1于

B,。两点。

(1)若/BFD=90。，^ABD的面积为4a,求p的值及圆产的方程；

(2)若4,3,尸三点在同一直线加上，直线〃与〃2平行，且〃与。之有一个公共点，求坐标原点到/篦，〃距离的

比值。

(2011)(7)设直线1过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，1与C交于A,B两点，|A8|为C的实轴

长的2倍，则C的离心率为

(A)72(B)G(C)2(D)3

(2011)(14)在平面直角坐标系X。)，中，椭圆C的中心为原点，焦点与，鸟在x轴上，离心率为过/的直

线交于A8两点，且AAB鸟的周长为16,那么C的方程为。

(2011)(20)(本小题满分12分)

在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,T),B点在直线y=-3上，M点满足MB〃OA,MA«AB=MB*BA,M点的轨

迹为曲线C。

(I)求C的方程；

(II)P为C上的动点，1为C在P点处得切线，求0点到1距离的最小值。

(2010)(12)已知双曲线E的中心为原点，P(3,0)是E的焦点，过F的直线/与E相交于A,B两点，且AB的中

点为N(—12,-15),则E的方程式为

22222222

XV」XVXV厂V.

(A)-------=1(B)———=1(C)———=1(D)———=1

36456354

(2010)(15)过点A(4,l)的圆C与直线x-y=O相切于点B(2,1),则圆C的方程为

2010)(20)(本小题满分12分)

£y2

设《，居分别是椭圆石：与+4=1(。＞。＞0)的左、右焦点，过£斜率为1的直线i与E相交于两点，且

ab~

耳忸用成等差数列。⑴求E的离心率；

(2)设点满足|24|=归却，求E的方程

13、函数

(2014)8.设曲线y=〃x・ln(x+l)在点(0,0)处的切线方程为y=2x,则斫

A.0B.1C.2D.3

(2014)12.设函数/(x)=Gsin若存在了(尤)的极值点X。满足暗+[/优)丁＜加，则m的取值范围是()

A.(―00,—6)D(6,8)B.(-OO,T)U(4,8)C.(―OO,—2)U(2,8)D.(-oo,—l)kj(4,oo)

(2014)15.已知偶函数/(x)在[0,”)单调递减，/(2)=0.若/(x-l)＞0,则x的取值范围是.

(2014)21.(本小题满分12分)

已知函数f{x)-ex-e-x-2x

(I)讨论/(x)的单调性；

(H)设g(x)=/(2x)-砌■(%),当x>()时，g(x)>0,求6的最大值;

(III)已知1.4142<0<1.4143,估计ln2的近似值(精确到0.001)

(2013课标全国H,理8)设a=log36,i=log510,log-14,则().

A.c>b>aB.b>c>aC.a>c>bD.a>b>c

10.(2013课标全国II,理10)已知函数f(x)=x3+af+6x+c,下列结论中错误的是().

A.BxOeR,f(xO)=O

B.函数y=f(x)的图像是中心对称图形

C.若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(-8,xO)单调递减

D.若xO是f(x)的极值点，则f'(x0)=0

(2013课标全国II,理21)(本小题满分12分)已知函数f(x)=e*-ln(x+4.

(1)设x=0是/Xx)的极值点，求卬，并讨论f(x)的单调性；

⑵当加W2时，证明/U)>0.

(2012)10、已知函数/(©=-----5-----,则y=/(x)的图像大致为

ln(x+l)-x

点Q在曲线y=ln(2x)上,则|PQ|的最小值为

(A)l-ln2(B)V2(l-ln2)(C)l+ln2(D)V2(l+In2)

(2012)21、(本小题满分12分)

,1,

己知函数/(x)满足/(x)=/'(!>-/(0)x+-x2

(1)求/(幻的解析式及单调区间;

(2)若f(x)>—+ax+b,求(a+l)b的最大值。

(2011)(2)下列函数中，既是偶函数、又在(0,)单调递增的函数是

(A)y=x2(B)y=W+l(C)y——x2+1(D)y—2-1A1

(2011)(12)函数y=」一的图像与函数y=2sin»x(-2<x44)的图像所有焦点的横坐标之和等于

x-\

(A)2(B)4(C)6(D)8

(2011)(21)(本小题满分12分)

/7Inrh

已知函数/(x)=----+—，曲线y=/(x)在点(1,/(1))处的切线方程为x+2y—3=0。

x+1X

(I)求a、b的值；

1n¥-k

(II)如果当x>0,且xwl时，f(x)>——+求女的取值范围。

x-\X

x

(2010)(3)曲线y=—在点(-1,-1)处的切线方程为

x+2

(A)y=2x+l(B)y=2x-1Cy=-2x-3D.y=-2x-2

(2010)(5)已知命题

R：函数y=2*-2r在R为增函数，

p2：函数？=2*+2-,在R为减函数，

则在命题名:PjVp2,%:Pi△P2，/：(-P1)V“2和。4：Pl△(—〃2)中，真命题是

(A)%,qy(B)%，%(C)%,见(D)%,%

(2010)(8)设偶函数/(x)满足/(x)=。-8(x20),则{x"(x—2)>0}=

(A){x\x<-2^x>4}(B){x|x<0gJcx>4}

(C){%|%<0或^>6}(D){x\x<-2^x>2}

Ilgx|,0<x<10,

(2010)(11)已知函数/(x)=,1若a,。,c互不相等，且/(a)=/(0)=/(c),则a机'的取值范围是

--x+6,x>10.

(2010)(21)(本小题满分12分)

设函数=。

(1)若。=0,求/(x)的单调区间；

(2)若当XN0时/。)之0,求。的取值范围

14、极坐标与参数方程

(2014)23.(本小题满分10)选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xoy中，以坐标原点为极点，x轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为夕=2cos。,

回国

(I)求C的参数方程；

(II)设点D在C上，C在D处的切线与直线/:卜=6》+2垂直，根据(I)中你得到的参数方程，确定D的坐

标.

(2013课标全国H,理23)(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程

己知动点只。都在曲线G\为参数)上，对应参数分别为与t=2a(0<aV2n),"为国的

y=2sinf

中点.

(D求"的轨迹的参数方程；

(2)将"到坐标原点的距离d表示为。的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点.

(2012)23、(本小题满分10分)选修4—4；坐标系与参数方程

x=2coss

已知曲线£的参数方程式《"(夕为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线Cz

y=3sino

的极坐标方程式夕=2。正方形ABC。的顶点都在上，且A,B,C,。依逆时针次序排列，点A的极坐标

7T

为(2,3)»

(I)求点A,B,C,。的直角坐标；

<II)设尸为a上任意一点，求|刚2+归呼+归。『+|包)『的取值范围。

(2011)(23)(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy中，曲线G的参数方程为

x=2cosa

(e为参数)

y=2+2sina

M是G上的动点，P点满足OP=2OM,P点的轨迹为曲线C2

(I)求皂的方程

TT

(H)在以0为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线6=一与G的异于极点的交点为A,与C2的异于极点

3

的交点为B,求

2010)(23)(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程

x=l+tcosafx=cos0

已知直线(t为参数)，C2〈.(。为参数)，

y=tsina[y=sin。

TT

(I)当时，求Ci与Q的交点坐标；

(H)过坐标原点0做G的垂线，垂足为二P为0A中点，当a变化时，求P点的轨迹的参数方程，并指出它是什

么曲线。

15、应用题

（2014）19.（本小题满分12分）

某地区2007年至2013年农村居民家庭纯收入y（单位：千元）的数据如下表:

年份2007200820092010201120122013

年份代号t1234567

人均纯收入y2.93.33.64.44.85.25.9

（I）求y关于t的线性回归方程;

（II）利用（I）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地

区2015年农村居民家庭人均纯收入.

附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：

?

AEU-)(x-y)

b*-----------a=y—bt

/=1

（2013课标全国n,理19）（本小题满分12分）经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t该产品获利

润500元，未售出的产品，每1t亏损300元.根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如

图所示.经销商为下一个销售季度购进了130t该农产品.以¥（单位：t,100W朕150）表示下一个销售季度内的市

场需求量，7（单位：元）表示下一个销售季度内经销该农产品的利润.

（1）将7表示为X的函数；

（2）根据直方图估计利润7不少于57000元的概率；

（3）在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求量落入该区间的频率作为需求量取

该区间中点值的概率（例如：若需求量XG[100,110）,则取了=105,且才=105的概率等于需求量落入[100,110）的

频率），求7的数学期望.t频率/组距

0.030------------------

0.025-----------------------

0.020-------------