高数线面积分暑假重修

定义1、对弧长的（第一型）曲线积分的概念被积函数积分弧段积分和式曲线形构件的质量

则称此极限为函数f(x,y)在曲线弧上对弧长的曲线积分或第一类曲线积分.性质(1)线性性(2)积分曲线可加性(3)封闭性为曲线的弧长(4)定理2、对弧长曲线积分的计算注意:特殊情形推广:背景：3、第二型曲线积分变力沿曲线所作的功即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关性质：定理4、对坐标的曲线积分的计算特殊情形例计算曲线积分，其中L为x轴与上半圆周(x-a)2+y2=a2(a>0)在第一象限内所围成区域的边界（按逆时针方向绕行）。例计算曲线积分其中L是抛物线y=x2上从点(-1,1)到点(1,1)的一段。定理5、格林(Green)公式设(1)闭区域D由分段光滑的曲线L围成,(2)函数P(x,y)及Q(x,y)在D上具有一阶连续偏导数,则有其中L是D的取正向的边界曲线,上式叫做格林公式(Green).若L为D的反向边界曲线，则要加一个负号！例例计算曲线积分

其中L为从点A(a,a)沿曲线抛物线x2+y2=2ax的上半段到点O(0,0)的一段弧。例计算曲线积分其中L是抛物线y=x2上从点(-1,1)到点(1,1)的一段。6、曲线积分与路径无关定理

设开区域G是一个单连通域,函数P(x,y),Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导数,则曲线积分在G内与路径无关(或沿G内任意闭曲线的曲线积分为零)的充要条件是在G内恒成立.与路径无关的四个等价命题条件等价命题例计算曲线积分其中L沿y=x2-2x上从点(0,0)到点(4,8)的一段。例

计算

其中L为由点O(0,0)到点B(1,1)的曲线弧例

设曲线积分

与路径无关,其中具有连续的导数,且(0)=0,计算定理7、二元函数的全微分求积

设开区域G是一个单连通域,函数P(x,y),Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导数,则P(x,y)dx+Q(x,y)dy在G内为某一函数u(x,y)的全微分的充要条件是等式在G内恒成立.8、对面积的曲面积分的定义背景：曲面构件的质量性质：则按照曲面的不同情况分为以下三种：9、第一型曲面积分的计算1.

若曲面表示为:z=z(x,y)Dxy为曲面在XOY坐标平面上的投影.则2.

若曲面表示为:y=y(x,z)Dxz为曲面在XOZ坐标平面上的投影.则3.

若曲面表示为:x=x(y,z)Dyz为曲面在YOZ坐标平面上的投影.例计算曲面积分其中为平面在第一卦限内的部分。例计算曲面积分其中为上z1的部分。例计算其中为平面被柱面所截得的部分.流向曲面一侧的流量.10、第二型曲面积分的概念背景：流经有向曲面指定侧向的流量.性质:(1)(2)11、第二型曲面积分的计算方法（1）：z=z(x,y)在xoy面上的投影区域为Dxy上为“+”,下为“”前为“+”,后为“”（2）：x=x(y,z)在yoz面上的投影区域为Dyz“一投,二代,三定号”右为“+”,左为“”（3）：y=y(z,x)在zox面上的投影区域为Dzx例计算式中是下半球面的下侧.例计算式中为锥面在第一卦限部分的下侧。1.

若表示为:z=z(x,y)Dxy---在XOY坐标平面上的投影上侧取“+”，下侧取“”2.

若表示为:y=y(x,z)Dxz---在XOZ坐标平面上的投影右侧取“+”，左侧取“”3.

若表示为:x=x(y,z)Dyz---在YOZ坐标平面上的投影前侧取“+”，后侧取“”例计算式中是曲面在第一掛限中0z1部分的上侧面.12、高斯(Gauss)公式

设空间闭区域由分片光滑的闭曲面围成,函数P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,