基本初等函数综合例题（教师）

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可以成功可以失败但决不能放弃

课题教学目标一．

题型1：指数运算

??3?340.53（1）计算：[(3)(5)?(0.008)?(0.02)2?(0.32)2]?0.06250.25；

892211基本初等函数例题（2）化简：

a?8ab4b?23ab?a2143132323?(a?2323ba?3a2?)?。

53aa?a2184910003426254（1）原式=[()3?()2?()?50?]?()

27981010000471421172?[??25??]??(??2)?2?；932995210（2）原式=

a[(a)?(2b)](a)?a?(2b)?(2b)132131313213133133?a?2b(a?a)?111a(a2?a3)52313132312?a(a?2b)?12131313aa?2b1313?aa5616?a?a?a?a2。

13（1）已知x?x1212?12?3，求

12?x2?x?2?2x?x32?32的值

?3∵x?x??3，∴(x?x)?9，

?1122∴x?2?x?9，∴x?x?1?7，

2?2?12∴(x?x)?49，∴x?x?47，

又∵x?x32?32?(x?x)?(x?1?x?1)?3?(7?1)?18，

12?122?2∴x?x?2?47?2?3。

33?18?32x?x2?3题型2：对数运算计算

（1）(lg2)?lg2?lg50?lg25；（2）(log32?log92)?(log43?log83)；

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lg5?lg8000?(lg23)2（3）

11lg600?lg0.036?lg0.122（1）原式?(lg2)2?(1?lg5)lg2?lg52?(lg2?lg5?1)lg2?2lg5

?(1?1)lg2?2lg5?2(lg2?lg5)?2；（2）原式?(lg2lg2lg3lg3lg2lg2lg3lg3?)?(?)?(?)?(?)lg3lg9lg4lg8lg32lg32lg23lg23lg25lg35??；2lg36lg24?（3）分子=lg5(3?3lg2)?3(lg2)2?3lg5?3lg2(lg5?lg2)?3；

分母=(lg6?2)?lg3616??lg6?2?lg?4；1000101003?原式=。

4222设a、b、c为正数，且满足a?b?c

b?ca?c)?log2(1?)?1；abb?c2)?1，log8(a?b?c)?，求a、b、c的值。（2）若log4(1?a3a?b?ca?b?ca?b?ca?b?c?log2?log2(?)（1）左边?log2abab（1）求证：log2(1?(a?b)2?c2a2?2ab?b2?c22ab?c2?c2?log2?log2?log2?log22?1；

ababab（2）由log4(1?b?cb?c)?1得1??4，∴?3a?b?c?0?????①aa22由log8(a?b?c)?得a?b?c?83?4?????????②

3由①?②得b?a?2??????????????③

222由①得c?3a?b，代入a?b?c得2a(4a?3b)?0，

∵a?0，∴4a?3b?0????????????④由③、④解得a?6，b?8，从而c?10。

题型3：指数、对数方程

?2x?b(江西师大附中2023届高三数学上学期期中)已知定义域为R的函数f(x)?x?1是奇

2?a

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函数.

（1）求a,b的值；

（2）若对任意的t?R，不等式f(t2?2t)?f(2t2?k)?0恒成立，求k的取值范围.（1）由于f(x)是R上的奇函数，所以f(0)?0,即?1?b?0,解得b?12?a1??1x?2?1?2?1.又由f(1)??f(?1)知从而有f(x)?x?1，解得a?2??22?a4?a1?a?2x?111???x,（2）解法一：由（1）知f(x)?x?122?12?2由上式易知f(x)在R上为减函数，又因f(x)是奇函数，从而不等式

f(t2?2t)?f(2t2?k)?0等价于f(t2?2t)??f(2t2?k)?f(?2t2?k).因f(x)是R上的减函数，由上式推得t2?2t??2t2?k.

1即对一切t?R有3t2?2t?k?0,从而??4?12k?0,解得k??

3?2x?1,解法二：由（1）知f(x)?x?12?222?2t?2t?1?22t?k?1又由题设条件得2?2t2?k?1?0

t?2t?12?22?2即(22t2?k?1?2)(?2t2?2t?1)?(2t2?2t?1?2)(?22t2?k?1)?0

13整理得23t2?2t?k?1，因底数2>1，故3t2?2t?k?0

上式对一切t?R均成立，从而判别式??4?12k?0,解得k??.

（2023广东理7）设a?R，若函数y?e?3x，x?R有大于零的极值点，则（B）A．a??3

B．a??3

axaxC．a??

13D．a??

ax13f'(x)?3?ae，若函数在x?R上有大于零的极值点，即f'(x)?3?ae当有f'(x)?3?aeax?0有正根。

?0成立时,显然有a?0,此时x?13ln(?)，由x?0我们马上就能得到参aa数a的范围为a??3.

题型4：指数函数的概念与性质

x?1??2e,x＜2，则f(f(2))的值为（C）设f(x)??2log(x?1)，x?2.??3A．0B．1C．2D．3

0?1（C）f(2)?log3(22?1)?1，f(f(2))?2e?2。e?1f(logx)?x?x(a?0,且a?1)试求函数f(x)的单调区间。a已知

t令logax?t，则x=a，t∈R。

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?tx?x?f(t)?a?af(x)?a?a所以即，（x∈R）。

由于f(－x)=f(x)，所以f(x)为偶函数，故只需探讨f(x)在[0，+∞）上的单调性。任取x1，x2，且使0?x1?x2，则

f(x2)?f(x1)

?(ax2?a?x2)?(ax1?a?x1)

(ax1?ax2)(1?ax1?x2)?ax1?x2

xxx?x（1）当a>1时，由0?x1?x2，有0?a1?a2，a12?1，所以f(x2)?f(x1)?0，即f(x)在[0，+∞]上单调递增。

x?xxx（2）当0综合所述，[0，+∞]是f(x)的单调增区间，（－∞，0）是f(x)的单调区间。

题型5：指数函数的图像与应用

|1?x|?m的图象与x轴有公共点，则m的取值范围是（B）若函数y?()12A．m≤－1B．－1≤m都江堰戴氏精品堂西部名校冲刺第一品牌

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当a=2-2ln2时，方程有一个解；当a＜2-2ln2时，方程无解.

字上所述，a?(1,??)?(??,2?2ln2)时，方程无解；a?(3?2ln3,1]或a=2-2ln2时，方程有唯一解；a?(2?2ln2,3?2ln3]时，方程有两个不等的解.

当a>1时，函数y=logax和y=(1－a)x的图象只可能是()

yo1yxAo1yyo1xBxCo1xD

当a>1时，函数y=logax的图象只能在A和C中选，

又a>1时，y=(1－a)x为减函数。答案：B设A、B是函数y=log2x图象上两点,其横坐标分别为a和a+4,直线l:x=a+2与函数y=log2x图象交于点C,与直线AB交于点D。

（1）求点D的坐标；

（2）当△ABC的面积大于1时,求实数a的取值范围（1）易知D为线段AB的中点,因A(a,log2a),B(a+4,log2(a+4))，所以由中点公式得D(a+2,log2a(a?4))。

(a?2)2（2）S△ABC=S梯形AA′CC′+S梯形CC′B′B-S梯形AA′B′B=?=log2,

a(a?4)其中A′,B′,C′为A,B,C在x轴上的射影。