数字控制器的设计

数字控制器的设计第1页，共36页，2023年，2月20日，星期五计算机控制系统的核心（1）给定控制对象数字控制器实现各种不同要求的控制功能。如何设计数字控制器？（2）给定性能指标设计出满足控制性能的控制规律以及与此对应的计算机编程算法。7.2.1PID设计方法7.2数字控制器的PID设计方法第2页，共36页，2023年，2月20日，星期五

数字控制器的两类设计方法典型计算机控制系统结构框图

计算机控制系统是一个既有连续信号，又有离散信号的混合系统。第3页，共36页，2023年，2月20日，星期五（1）连续化设计法——间接设计法

思想：在一定的条件下，将计算机控制系统近似地看成是一个连续变化的模拟系统，用模拟系统的理论和方法进行分析和设计。把D/A、数字控制器、A/D看成一个整体，等效成连续域中的D(S)。方法：先设计连续域的控制器D(S)，然后把D(S)离散化，得到数字控制器D(Z)。特点：采样周期较小时适用，是一种近似设计法，工程上应用广泛。第4页，共36页，2023年，2月20日，星期五（2）离散化设计法——直接设计法

思想：把计算机控制系统经过适当的变换，变成纯粹的离散系统。把D/A、被控对象、A/D看成一个整体，等效成离散对象G(Z)，此时整个系统为离散系统。

方法：直接用Z传递函数设计数字控制器D(Z)。

特点：在设计中已考虑了采样周期的影响，是一种准确的设计方法。第5页，共36页，2023年，2月20日，星期五1.连续系统的控制规律PID控制，就是比例(Proportional)、积分(Integral)和微分(Differential)控制，它的结构简单，参数易于调整，是控制系统中经常采用的控制算法。

什么是PID控制？

为什么研究PID控制？PID控制算法是工业控制中最常用的控制算法，该算法对大多数控制对象均可达到满意的控制效果。第6页，共36页，2023年，2月20日，星期五

连续PID控制器

连续PID控制器的结构图：

连续PID控制器控制规律的频域表达式：第7页，共36页，2023年，2月20日，星期五

连续PID控制器控制规律的时域表达式：u(t)为控制器输出的控制量；e(t)为偏差信号，它等于给定量与输出量之差；KP为比例系数；TI为积分时间常数；TD为微分时间常数。第8页，共36页，2023年，2月20日，星期五

连续PID控制器中各环节的作用：能迅速反映误差，从而减小误差，但比例控制不能消除稳态误差，加大KP还会引起系统的不稳定。

比例控制:

积分控制:积分控制是偏差累积控制，控制作业缓慢，但是如果积分作用太强会使系统的超调量加大，甚至出现振荡。存在误差不断积累输出控制量以消除误差只要有足够的时间，积分作用将能完全消除误差。原理：作用：缺点：作用：减小超调量，克服振荡，使系统的稳定性提高，还能加快系统的动态响应速度，减小调整时间，从而改善系统的动态性能。

微分控制:原理：预测误差变化趋势。第9页，共36页，2023年，2月20日，星期五

连续PID控制器的实际应用：根据对象的特性、系统的性能要求对PID的三项进行组合，构成适合的规律。常用的控制规律有：比例（P）控制，比例积分控制（PI），比例微分控制（PD），比例积分微分控制（PID）连续控制器的离散化就是利用某种离散化方法，由D(s)求出相应的D(z),使D(z)的动态特性近似于D(s)的动态特性。2.离散化方法第10页，共36页，2023年，2月20日，星期五1）双线性变换法z变换的定义：利用级数展开：双线性变换法的变换公式为：第11页，共36页，2023年，2月20日，星期五

双线性变换法的几何意义是梯形法求积分积分控制率为：两边拉式变换，变形得：用梯形法求积分得：两边z变换得：数字控制器为：第12页，共36页，2023年，2月20日，星期五映射关系以代入第13页，共36页，2023年，2月20日，星期五分析映射关系取模值的平方S平面Z平面（s平面虚轴）（s左半平面）（s右半平面）第14页，共36页，2023年，2月20日，星期五对于双线性变换由此可以得出相角关系式：第15页，共36页，2023年，2月20日，星期五所以由此得出与的对应关系：第16页，共36页，2023年，2月20日，星期五③频率畸变假设双线性变换后z域的角频率为，根据所以离散化后的角频率为所以Z域中的与S域中的是非线性关系。如图5.8所示。第17页，共36页，2023年，2月20日，星期五由图可以看出（1）当从0变化到时，对应到Z域中从0到。（2）当采样频率较高时，即较大的时候，曲线较陡，从频域上分析，S域与Z域的频率在低频段近似保持线性关系，因而低频段离散后失真度较低。（3）当频率较高时，需要进行修正。（Z域）

图5.8突斯汀变换的频率关系S域第18页，共36页，2023年，2月20日，星期五例：设求得的模拟控制器为取采样周期T＝0.1s，用双线性变换法求对应的数字控制器D2(z)解：第19页，共36页，2023年，2月20日，星期五2）前向差分变换法设微分的控制规律为：对微分控制规律前向差分变换，可得：S域的传递函数为：第20页，共36页，2023年，2月20日，星期五比较S域和Z域的传递函数：可得由S域到Z域的变换公式为：第21页，共36页，2023年，2月20日，星期五根据前面分析可以知道映射关系：所以得出z=1+Ts=(1+T)+jT第22页，共36页，2023年，2月20日，星期五所以从上面的方程可以看出在S平面中是左半平面上的一个圆分析可以看出：只有当D(s)中的所有极点位于左半平面的以点（-1/T,0）为圆心，以1/T为半径的园内，离散化后D(z)的极点才位于Z平面的单位圆内。所以说，采用向前差分法离散化，D(s)稳定，D(z)不一定稳定。SZ1图5.7前向差分法的映射第23页，共36页，2023年，2月20日，星期五3）后向差分变换法设微分的控制规律为：对微分控制规律后向差分变换，可得：S域的传递函数为：第24页，共36页，2023年，2月20日，星期五由可得根据该式，可以得出s平面与z平面的映射关系：S平面Z平面Z第25页，共36页，2023年，2月20日，星期五比较S域和Z域的传递函数：可得由S域到Z域的变换公式为：第26页，共36页，2023年，2月20日，星期五

连续控制器换为数字控制器后对系统稳定性的影响双线性变换：稳定区域：令：第27页，共36页，2023年，2月20日，星期五3种离散化方法对采样周期的敏感性采样周期与离散化方法对离散化后的数字调节器D(z)的稳定性有很大影响。①前向差分变换法易使系统不稳定，不宜采用；②后向差分变换法会使D(z)的频率特性发生畸变，但提高采样频率可以减小畸变；③双线性变换法最好，对频率压缩现象可以通过提高采样频率方法改善；④所有离散化方法采样周期的选择必须满足的条件，否则系统达不到较好的性能指标。第28页，共36页，2023年，2月20日，星期五3.离散化控制器D(z)的一般形式控制量的输出为：对应的差分方程为：该方程即可通过计算机编程实现。第29页，共36页，2023年，2月20日，星期五4.校验将设计好的数字控制器带回数字系统中求性能指标，画仿真图，检验系统是否满足设计要求。若不满足需要反复修改检验。例5-15.已知某随动系统的传递函数为：要求系统的性能指标为：①斜坡输入r(t)=t时，稳态误差ess=0.1；②阶跃响应为二阶最佳响应。第30页，共36页，2023年，2月20日，星期五根据计算结果画出离散控制器系统的阶跃响应及斜坡响应仿真波形图，如(a)、(b)所示。经过多次仿真检验，当T＝0.02s时的阶跃响应符合要求，如图(c)、(d)所示。此时稳态误差仍为ess=0.1第31页，共36页，2023年，2月20日，星期五

为了把上式变换成差分方程，取采样很小，设1.位置型控制算法由于计算机控制系统是一种采样控制系统，它只能根据采样时刻的偏差值计算控制量，因此，必须将PID调节器离散化，用差分方程来代替连续系统的微分方程。

模拟PID控制规律：7.2.2PID算法的离散形式第32页，共36页，2023年，2月20日，星期五微分用后向差分近似得：积分用累加求和近似得：其中，T为采样周期；e(k)为系统第k次采样时刻的偏差值e(kT)；e(k-1)为系统第k-1次采样时刻的偏差值。将式(2)和式(3)代入式(1)，可得离散的PID表达式为：第33页，共36页，2023年，2月20日，星期五由于上式表示的控制算法提供了执行机构的位置u(k)，如阀门的开度，所以被称为位置型数字PID控制算法，其控制原理如下图所示。位置型数字PID控制示意图第34页，共36页，2023年，2月20日，星期五

所谓增量型PID，是对位置型PID取增量，这时数字控制器输出的是相邻两次采样时刻所计算的位置值之差，即：2.数字PID增量式控制算法

为了编程