留数定理及应用

留数及其应用摘要数定理得知，计算函数f(z)沿C的积分，可归结为计算围线C内各孤立奇点处的留数之和．而留数又是该奇点处的罗朗级数的负一次幂的系数，因此我们只关心该奇点处罗朗留数理论是复积分和复级数理论相结合的产物，利用留数定理可以把沿闭路的积分转化为计算孤立点处的留数．此外，在数学分析及实际问题中，往往一些被积函数的原函数不能用初等函数表示，有时即便可以，计算也非常复杂．我们利用留数定理可以把要求的积分转化为复变函数沿闭曲线的积分，从而把待求积分转化为留数计算．本文首先介绍留数定义及留数定理，然后针对具体不同的积分类型有不同的计算方法以及留数理论在定积分中的一些应用．关键词留数定理；留数计算；应用引言对留数理论的学习不仅是前面知识的延伸，更为对原函数不易直接求得的定积分和反常积分的求法提供了一个较为方便的方法．预备知识孤立奇点.设f(z)在点〃的把计算闭曲线上的积分值的问题转化为计算各个孤立奇点上的留数的问题，即计算在每一个孤立奇点处的罗朗展式中负幂一次项的系数C.-1在一般情况下，求罗朗展式也是比较麻烦的，因此，根据孤立奇点的不同类型，分别建立留数计算的一些简便方法是十分必要的.若z0为f(z)的可去奇点则f(z)在0<z-z01VR某去心邻域内解析，但在点a不解析，则称a为f的孤立奇点.例如sinz,ez以z=0为孤立奇点.z、五以z=0为奇点，但不是孤立奇点，是支点11 ^以z-0为奇点(又由sin=0,得z= (k=±1,±2...,)故z-0不是孤立奇.1 z k兀sin—z点).设a为f(z)的孤立奇点，则f(z)在a的某去心邻域内，有为f(z)在点a的主要部分，称f(z)=£^^^+£c(z—a)〃，称£n.^a)n为f(z)在点a的主要部分，称£C(z-a)n为f(z)在点a的正则部分，nn=0当主要部分为0时，称a为f(z)的可去奇点;c C c当主要部分为有限项时，设为二—m + (m-1)——+•••+-5(c丰0)(z—a)m(z—a)m-i z—a-m称a为f(z)的m级极点；当主要部分为无限项时，称a为本性奇点.留数的概念及留数定理留数的定义设函数f(z)以有限点a为孤立点，即f(z)在点a的某个去心邻域0<|z•a|<R内解析，则积分2^7Jf(zbz(T:|z.a|=p,0<p<R)为f(z)在点a的r留数，记为：Resf(z).z=a留数定理介绍留数定理之前，我们先来介绍复周线的柯西积分定理：TOC\o"1-5"\h\z设D是由复周线C=C+C-+C-+…C-所围成的有界连通区域，函数f(z)01 2 n在D内解析，在D=D+C上连续，则Jf(zbz=0.C定理1M(留数定理)设f(z)在周线或复周线C所范围的区域D内，除a,a，…,a外解析，在闭域D=D+C上除a,a，…,a外连续，则(“大范围”12 n 12 n\o"CurrentDocument"积分)Jf(z)dz=2兀i£Resf(z). (1)z=aC k=1k证明以a为心，充分小的正数p为半径画圆周r:z•a=p(k=1,2,…,n)k k k k使这些圆周及内部均含于D，并且彼此相互隔离，应用复周线的柯西定理得Jf(z)dz=£nJf(z)dz，C k=1rk由留数的定义，有Jf(z)dz=2兀iResf(z).z=ak特别地，由定义得Jf(z》z=2兀iRes,z=airk k代入(1)式得Jf(zbz=2兀i£Resf(z).k=1Z=ak定理2设a为f(z)的n阶极点，f(z ，(z-a)n其中p(z)在点a解析，①(a)w0,则()0n-1)(a)Resf(z)=Gy-z=a这里符号中(。)(a)代表p(a)，且有①(n-1)(a)=lim5(n-1)(z).zfa推论3设a为f(z)的一阶极点，5(z)=(z-a)f(z),Resf(z)=5(a).z=a推论4设a为f(z)的二阶极点，w(z)=(z-a)2f(z),Resf(z)=6(a).z=a留数的引理,R充分大)上连续，且2引理1设f(z)沿圆弧S:z二Re®(,R充分大)上连续，且2limzf(z”九于S上一致成立(即与0<0<0中的0无关)，则R-+8 R 1 2limJf(z)dz=i(0-0)九.Rf+8SR引理2(若尔当引理)设函数g(z)沿半圆周r:z=Rei®(0<0<兀，R充分R大)上连续，且limg(z)=0在r上一致成立，则RlimJg(z)eimzdz=0(m>0).rf+8rR

引理3 (1)设a为f(z)的n阶零点，则a必为函数f^zz)的一阶极点，并且ReszResz=a\f(z)]

fU⑵设b为f(z)的m阶极点，则b必为函数将的一阶极点，并且留数的计算函数在极点的留数法则1：如果z0为f(z)的简单极点，则Res[f(z),z]=lim(z一z)f(z)00z一zzz0法则2：设f(z)=P9，其中P(z),Q(z)在z处解析，如果P(z)牛0,z为Q(z)Q(z) 0 0的一阶零点，则z0为f(z)的一阶极点，且ResRes[f(z),z0]=P(z)

07(^)法则3：如果z0为f(z)的m阶极点，则1 dm-1Res[f(z),z]= —lim-——[(z-z)mf(z)].0 (m-1)!z-zdzm-i 0z-z02.函数在无穷远点的留数定理1如果f(z)在扩充复平面上只有有限个孤立奇点(包括无穷远点在内)为z,z,…z,8，则f(z)在各点的留数总和为零.12 n关于在无穷远点的留数计算，我们有以下的规则.

11法则4： Re5[f^z),^]二—Re5[f()•一,0].zz2例1求函数f(z)=/二在奇点处的留数.1+Z2解f(z)有两个一阶极点z=±，，于是根据(6.5)得Res(Res(f,i)=P(i) ei2 iQr(i) 2i 2eRe取f,-i)=QO=S二餐2求函数f(z)=cosz在奇点处的留数.z3f(z)有一个三阶极点z=0，故由(6.7)得1 cosz 1 1Res(f,0)=lim(z3•一z)〃=lim(-cosz)=——2z-oz3 2z-o 2四.留数定理在定积分中的应用利用留数计算定积分活反常积分没有普遍的实用通法，我们只考虑几种特殊类型的积分．.形如于f(cosx,sinx疝型的积分0这里f(cosx,sinx)表示cosx,sinx的有理函数，并且在［0,2兀］上连续，把握此类积分要注意，第一：积分上下限之差为2兀,这样当作定积分时x从0经历变到2兀，对应的复变函数积分正好沿闭曲线绕行一周.第二：被积函数是以正弦和余弦函数为自变量。当满足这两个特点之后，我们可设z=eix,则dz=izdx,. eix—e-ixz2—1 eix+e-ixz2+1TOC\o"1-5"\h\zsinx= = ,cosx= = 得i 2iz 2 2z千( .M /z2-1z2-11dzJf(cosx,sinx)dx=Jf , -Iz=112z2izIiz0=2兀i£Resf(z).k=1z=zk

例1计算I=于上？5+3cos00解令z="，则TOC\o"1-5"\h\z「干 d0 , 2、入5+3cos0 Izl=i2(3z2+；0z+3y0.2f/L 、di』=i(3z+j(z+3)"二2.2兀iRest 1r—=艺i_i(3z+1)(z+3) 2z一3例2计算I#例2计算I#dx+v'3cosx解I二手(—竺一02+<3cosx_4 zdz=—Q) -： ，3iUtz2+2z+1

J3由于分母有两个根z「-*,z2=-73，其中|4一一因此匕I= •2兀iRes=4兀*3i z=zzzi.形如小f(x迎x型的积分一0把握此类积分要注意，首先分析其函数特点，函数必须满足一下两条才能适

用。第一：f(z)=层，其中P(z)，Q(z)均为关于z的多项式，且分母Q(z)的次数至少比分子P(z)的次数高两次；第二：f(z)在半平面上的极点为z(kk=1,2,3,…，n),在实轴上的极点为x(k=1,2,3,…，n)则有k于fGbx=2兀ik-k=1z=zk例3计算I=+T—2一dx.x4+x2+1-8解取f(z)=一三一= z4+z2+1 z2-z+1孤立点为1Wi孤立点为1Wi,z2 22-东,其中落在上半平面的为ziI=2兀i£Resf(z)=k=1z=，k "3例4计算I=x例4计算I=x2+a2-8^^-dx(a>0).解由于limz.)2=0，且上半平面只有一个极点a「因此x2+a2-8=2兀i-Resz=aiz2z2(z+ai)z=ai2a.形如fP&eimxdx型的积分QU)-81)留数公式定理2[1](若尔当引理)设函数g(z)沿半径圆周r:z=Re，e(0we〈兀)R上连续，且limg(z)=0在r上一致成立，则limjg(z)eimzdz=0(m>上连续，证明Ve>0,3R(证明Ve>0,3R(E)>0，使当R>R0 0rf+8rR时，有|g(z)|<E,zerR于是jg(z)eimzdz=jg(Re)，mRe曲Rei0d0<Reje-mRsin0d0(2)这里利用了gGei这里利用了gGei0)<8，阿ei0i=R以及eimRei0=e-mRsin0+imRcos0=e-mRsin0于是由若尔当不等式”<sin0<0

—一—(0<0<于是由若尔当不等式”<sin0<0

—一—(0<0<―)将(2)化为

2jg(z)eimzdz<2Rer

Rje-mRsin0d0=2Re]0=—2mR 2e--0I2mRI(1-e-mR)<—EmL—」0=0即limjg(z)eimzdz=0.rf+8rR2)举例例5计算I=+T—xeix一dx.x2-2x+10-8解不难验证，函数f(z)=一匕一满足若尔当引理条件.z2-2z+10这里m=1，g(z)=z2-2z+10函数有两个一阶极点z=1+3i及z=1-3i，ResfResf(z)=z=1+3izeiz2-2z+10)(1+3i)e-3+i6iz=1+z=1+3i于是丁+8 xe沃 ,I=J dxX2-2x+10-8(1+3i)e-3+i=2—i 6i4.—=—e-334.—=—e-33(cos1-3sin1)+i—e-3(3cos1+sin1).形如于cosmxdx和joIX)3P(X) …八sinmxdx型积分QU)-8-8定理3Ei］设g(z)=%，其中尸G)和Q(Q是互质多项式，并且符合条件:Q(x)(1)Q(x)的次数比尸(x)的次数高;(2)在实轴上Q(x)w0；则有fg则有fg(x)eimxdx=2兀iZima

kResg(z)emz=ak(3)特别地，将(3)式分开实虚部，就可用得到形如+”(x) 乖P(x).j—尸rcosmxdx及 sinmxdx的枳分.QU) QU)-8 -8例6计算/=Tf一帘一斗x.\x2+1)(C2+9/-8解利用f—i )-0(z-8)以及若尔当引理，且分母在上半圆只有Q2+1八2+9)两个孤立奇点z=i和z=3i,得到—q+1%+9)-8eiz eiz=Re2兀iRes， 弗 A+Res， 弗 A.=iVz2+1八2+9)z=3i12+1八2+9)=Re2兀=Re2兀i(z2+1)(z2+9)+Q+1)C+9)z=3iJA, 「、=Re2兀ie-1 =Re2兀i、16i+-48i,=-Q2-1).24e3例7计算I=+8x血mdx(m>0,a>0).x4+a40解被积函数为偶函数，所以T+8xsinmx, 1mxsinmx, 1.+fxemI=J dx=-J dx=-tmJ dx,-8x4+a4 2 x4+a4 2x4+a4-8-8

设函数关系式为f(z)=工二，它共有四个一阶极点，即z4+a4兀*2k兀, 、a=ae4i(k=0,1,2,3)k7ce zzezeimz / 、得Resf