人教版八年级数学下册第十七章-勾股定理专题测试试题（含答案解析）

人教版八年级数学下册第十七章-勾股定理专题测试

考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的

答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、已知一个直角三角形两直角边边长分别为6和8,则斜边边长为（）

A.1()B.2百C.15D.1()或26

2、如图，有一个长、宽、高分别为多、%、%的长方体，现一只蚂蚁沿长方体表面从/点爬到6点,

那么最短的路径是（）

3、下列四组线段中，不可以构成直角三角形的是（）

A.3,4,5B.2,3,4C.S，3,4D.7,24,25

4、如图，长方体的底面边长分别为1cm和3cm,高为6cm.如果用一根细线从点4开始经过4个侧面

缠绕一圈到达点B,那么所用细线最短需要（）

3cm

A.8cmB.10cmC.12cmD.15cm

5、在平面直角坐标系中，已知点1（—2,5）,点8（1,1）,则线段4?的长度为（)

A.2B.3C.4D.5

6、如图，/△?!加中，ZBAC=90°,分别以△/8C的三边为边作正方形反正方形6。子,正方形

ACHI,AI交CF于点、J.三个正方形没有重叠的部分为阴影部分，设四边形以泞的面积为S”四边形

加7的面积为Sz,若Si-Sz=12,S△值=4,则正方形式7&的面积为（）

A.16B.18C.20D.22

7、如图是由4个全等的直角三角形与1个小正方形拼成的正方形图案.已知大正方形面积为25,小正

方形面积为1,若用a、力表示直角三角形的两直角边（a>6）,则下列说法：①且2+〃=25,②a一尻1,

③a左12,④行乐7.正确的是（）

A.①②B.①②③C.①②④D.①②③④

8、要在数轴上作出表示丽的点，可以构造两条直角边长分别为（）的直角三角形.

A.1,3B.5,5C.2,3D.1,9

9、如图，在△/比'中，已知BC=4,若〃"是边5c的两个“黄金分割”点，则的

面积为（）

A

BDEC

A.10-45/5B.3A/5-5C.D.20-86

10、我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中.汉代数

学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅''弦图"，后人称之为“赵爽弦图”.现在勾股定理的证明

已经有400多种方法，下面的两个图形就是验证勾股定理的两种方法，在验证著名的勾股定理过程，

这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”.在验证过程中它体现的

数学思想是（）

C.分类思想D.统计思想

第n卷（非选择题70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、如图所示，△?!阿中，NACB=90°,AB=13,BC=12,是NQ16的平分线，若只0分别是和

力。上的动点，则然=,3&的最小值是_______.

2、如图，四边形A8OC中，AC=BC,ZACB=90°,ADJ.3D于点£>.若BD=1,CD=4近，则线段A3

的长为____________

3、如图，已知圆柱的底面圆周长为16腐，高/6=6cm,小虫在圆柱表面爬行，从。点爬到对面的力

点，然后再沿另一面爬回C点，则小虫爬行的最短路程是cm.

A

BC

4、△?1比的三条边长。、b、c满足c=8,7^4+|。-6|=0,贝必/比—直角三角形（填“是”或

“不是”）

5、把由5个小正方形组成的十字形纸板（如图）剪开，使剪成的若干块能够拼成一个大正方形.最少

只需要剪刀.

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、如图，在中，ZC=90°.

（1）用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法：在边比'上求作一点〃，使得点〃到4?的距离等于力的

长；

（2）在（1）的条件下，若〃<=6,48=10,求切的长.

2、已知中，A（=BC,ZACB=90°,夕为4?边的中点，且腔斯，NDFE=90°,D是BC上一

个动点.如图1,当〃与C重合时，易证：5+DE=2D户;

（1）当〃不与G6重合时，如图2,CD、DB、加有怎样的数量关系，请直接写出你的猜想，不需证

明.

（2）当〃在比的延长线上时，如图3,CD、DB、如有怎样的数量关系，请写出你的猜想，并加以证

明.

3、已知a,b,c是的三边长，如果(c-5>+|，—12|+，/一26a+169=0,试判断的形状.

4、(1)如图1,在RtzMBC和RtA4庞中，AB=AC,AD=AE,且点〃在况边上滑(点〃不与点8,C

重合)，连接比：

①则线段式；DC,比'之间满足的等量关系式为；

②求证：曲+)=24吠

(2)如图2,在四边形16(力中，ZABC=ZACB=ZADC=45°.若BD=13,CD=5,求/我

5、生态兴则文明兴，生态衰则文明衰.“十三五”以来，青岛市坚持生态优先、绿色发展理念，持续

改善生态环境.如图现有施工遗留的一处空地，计划改造成绿地公园，已知N/=90°,AB=AD=342

米，比'=10米，如=8米，已知每平方米的改造费用为200元，请问改造该区域需要花费多少元？

c

----------参考答案------------

一、单选题

1、A

【分析】

己知两直角边边长分别为6和8,利用勾股定理求斜边即可.

【详解】

解：•••一个直角三角形两直角边边长分别为6和8,斜边边长=亚行=10,

...斜边边长为10.

故选A.

【点睛】

本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，当已知条件中明确直角边或斜边，直接应用勾股定

理，如果条件不明确时那条边是斜边，要注意讨论.

2、A

【分析】

将图形分三种情况展开，利用勾股定理求出两种情况下斜边的长进行比较，其值最小者即为正确答

案..

【详解】

解：如图(1),AB==痴(血;

如图(2),AB=]成+(/+为2=^20=275(®)；

如图(3),AB=也+(2+)=3位(血,

'：3/2<2y[5<426,

工最短的路径是3y[2m.

故选：A.

【点^青】

本题主要考查了勾股定理的应用，两点之间线段最短，解题的关键在于能够把长方体展开，利用勾股

定理求解.

3、B

【分析】

由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可.

【详解】

解：A.32+42=9+16=25=52,能构成直角三角形，故不符合题意;

B.22+32=4+9=13*42,不能构成直角三角形，故符合题意；

C.（V7）2+32=7+9=16=4、能构成直角三角形，故不符合题意;

D.72+242=49+576=625=25、能构成直角三角形，故不符合题意.

故选B.

【点睛】

本题考查勾股定理的逆定理，解题关键在于利用勾股定理进行计.

4、B

【分析】

立体图形展开后，利用勾股定理求解.

【详解】

解：将长方体沿着AB边侧面展开，并连接A",如下图所示：

Bi.............——----------r—^Br

由题意及图可知：AA=1+3+1+3=8c/n»AB=6cm>

两点之间，线段最短，故A3,的长即是细线最短的长度，

RMAA8中，由勾股定理可知：AB-^AA2+AB2=#7?=\Qcm-

故所用细线最短需要10。〃.

故选：B.

【点睛】

本题主要是考查了勾股定理求最短路径、两点之间线段最短以及立体图形的侧面展开图，因此，正确

得到立体图形的侧面展开图，熟练运用勾股定理求边长，是解决此类问题的关键.

5、D

【分析】

根据题意画出点A8的位置，然后根据勾股定理计算即可.

【详解】

过点8作X轴的平行线BC,过点A作y轴的平行线AC,

AC和BC交于点C,

fiC=1-(-2)=3,AC=5-1=4,

AB=^AC2+BC2=5>

故选：D.

【点睛】

本题考查了平面直角坐标系中两点的距离，勾股定理，根据题意构建直角三角形，运用勾股定理解题

是关键.

6、C

【分析】

设.BC=a,AC=b,AB=c,由正方形面积和三角形面积得S正方形闲厂S正方形,防=16,即#-斤=16,再由

勾股定理得才-杼=°2,则c?=16,求出c=4,然后求出6=2,则才=4+°2=20,即可求解.

【详解】

解：设比—a,AC=b,AB=c,

*.*S=S正方彩BCK-S&ABC-S&MJ,S=S正方形"»/-SA«7，

S-Si=S正方彩BCFG-S^ABC~S&ACJ-S正方形0。〃+5\"：7=S正方形&W：-4-S正方形〃<"/=12,

•t•S正方形BCK-S正方形AOH-16,

即a2-b~=16,

•.•欣△力8c中，/为。=90°,

a'-b~=c,

C>2=16,

；.c=4（负值已舍去），

S、\BC=ybc=2b=4,

b=2,

.,.@2=4+/=16+22=20,

正方形6CFG的面积为20,

故选：C.

【点睛】

本题考查了勾股定理，设参数表示三角形的边长，根据已知条件求得#-杼=16是解题的关键.

7、D

【分析】

由大的正方形的边长为C，结合勾股定理可判断①，由小的正方形的边长为。-瓦结合小正方形的面积可

判断②，再利用〃2_2而+下=1,结合/+从=25,可判断③，再由/+2而+〃=25+24,可判断④，从而可

得答案.

【详解】

解：由题意得：大正方形的边长为c，

222

a+h=c=25,故①符合题意；

用a、6表示直角三角形的两直角边(a>6),则小正方形的边长为：a-b,

：.(a-h)2=l,则。-匕=1(负值不合题意舍去)故②符合题意；

•：(a-h)2=1,

a2-2ab+b2=1,而/+/=25,

/.25-lab=1,

：.ab=\2,故③符合题意;

a2+b2=25,

a2+2ab+b2=25+24,

，(a+b)2=49,

：.a+h=l(负值不合题意舍去)故④符合题意；

故选D

【点睛】

本题考查的是以勾股定理为背景的几何面积问题，同时考查了完全平方公式的应用，熟练的应用完全

平方公式的变形求值是解本题的关键.

8、A

【分析】

根据勾股定理可直接进行排除选项.

【详解】

解：由勾股定理可得：

A、斜边长为彳后=痴，故符合题意；

B、斜边长为斤两=50，故不符合题意；

C、斜边长为历卒=屈，故不符合题意；

D、斜边长为炉仔=屈，故不符合题意；

故选A.

【点睛】

本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键.

9、A

【分析】

过点力作力吐回于点尸，由题意易得3/=6=2,再根据点。，E是边BC的两个黄金分割点，可得

BE=CD=^^-BC=2y/5-2,根据勾股定理可得4尸=逐，进而可得DE=2OE=4际-8,然后根据三

2

角形的面积计算公式进行求解.

【详解】

解：过点A作AFL8C于点、F,如图所示:

A

，在RtXAFB中，AF=^AB2-BF2=逐，

•..点£>,E是边BC的两个黄金分割点，

/.BE=CD=J^-BC=245-2,

2

•；EF=BE-BF=2必4,DF=CD-CF=2亚-4,

：.D^EF,

：.DE=2DF=4y/5-S,

：.5AADf=1D£MF=1（4^-8）X^=10-45/5；

故选：A

【点睛】

本题主要考查二次根式的运算、勾股定理及等腰三角形的性质与判定，熟练掌握二次根式的运算、勾

股定理及等腰三角形的性质与判定是解题的关键.

10、B

【分析】

利用各类数学思想的概念及相关应用，进行判断分析即可.

【详解】

解：两个图都验证了勾股定理即：/+从=/的成立，故属于数形结合思想.

故选：B.

【点睛】

本题主要是考查了数形结合思想在勾股定理的证明中的应用，明确数形结合思想的含义及其与勾股定

理的证明的关系，是解决本题的关键，另外，数形结合思想还可用于函数与方程、不等式当中，后面

学习一定要注意该思想的应用.

二、填空题

15竺

13

【分析】

(1)根据勾股定理即可求出/。的长度；

(2)过点C作。匕47交居于点M,交物于点P,过点P作PQL/C于点Q,由皿是/胡C的平分

线.得出&七刊/,这时©掰有最小值，即。/的长度，运用勾股定理求出/a再运用加欣=4/心。壮

\AC'BC,得出CV的值，即A%B的最小值.

【详解】

解：在以△46。中，/ACB=9C°,AB=13,BC=12,

AC=yjAB2-BC2=V132-122=5;

如图，过点C作总工4?交火6于点必交AD于点、P,过点户作“^力。于点0,

c

4〃是/胡C的平分线.

：.PQ=PM,这时上内有最小值，即。/的长度,

\'AO5,盼12,ZACB=9Q°,

S.„=-AB-CM=-AC.BC,

ZAA/IDCr22'

故答案为：5；弓.

【点睛】

本题考查勾股定理、轴对称中的最短路线问题，找出点只0的位置是解题关键.

2^阮

【分析】

过点。作血8〃，交劭的延长线于£,证明从a〃、6四点共圆，求出NDC打/CD打45°,得到

CE=DI^\,利用勾股定理求出比；即可得到答案.

【详解】

解：过点C作血物，交劭的延长线于£,

VAC^BC,ZACB=90。，

AZABOZCAB=45a,

：AD±BD,

：./ADB=ZACB=90。,

.•.从aD、8四点共圆,

/.ZAD(=ZAB<=45°,

：.ZCD^45°,

，N戊比/夕辰45°,

CE=DE,

"：CO=40,

：.CE=D^\,

•：BD=1,

.•.除5,

BC=ylBE2+CE2=>/52+42=741，

AB=y/2BC=底,

故答案为：y/S2.

【点睛】

此题考查了四点共圆的证明，勾股定理，等腰直角三角形的判定及性质，能正确证得儿aa8四点

共圆，求出N8庐炉45°是解题的关键.

3、20

【分析】

要求最短路径，首先要把圆柱的侧面展开，利用两点之间线段最短，然后利用勾股定理即可求解.

【详解】

解：把圆柱侧面展开，展开图如右图所示，点4。的最短距离为线段4C的长.

在位中，N=90°,CD=AB=6cm,为底面半圆弧长，AD=8c/n,

所以AC=VCD2+AD2=10cm,

.•.从C点爬到1点，然后再沿另一面爬回C点，则小虫爬行的最短路程为247=20防，

故答案为：20.

【点睛】

本题考查了平面展开塌短路径问题，解题的关键是会将圆柱的侧面展开，并利用勾股定理解答.

4、不是

【分析】

根据二次根式有意义的条件以及绝对值的非负性，得出〃，匕的值，运用勾股定理逆定理验证即可.

【详解】

解：V^4+|&-6|=0,

6/-4=0,b—6=0,

二.。=4,〃=6,

则4?+6?=52^82,

・•・a"2+b1~2wc-7，

...△/%不是直角三角形，

故答案为：不是.

【点睛】

本题考查了二次根式有意义的条件，绝对值的非负性，勾股定理逆定理等知识点，根据题意得出“力的

值是解本题的关键.

5、2

【分析】

利用使剪成的若干块能够拼成一个大正方形，结合图形得出即可.

【详解】

解：如图所示：由5个小正方形组成的十字形纸板（如图1）剪开，使剪成的若干块能够拼成一个大正

方形，正方形的边长为：炉了=石.最少只需剪2刀.

故答案为：2.

【点睛】

此题主要考查了图形的剪拼，勾股定理及无理数的计算，结合利用勾股定理得到四边形四条边相等是

解题关键.

三、解答题

1、（1）图见详解；（2）3.

【分析】

（1）根据题意作/为。的平分线交比于〃根据角平分线的性质得到点〃满足条件；

（2）根据题意作/T/8于凡先根据勾股定理计算出除8,再根据角平分线性质得到叱/；通过证

明服△出四/?大△/!皮得至1」力后力小6,则用=4,设。x,贝九盼8-x,在右△颇中，利用勾股定理得

到V+4红（8-x）2,解方程求出即可.

【详解】

(2)作〃反1/5于区如上图，

在放△46C中，56=7102-62=8.

•・•/〃为角平分线，

J.DODE,

在放△?!切和/或中

\AD=AD

\DC=DE'

：.Rt/\ACD^Rt/\AED(HL),

：.AE=A(=^,

除月於4斤10-6=4

设CAx,则D序x,贝ijBD=8-x,

在心△则中，/+42=(8-x)之，解得尸3,

CF3.

【点睛】

本题考查作图-复杂作图以及全等三角形判定和角平分线定理、勾股定理，注意掌握复杂作图是在五种

基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法.解决此类题目的关键是

熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作.

2、(1)5+D扣2D户；(2)C/DR=2D户,证明见解析

【分析】

(1)由已知得。宫=2。尸，连接CEBE,证明=尸得◎龙，再证明ABZ汨为直角三角形，

由勾股定理可得结论；

(2)连接CEBE,证明ACDF^ABEF彳寻C庐BE,再证明ABZ犯为直角三角形，由勾股定理可得结论.

【详解】

解：(1)CG+Dm=2DF

证明：*：D2EF,/力石=90°,

DF2+EF2=DE2

DE2=2DF2

连接6F,BE,如图

•••△/比是等腰直角三角形，尸为斜边46的中点

/.CF=BF,CF1AB,EPZCFB=90°

/.NFCB=4FBC=45°,ZCFD+4DFB=90°

又NDFB+NEFB=90°

：.ZCFD=ZEFB

在△CTO和ABFE中

CF=BF

-NCFD=NBFE

DF=EF

：.\CFD=NBFE

，CD=BE,ZEBF=ZFCB=45°

NDBF+ZEBF=450+45°=90°

:.DB-+BE2=DE2

'：CD=BE,DE2=2DF2

：.C)+DE=2Df；

(2)5+加=2刎

证明：连接CF、BE

,：(MF,DQEF

又；N/q部N*9=90。

：.ADFO£EFB

:.XDFgXEFB

：.CD=BE,/DC用4EB六135°

■:/EBD=NEBF-/FBD=\35°-45°=90°

在以△颂中，B队DE;院

'：DE=2D户

：,而+DE=2D户

【点^青】

本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、证明三角形全等是解决问题的关键，

学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题.

3、直角三角形，理由见解析

【分析】

根据非负数的性质求得a、b、c的值，利用勾股定理的逆定理即可判断三角形/比'的形状.

【详解】

解：是直角三角形.理由：

,•*(C-5)2+\b-\2\+>/«2-260+169=0,

(c-5)2+|b-12|+J(a-13)2=0,

c-5=0,b-n=0,a-13=0,

c-5,b-12,a=13,

5?+12?=169=132,

c2+b2=a1,

：.AA8C是以a为斜边的直角三角形；

【点睛】

本题考查了配方法的应用及非负数的性质和勾股定理的逆定理，解题的关键是利用非负数的性质确定

三个未知数的值.

4、(1)&BC=DC+EC；②见解析；(2)72

【分析】

(1)①证明△阮屋反得出劭=①，可得BODC+BD=DC+EC；②根据全等三角形的性质可得

/AC&/B,得到/〃上90°,根据勾股定理计算即可；

(2)作力£14〃使力后49,连接应，DE,证明△必四△。七得到劭=庐9,根据勾股定理计算即

可.

【详解】

(1)①解：BC=DC+EC,理由如下：

,：ZBAC=ZD