大三下试验设计第一章

1试验数据的误差分析2008.82Contents真值与平均值1误差的基本概念2误差的来源及分类3试验数据的精确度43误差的统计检验5有效数字和试验结果的表示641.1真值与平均值1.1.1真值在某一时刻和某一状态下，某量的客观值或实际值。已知或者未知。

1.1.2平均值综合反映试验值在一定条件下的一般水平，真值的近似1.算术平均值：51.1真值与平均值1.1.2平均值2.加权平均值：如果用不同的方法获得，或者由不同人员得到，则这组数据中不同值的精度或可靠性不一致。为了突出可靠性高的数值，则采用加权平均值。61.1.2平均值权的选择方法：

a.当试验次数很多时，可以将权理解为试验值xi在很大的测量总数中出现的频率为ni/nb.如果试验值是在同样的试验条件下获得的，但来源于不同的组。加权平均值计算式中xi代表各组的平均值，而wi代表每组的试验次数。（例1-1）

c.根据权与绝对误差的平方成反比来确定权数。（例1-2）71.1.2平均值3.对数平均值如果试验数据的分布曲线具有对数特性，则宜使用对数平均值。两数的对数平均值总小于或等于它们的算术平均值如果1/2≤x1/x2≤2时，可用算术平均值代替对数平均值，而且误差不大（≤

4.4%）81.1.2平均值4.几何平均值91.1.2平均值5.调和平均值调和平均值是试验值倒数的算术平均值的倒数常用在涉及到与一些量的倒数有关的场合。101.2误差的基本概念1.2.1绝对误差试验值与真值之差真值的范围可取最小刻度值作为最大绝对误差，而取其最小刻度的一半作为绝对误差的计算值111.2误差的基本概念1.2.2相对误差试验值与真值之比绝对误差与试验值或平均值之比作为相对误差试解释为什么不宜用量程较大的仪表来测量数值较小的物理量？121.2误差的基本概念1.2.3算术平均误差试验值与算术平均值之间的偏差为di，则可以反映一组试验数据的误差大小，但是无法表达出各试验值间的彼此符合程度。131.2误差的基本概念1.2.4标准误差标准差分为总体标准差和样本标准差141.3试验数据误差的来源及分类1.3.1误差的来源试验材料试验仪器设备试验环境条件试验操作151.3试验数据误差的来源及分类1.3.2误差的分类随机误差（服从统计规律，决定试验结果的精密度，通过增加试验次数减小）系统误差（在一定试验条件下由某个或某些因素按照某一确定的规律起作用而形成的误差，决定试验结果的准确度，客观上的恒定值）过失误差（没有一定的规律）161.4试验数据的精确度精密度反映了随机误差大小的程度，是指在一定的试验条件下，多次试验值的彼此符合程度；方差差异正确度反映系统误差的大小，是指大量测试结果的平均值与真值或接受参照值之间的一致程度（图1-1）；平均值差异准确度反映了系统误差和随机误差的综合，表示了试验结果与真值的一致程度（图1-2）171.5试验数据误差的统计检验1.5.1随机误差的估计极差（一组试验值中最大值与最小值的差值）标准差（若随机误差服从正态分布，则可以用标准差来反映随机误差的大小，大小反映试验数据的分散程度）方差（标准差的平方）181.5.1.1卡方检验1假设检验的一般步骤根据实际问题提出原假设H0与备择假设H1，即说明需要检验假设的具体内容；选择适当的统计量，并在原假设H0成立的条件下确定该统计量的分布；对于给定的显著性水平α，根据统计量的分布查表，确定统计量对应于α的临界值；根据样本观测值计算统计量的观测值，并与临界值比较，从而对拒绝或接受原假设H0作出判断。192卡方分布n为自由度，可以理解为独立随机变量的个数20211.5.1.1卡方检验3显著性水平临界概率，一般取0.05或0.01表示的是检验是否显著的概率水平标准双侧检验单侧检验（左侧检验，右侧检验）221.5.1.1卡方检验4卡方检验适用于一个总体方差的检验，即在试验数据的总体方差已知的情况下，对试验数据的随机误差或精密度进行检验。双侧检验：原假设H0：σ2=σ02，备择假设H1：σ2≠σ02右侧检验：原假设H0：σ2≤σ02，备择假设H1：σ2＞σ02左侧检验：原假设H0：σ2≥σ02，备择假设H1：σ2＜σ0223右侧检验24双侧检验251.5.1.1卡方检验有一组试验数据x1,x2,…,xn服从正态分布N(μ,σ2)，则统计量服从自由度为df=n-1的X2分布，对于给定的显著性水平α，将所计算出的X2与临界值进行比较，就可判断两方差之间有无显著差异。261.5.1.1卡方检验双侧检验X2(1-α/2)(df)<X2(df)<X2(α/2)(df)，说明接受原假设；否则，拒绝原假设右侧检验（显著增大）X2(df)<X2(α)(df)，说明接受原假设；否则，拒绝原假设左侧检验（显著减小）X2(df)>X2(1-α)(df)，说明接受原假设；否则，拒绝原假设271.5.1.1卡方检验例题1-5例题1-6281.5.1.2F检验适用于两组具有正态分布的试验数据之间的精密度的比较设两组数据x1(1),x2(1),…,xn1(1)和x1(2),x2(2),…,xn2(2)，两组数据分别服从正态分布N（μ1,σ12），N（μ2,σ22），样本方差分别为s12,s22,则29双侧检验：原假设H0：σ12=σ22，备择假设H1：σ2≠σ02右侧检验：原假设H0：σ12≤σ22，备择假设H1：σ12＞σ22左侧检验：原假设H0：σ12≥σ22，备择假设H1：σ12＜σ2230对于给定的显著性水平α，进行检验双侧检验F(1-α/2)(df1,df2)<F(df1,df2)<Fα/2(df1,df2),说明接受原假设；否则，拒绝原假设右侧检验F<Fα(df1,df2)，说明接受原假设；否则，拒绝原假设左侧检验F>F(1-α)(df1,df2)，说明接受原假设；否则，拒绝原假设31例1-7321.5试验数据误差的统计检验1.5.2系统误差的检验1.5.2.1t检验（1）平均值与给定值比较如果有一组试验数据服从正态分布，要检验这组数据的算术平均值是否与给定值有显著差异，则33双侧检验：原假设H0：μ=μ0，备择假设H1：μ≠μ0右侧检验：原假设H0：μ≤μ0，备择假设H1：μ＞μ0左侧检验：原假设H0：μ≥μ0，备择假设H1：μ＜μ034检验统计量对于给定的显著性水平α，将所计算的t值与临界值比较35双侧检验若，则接受原假设；否则拒绝原假设36右侧检验t>0，t<tα,接受原假设；否则，拒绝原假设左侧检验t<0，t>-tα,接受原假设；否则，拒绝原假设例1-8371.5试验数据误差的统计检验1.5.2系统误差的检验1.5.2.1t检验（2）两个平均值比较设两组数据x1(1),x2(1),…,xn1(1)和x1(2),x2(2),…,xn2(2)，两组数据分别服从正态分布N（μ1,σ12），N（μ2,σ22），样本方差分别为s12,s22,则根据两组数据的方差是否存在差异，分以下两种情况分析：38原假设与备择假设：双侧检验：原假设H0：μ1=μ2，备择假设H1：μ1≠μ2右侧检验：原假设H0：μ1≤μ2，备择假设H1：μ1＞μ2左侧检验：原假设H0：μ1≥μ2，备择假设H1：μ1＜μ239①如果两组数据的方差无显著差异时，则T∽t(n1+n2-2)40②如果两组数据的精密度或方差有显著差异时，则统计量41双侧检验若，则接受原假设；否则拒绝原假设右侧检验t>0，t<tα,接受原假设；否则，拒绝原假设左侧检验t<0，t>-tα,接受原假设；否则，拒绝原假设例1-9421.5试验数据误差的统计检验1.5.2系统误差的检验1.5.2.1t检验（3）成对数据的比较在这种检验中，试验数据是成对出现的，除了被比较的因素之外，其他条件是相同。设两组数据x1(1),x2(1),…,xn(1)和x1(2),x2(2),…,xn(2)，两组数据分别服从正态分布N（μ1,σ12），N（μ2,σ22），样本方差分别为s12,s22，则43成对数据的比较，是将成对数据之差的总体平均值，与给定值之间相比较，采用的统计量：d为成对测定值之差，如d1=x1(1)-x1(2)原假设：44sd是对试验值之差值的样本标准差，即T∽t(n-1)对于给定的显著性水平，若，则接受原假设；否则拒绝原假设例1-10451.5试验数据误差的统计检验1.5.2系统误差的检验秩和检验（必须有一组数据无系统误差）步骤：首先按从小到大排序；再者求得两组数据秩的和；其次计算两组的试验次数；最后对于给定的显著性水平，利用秩和临界值表，得出上下限。（R1>T2或R1<T1时，有系统误差；T1<R1<T2时，无系统误差）例1-11注意：1.利用无系统误差的数据秩和来检验另外一组，因此，只需求出无系统误差组的数据秩和；2.数据相等时，秩等于相应几个秩的算术平均值461.5试验数据误差的估计及检验1.5.3异常值的检验1.5.3.1拉依达准则步骤：首先计算平均值及标准偏差s；再者计算可疑数据和算术平均值的偏差的绝对值和3s（或2s）；最后比较偏差绝对值与3s的关系。（不易舍去或应舍去）例1-12注意：1.选择3s（0.01）或2s（0.05）与显著性水平α有关；2.适用于试验次数较多或要求不高时。471.5试验数据误差的统计检验1.5.3异常值的检验1.5.3.2格拉布斯准则步骤：首先计算平均值及标准偏差s；再者计算可疑数据和算术平均值的偏差的绝对值和通过查附录2得出G(1-α,n)；最后比较偏差绝对值与G(1-α,n)

s的关系。(GB/T

4883-2008)（不易舍去或应舍去）例1-13注意：检验内侧数据时，所计算的平均值和标准偏差不应包括外侧数据。48491.5试验数据误差的统计检验1.5.3异常值的检验1.5.3.3狄克逊准则当使用狄克逊检验法时，若样本量3≤n≤30，其使用的计算公式（书表1-3）；若样本量30≤n≤100，其统计量计算公式如同样本量14-30统计量计算，检验方法一致（来源于GB/T

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数据的统计处理和解释

正态样本离群值的判断和处理）501.5试验数据误差的统计检验1.5.3异常值的检验1.5.3.3狄克逊准则样本量3≤n≤30（单侧情形，双侧情形）1.单侧情形步骤：首先将数据按从小到大排序；再者使用表1-3中所列的公式计算D或D`，并查得临界值D1-α(n)(附录6)；最后比较D与D1-α(n)的关系。（检验高端值时，当，xn

应舍去;检验低端值时，当，x1应舍去）511.5试验数据误差的统计检验5253541.5试验数据误差的统计检验1.5.3异常值的检验1.5.3.3狄克逊准则样本量3≤n≤30（单侧情形，双侧情形）2.双侧情形步骤：首先将数据按从小到大排序；再者使用表1-3中所列的公式计算D或D`，并查得临界值(附录6)；最后比较D与的关系。（检验高端值时，当，xn

应舍去;检验低端值时，当