概率论与数理统计课件

概率论与数理统计课件第1页，共33页，2023年，2月20日，星期五1.2随机事件的概率在一次随机实验中，某个事件可能发生也可能不发生，但这个事件发生的可能性的大小却是客观存在的，本节我们将讨论随机事件的数量规律性一、概率的统计意义重复试验:每次试验的条件完全相同的随机试验定义1设A是随机试验的一个随机事件,在n次重复试验中,事件A发生的次数称为事件A在n次重复试验中发生的频数,记为,称比值为事件A在n次重复试验中发生的频率显然第2页，共33页，2023年，2月20日，星期五例1.将一枚均匀硬币投掷n次,设事件A表示“出现正面”,历史上不少人作过试验,部分结果如表:随着试验次数的增加,频率越来越靠近0.5,是否有理由相信,投掷均匀硬币出现正面的可能性就是0.5?第3页，共33页，2023年，2月20日，星期五例2.名著《静静的顿河》的作者是谁?Kryukov?肖洛霍夫?数据表明,在Kryukov和肖洛霍夫两人之间更象是肖洛霍夫所写,肖洛霍夫就是由于《静静的顿河》的获得1965年诺贝尔文学奖Kjetsaa的研究Kjetsaa的研究第4页，共33页，2023年，2月20日，星期五二、古典概型（古典定义）在一个袋中装有n个小球(质地一样、标有1至n号）从中随机抽取一个小球每个小球被取到的可能性相同等可能性:每个样本点出现的可能性都相等样本空间有限性:样本空间中样本点总数有限特点满足样本空间有限性和等可能性的随机试验

古典型随机试验第5页，共33页，2023年，2月20日，星期五定义2.设古典型随机试验E的样本空间为对任意事件A,若,则定义事件A发生的概率为:这就是古典概型的定义,法国数学家Laplace于1812年提出A所含的样本点数也称为有利场合数第6页，共33页，2023年，2月20日，星期五三、概率计算实例(一)例1.一部四本的文集按任意次序放到书架上去，问各册自右向左或自左向右恰成1,2,3,4的顺序的概率是多少?解:四本的文集按任意次序放到书架上,相当于四个元素的全排列共有n=4!种方法样本点总数n=4!=24满足要求的摆放顺序有“1,2,3,4”或“4,3,2,1”＝AA的有利样本点数r=2每种方法等可能出现,即符合古典概型第7页，共33页，2023年，2月20日，星期五样本点总数n=4!=24A的有利样本点数r=2各册自右向左或自左向右恰成1,2,3,4的顺序的概率为第8页，共33页，2023年，2月20日，星期五例2.某城市有N部轿车，车牌号从1到N,有一个外地人到该城市去，把遇到的n部轿车的牌号抄下（可能重复抄到某些车牌号),问抄到的最大号码恰好为k的概率.解:假设该城市的所有轿车等可能地出现在该城市的任意地方(这是合理的,因为外地人到该城市也是随机的),每部轿车被遇到的可能性可以认为相同符合古典概型的要求外地人抄车牌号相当于从N个元素中有放回地抽取n个元素第9页，共33页，2023年，2月20日，星期五有利场合要求抄到的最大车牌号恰好为k相当于抄到的车牌号必须不超过k,且必须至少抄到一次“k”有利样本点数=车牌号不大于k的取法总数—车牌号不大于(k-1)的取法总数因此,抄到的最大号码恰好为k的概率为第10页，共33页，2023年，2月20日，星期五1.某指定的n个格子中各有一个球的概率;2.任何n个格子中各有一个球的概率.解:第11页，共33页，2023年，2月20日，星期五在第一个问题中，有利场合相当于n个球在那指定的n个格子中的全排列,总数为n!所以在第二个问题中，由于n个格子可以任意对于每种选定的n个格子,有n!种方式,即可以从N个格子中任意选出n个来,共有种故有利样本点数为所以第12页，共33页，2023年，2月20日，星期五思考:概率论历史上有一个颇为有名的问题:求参加某次集会的n个人中没有两个人的生日相同的概率第13页，共33页，2023年，2月20日，星期五解法1:且每种排列机会相同:古典概型例4.(抽签原理)袋中有

只白球和只黑球，它们除颜色不同外其他方面没有差别，现在将球随机地一只只摸出来，求第k次摸出的一只球为白球的概率.其中第14页，共33页，2023年，2月20日，星期五注:该结果与k无关,即无论哪次摸得白球的概率都是一样的,与先摸后摸无关,这正是我国传统的抽签第15页，共33页，2023年，2月20日，星期五解法2:且每种方法机会相同:古典概型因此第16页，共33页，2023年，2月20日，星期五两种不同的解法有相同的结果，两种解法的区别在于：选取的样本空间不同第一种方法把球看作“有个性”的，要顾及各白球和各黑球间的顺序因而采用排列的方法而第二种方法则同色球不加区别,不需要注意顺序而采用组合的方法不管采用什么样的样本空间,必须注意以下两点:(1)同一样本空间中样本点发生的可能性必须相等;(2)在计算样本点总数和事件的有利场合数时必须在同一个样本空间中进行第17页，共33页，2023年，2月20日，星期五解法3：解法4：只考虑前k个球的情形,用排列的方法:只考虑第k次取球的情形第18页，共33页，2023年，2月20日，星期五如果某批产品有a件次品和b件正品,我们采用有放回和不放回抽样方式从中抽n件产品，问正好有k件是次品的概率各是多少?例5.解:将a+b个产品进行编号，有放回抽取n次有放回抽样场合将可能的重复排列全体作为样本点，样本点总数为其中有利场合数为(即次品正好为k个)第19页，共33页，2023年，2月20日，星期五故所求概率为展开式的一般项满足有放回抽样模型的概率称为二项分布第20页，共33页，2023年，2月20日，星期五不放回抽样场合从a+b个产品产品中抽取n个产品的可能组合为样本点样本点总数为其中有利场合数为(即次品正好为k个)故所求概率为这个概率称为超几何分布第21页，共33页，2023年，2月20日，星期五四、概率的公理化定义和性质

定义3.设是一个样本空间，是的事件域，定义在上的一个单值集合函数P(A)，如满足如下条件：1.非负性2.规范性(正规性)3.完全可加性第22页，共33页，2023年，2月20日，星期五这就是概率的概率的公理化,由于其定义用到较多的现代数学理论和方法,我们只作上面的简单介绍第23页，共33页，2023年，2月20日，星期五由概率的公理化定义可以推出概率的如下性质:(1)不可能事件的概率为零证:由完全可加性第24页，共33页，2023年，2月20日，星期五(2)有限可加性:对任意个两两互不相容的事件证:两两互斥由完全可加性第25页，共33页，2023年，2月20日，星期五(3)互逆事件的概率证:由有限可加性所以推论1:第26页，共33页，2023年，2月20日，星期五(4)证:由有限可加性所以推论2:第27页，共33页，2023年，2月20日，星期五(5)加法公式:证:由有限可加性所以,由性质(4)包含事件的概率推论3:第28页，共33页，2023年，2月20日，星期五(6)广义加法公式:(加奇减偶）第29页，共33页，2023年，2月20日，星期五五、概率计算实例(二)例6.一袋中装有9只黑球和1只白球,每次从袋中随机地摸出一球,并换入1只黑球,求第k次摸出黑球的概率.解:在第k次前若摸出白球,则要换入黑球,则第k次一定摸出黑球前k-1次必须每次摸出黑球,第k次摸白球所以课本：P26例题9，10第30页，共33页，2023年，2月20日，星期五例7.已知在100件产品中有95件正品和5件次品,购买者从中任取一半检查，如果发现次品不多于一个,则认为这批产品合格，求这批产品被购买者