油气井水力学讲义3非牛顿流体圆管及环空流动规律

113、非牛顿流体圆管及环空流淌规律非牛顿流体圆管流淌的争论方法根本方程非牛顿流体圆管流淌所遵循的根本方程与牛顿流体类似，但略有不同。一样点：连续性方程：VA1 1

VA2 2伯努利方程：

p

p V2z

1

z 2 2h1 2g

2 2g

w12流态划分的原则：层流、过渡流、紊流；雷诺数Re判别流态不同点流变方程不同；雷诺数的表达式不同，且不同的非牛顿流体，具有不同的雷诺数表达式。塑性流体的平衡特点特性，与牛顿流体相比具有不同的规律。如图9-〔教材p25三者达极限平衡状态。〔pp1 2

)d24

GsindL式中，-极限静切应力〔近似等于 〕0Gd2

〔pp

)d dL 1

2 si4L 4或 4 pp1212sind L塑性流体的流淌特点当作用的外力略大于极限切应力在管壁上造成的阻力时，开头流淌。假设取水平管路，有如下力的平衡关系：(pp)R 消灭塞流〔参见图9-，教材p25。 1 20 2L随〔p1

p 〕rR处的液层2

，依次开头流淌，塞流范围缩小，消灭速度梯度，称为速度梯度区。还存在的塞流区称为流核。(p1(p1

p )连续增大，流核消逝，变为层流。2p )连续增大，层流进展成紊流。2由塞流直到形成紊流的整个区域称为构造流〔参见图9-8，教材p253〕流态的划分仍由雷诺数判别，但不同的塑性液体Re的表达式不同。宾汉液体在园管内的流淌速度分布如图9-9。宾汉液体在肯定压差p作用下作稳定流淌。r的液柱，受力平衡： pr2Lpr流核外表： 0

0 〔r2L

流核半径〕L2 Lr 00 p说明：流核半径与压差成反比，压差越大，流核半径越小。9-9所示的坐标系中。宾汉液体流变方程：0

(du)dr 0

dudrurdudr

为负值。pr2L

du0 pdr du0p

dr p2Lp

rdr积分 udur0drr p rdr0 R R2Lp pu0

(rR)

p4Lp

(r2R2) p4Lp

(R2r2)0(Rr)pr=r0时，可以得出流核的速度u p

(R2r

2)0(Rr)0 4Lp

0 0p流量计算式流量可以分成两局部来考虑，设流核流量为Q

，速梯区流量为Q

，总流量为QQ Q0 1p

ur20 0

0 1Ru(rdr)0r0 p

(R2

r2) 0(Rr

)]R[ (R2r2) 0(Rr)rdr0 4Lp

0 p

r 4L 0 p pp p R4 r4

R3 0r38Lp

8L 0 3p

3 0ppr将 0代入上式，得0 2L

pR4 4r 1r4Q 0 0 )8Lp

3R 3R4上式表达了构造流状态下，宾汉液体的流量Q与压降p之间的关系。1 rR当流核较小时，R>>r0,3(0)4可以无视，可得：RpR4 4r假设取塞流时压差为p ,则有0

Q8Lp

0)3RpR pr p r 00 2L

，又0

0 得： 002L p R Q

R48Lp

(p4p)3 0断面平均流速和水力坡降园管内的平均流速 Q R V (p p)8L 3 0p8LV 4

32L

V 42Lp p p p 0 R2 3 0 D2 3 R

(压力降)32L

V 16L p 0D2 3 Dp 32

V 16 i p 0 〔水力坡降〕L 2 3D判别宾汉流体流态的综合雷诺数参照过去介绍过的达西公式：h iLf

LV2D2g可得出判别宾汉液体流淌状态的雷诺数：32VLh iL pf

16L 03D64 p

LV2 640

LV2DVD2g 6V2

D2g LV264( p 0 )DV 6V2

D2g64(p

0 ) 2

64VDDV 6 V

p 6Vp与牛顿流体圆管层流计算公式比较可得宾汉液体构造流的雷诺数应为：R VD 〔称为综合雷诺数〕eBH (1D)0p 6Vp试验证明，上式是可以被承受的，并得出雷诺数的临界值为：R =2023e临Re≤2023Re>4000时，为紊流。 64ReBH幂律液体在圆管内的流淌沿程水头损失的计算设圆管的半径为R，现取一段液柱来争论，液柱的长度为l，离管轴r处的up。由管流的推动力与阻力的平衡关系知道：pr22rlpr2l又幂律液体的流变方程为K(

dun代入上式中dr分别变量得： du(

pr du K( )n 2l drp )1 12Kl

nrndr(积分得： dup(2Kl

1 1)nrndru(

p 1

n n1)rn c当r=R时，u=O,得：

2Kl n1c(

p 1

n n1)Rn2Kl n1得圆管内幂律液体层流时的速度分布规律为：u n

p 1(

n1Rn

n1rn)n12Kl由管流过水断面上的流量Q与微小流量dQ之间的关系得：QRdQRurdro o将速度分布式代入，并进展积分，得圆管内幂律液体层流时的流量为：n p 1 n1

n1Q2( )( )nR(Rn

n)rdrn1 2Kl o(

n )(

1 3n1nn) Rnn3n1 2Kl依据平均流速V与流量Q的关系，得圆管内幂律液体层流的平均流速为：V QR2 n (

p 1 n1nn) Rnn由上式得

3n12Klp 1( )n

3n1 V2Kl n

n1Rn p

28Vn3n1n 2Kl DD 4n 于是，当圆管内幂律液体作层流运动时，水头损失所相应的压降为：4Kl8Vn3n1np D D 4n 判别幂律液体流淌状态的雷诺数计算水头损失的达西公式:

p

LV2gD2g LV2

g

4KL8Vn3n1n —沿程阻力系数；整理后得:

D2g D D 4n 6481nDnV2n3n1nK 4n 将上式与圆管内牛顿液体层流的64Re

律液体流淌时的雷诺数可以表示为:81nDnV2nRe 3n1K( )n4n宾汉液体在环空内的流淌规律沿程水头损失的计算速度分布式：争论构造流状态下宾汉液体在水平环空内的稳定流淌。RR，流核的厚度为。如下图，在速梯区1 2中，取一段长度为L的环形液流来争论，其内径为1(RRr、外径为2 1 21(RRr。依据压力与切力的平衡关系，可列出:2 1 21

2 1 2p 2(RR)r 2(RR)r 1

1

21(R

R)r1(R

R)rL2 1

2 1

1p (R

R)r1(R

R)r2L2 1

2 1

化简后得： 2pr2L所以 prL对于宾汉液体来说，其流变方程为将其代入上式，得

0

dudr

〔rdu/dr取负值〕prL

dudr分别变量，得： pdu0dr rdr L积分得：udur 0drr prdro 1(RR) 1(RR)L2 1 2 2 1 2p 1 2

1 u

(RR)

r20

(R

R)r2L2

1 2

2

2 上式说明宾汉液体构造流时环空速梯区内的速度分布规律。当r

1时，代入上式，可以得出流核的速度2p 1

2 1

1 1 V (RR) ( )20

(RR) 0 2L2 1 2

2

2 1 2 2 流量计算式：整个流体的流量可以分为两局部来考虑，即流核局部的流量Q0和流核以外的速梯区局部的流量Q，则总的流量为1其中Q

R)V

QQ Q0 10 2 1 20p(RR)

(RR) 1 2 8L

(RR1

)22

1 2

(RR1

)在环空过水断面的速梯区内，取两个薄环：一个薄环的半径为1(RRr，厚度为dr；另一个薄环的半径为1(RRr，厚度为dr，则2 1 2 2 1 2通过两个薄环的微小流量为dQ 21(R1 2 所以

R)rdru2

212

R)rdru2(RR)dru2 1 2Q dQ11(RR)2 12

22(R1

R)dru21(RR)

p 1 2

1(RR)

1 21 2(RR)dr

(RR)

r22

22(RR)dr

(R

R)r1 1 2

2L2 1 2

12

1 2

2

2 1(RR)p(RR

)1 2

1(RR)2(RR)1 21 2 1 2

(RR)

r2dr21

0 1 2 (RR)rdr1 2

1 2

12

2 1 2 p(R

R)

2

1 (R

2 1 2 (RR)

(RR) 1 2 0 (RR)12L 1 2

1 2 2 4 1 2p(RQ 1

R)(R2

R)32

1

(R 0

R)(R2

R)22

2 1 12L令

(RR)3 1 2

(RR1

)2RR1 2p(R

R)(R

R)3

(R

R)(R

R)2则 Q

1 212L

2 (13) 0 14

2 (12)11平均流速计算式：11Q p(R

R)2

(R

R)V 1 2 (13)0 1 2 (12)(R21

R2)2

12L 4压力损失计算式：由流核上压力与切力的平衡关系，知代入平均速度式，得

p0 2Lp(R

R)2 P(R

R)21V 12112L

(13)

8L

2 (12)1p(RR1

3)2)2 3 2)2 3 1p(DD1

3)2)2 3 48L 2)2 3 当流核很小时，很小，上式可化简为：p(DD

2)2 321V1因此，相应于构造流状态下沿程压降为

48L

)248LVp

将的定义式和0

(D1p式代入上式得：2L

D)2 2248LV 3 2Lp 0 P(DD1 2

)2 2(R1

R)P2 p

48LV

6L 0 (DD1 2

)2 (D1

D)2当取 0时，上式将复原为牛顿液体层流状态时的压降计算公式048LVp(DD)21 2再者，还可以表示为水头损失形式：48LVh

6L 0

〔h p〕f (DD)2 (DD) f 1 2 1 2 或h

96 L V2

1 V2f (D

D)V (D

D)2g (D

D)2g2 (DD) 1 2 1 221212

8V 式中 96(DD)V 1 2 (DD)12012

8V 判别环空中宾汉液体流态的雷诺数将上面导出的式与层流状态下牛顿液体在环空内的沿程阻力系数进展比照：21 96 9621(DD)V Rg e不难看出，对与宾汉液体在环空内流淌时，其雷诺数可以表示为(DD)VR 1 2 e (DD)12012

8V 试验说明，临介雷诺数为2023。即R2023者为紊流，R2023者为层流。e e幂律液体在环空内的流淌沿程水头损失的计算速度分布式：1 1L、内径为(RR2)r、外径为(RR)r的环形液2 1流进展分析。

2 1 2依据压力与切力的平衡关系，得prLdu对于幂律液体来说，其流变方程为duK( )ndr将其代入前式，得 K( )nL dr分别变量，得积分，得

du(

p 1 1)nrndrKLudu

(p

1 1)nrndro 1(RR

) KL2 1 2n p 1 1

n1

n1u ( )n

(RR

)n

rnn1 KL

2

2上式说明幂律液体层流时在环空内的速度分布规律。流量计算式：在环空过水断面上，取两个薄环：一个薄环的半径为

(RRr、厚度2 1 2dr1(RR)r、厚度为dr。通过两个薄环的微小流2 1 2量为dQu21(R

R)

u21(R

R) u2(R1

2R2

1 )dr

rdr

2

2 rdr将速度式代入上式，得dQ n2 (2 (

)(p

1RR

1) (R1

n1R) n

rn1dr)n(n1 KL 1

22

2n因此，环空内幂律液体层流时的总流量为QdQ

n1 n p

1(RR

)1 n

n1

)( )n(RR)2

2

(RR) rndrn1 KL 1 2

1 2 n1n p 11 n1212(R2R2)(2n1)(KL)n2(RR)1212平均流速计算式：依据平均流速V与流量Q的关系，利用上式，可以求得环空内幂律液体层流的平均流速为V Q(R2R2)1 2 压力损失计算式：

n (p2n1

)11(Rn2

R)2

n1n由上式可得

n(p)12n1 VnKL n

1 n1 (RR)n2 1 2p 4 2n1Vn( )n1( )nKL DD n1 2于是，当环空内幂律液体作层流运动时，沿程水头损失所相应的压降为p(

2n1

4KL 4V)n( )( )nn DD1 2

DD1 2 p(

4KL )( )nDD1 2

n(D1

D)2另外，取计算环空内牛顿液体沿程阻力的达西公式p

L V2g(DD1 2

)2g与幂律液体沿程压降进展比较，得L V2 2n1 4KL 4V g( )n( )( )n(DD1 2

)2g n DD1 2

DD1 2则 96 1 2 (D 1 2

)nV2n2n112n1K( )n3n判别环空中幂律液体流态的雷诺数将上面导出的式与环空内牛顿液体层流状态下的沿程阻力系数进展比较96Re明显可以看出，环空内幂律液体流淌时的雷诺数可以表示为(DDR 1 2

)nV2n2023。

2n112n1K( )n3n液体在管内和环空内的紊流流淌牛顿液体紊流流态下压耗的计算牛顿液体在管内流淌时，设其平均流速为V，压力损耗为P，流过管路后的h，则h pf 式中，为液体的重度，将此水头损耗以速度水头表示，则得h V2f 2g PV22g称为管路的阻力系