油气渗流的数学模型

油气渗流的数学模型第1页，共39页，2023年，2月20日，星期日第2章油气渗流的数学模型第一节油气渗流数学模型概述第二节渗流基本微分方程的建立第三节数学模型的定解条件第2页，共39页，2023年，2月20日，星期日一个完整的渗流数学模型应包括两部分：渗流综合微分方程的建立以及边界条件和初始条件的提出。第一节油气渗流数学模型概述

油气渗流数学模型定义用数学语言综合表达油气渗流过程中全部力学现象和物理化学现象的内在联系和运动规律的方程式（或方程组）。第3页，共39页，2023年，2月20日，星期日第一节油气渗流数学模型概述

渗流综合微分方程构成渗流过程是流体运动的过程，必然受运动方程支配；渗流过程又是流体和岩石的状态不断改变的过程，所以需要建立流体和岩石的状态方程；质量守恒定律是自然界的一般规律，因此渗流综合微分方程的建立必须以连续性方程为基础；在渗流过程中，有时伴随发生一些物理化学现象，如能量传递，此时还应建立描述这种特殊现象的特征方程。第4页，共39页，2023年，2月20日，星期日构成（一）运动方程（二）状态方程（三）质量守恒方程（连续性方程）（四）能量、动量守恒方程（五）附加特性方程基本组成部分

渗流综合微分方程构成第一节油气渗流数学模型概述第5页，共39页，2023年，2月20日，星期日第一节油气渗流数学模型概述

渗流力学数学模型要解决的问题压力P的分布速度v（流量q）的分布流体饱和度S的分布两相分界面移动规律第6页，共39页，2023年，2月20日，星期日一、运动方程二、状态方程三、连续性方程四、渗流综合微分方程建立五、极坐标下的渗流基本微分方程第二节渗流基本微分方程的建立第7页，共39页，2023年，2月20日，星期日单相微可压缩液体；液体渗流符合线性渗流规律；地层岩石均质微可压缩；地层中为等温渗流过程。假设条件第二节渗流基本微分方程的建立第8页，共39页，2023年，2月20日，星期日一、运动方程线性渗流的渗流速度：将其推广到三维空间：或表示为：其微分形式为第二节渗流基本微分方程的建立第9页，共39页，2023年，2月20日，星期日二、状态方程

状态方程：描述液体、气体、岩石的状态参数随压力变化规律的数学方程。1、液体的状态方程（密度的变化规律）质量取全微分第二节渗流基本微分方程的建立第10页，共39页，2023年，2月20日，星期日分离变量积分

变化较小，看成常数麦克劳林级数展开，取前两项第二节渗流基本微分方程的建立气体的状态方程：第11页，共39页，2023年，2月20日，星期日2、岩石的状态方程（孔隙度的变化规律）分离变量，积分第二节渗流基本微分方程的建立第12页，共39页，2023年，2月20日，星期日三、连续性方程（质量守恒方程）

在渗流力学中，质量守恒定律可描述为：在地层中任取一微小单元体，在微元体内若没有源和汇存在，那么包含在微元体封闭表面内的液体质量变化应等于同一时间间隔内液体流入质量与流出质量之差，用质量守恒定律建立起来的方程称为连续性方程（或质量守恒方程）。

微分法：无穷小微元体分析法。●积分法：矢量场方法。第二节渗流基本微分方程的建立第13页，共39页，2023年，2月20日，星期日单元体中心M点质量流速☆微分法建立连续性方程分速度第二节渗流基本微分方程的建立第14页，共39页，2023年，2月20日，星期日1、dt时间内流入流出单元体的流体质量之差dt时间内，经面流入单元体的质量流量为：dt时间内，经面流出单元体的质量流量为：dt时间内，沿x轴方向流入流出单元体的流体质量流量差为：

沿x轴方向：流入－流出第二节渗流基本微分方程的建立第15页，共39页，2023年，2月20日，星期日

沿y轴方向：

沿z轴方向：同理：

沿x轴方向：dt时间内流入流出单元体的流体质量之差为：第二节渗流基本微分方程的建立第16页，共39页，2023年，2月20日，星期日2、dt时间内微元体封闭表面内的液体质量变化?

在岩石和流体弹性能的作用下，释放或储存一部分质量的结果。岩石→孔隙度的变化液体→液体密度的变化

单元体内的孔隙体积为：

单元体内的流体质量为：单元体内流体质量变化率为：dt时间内单元体内流体质量总变化为：第二节渗流基本微分方程的建立第17页，共39页，2023年，2月20日，星期日3、由质量守恒定律建立连续性方程dt内流入流出单元体质量差dt内单元体内质量变化质量守恒可改写为：※单相均质可压缩流体在弹性孔隙介质中的连续性方程。第二节渗流基本微分方程的建立第18页，共39页，2023年，2月20日，星期日第二节渗流基本微分方程的建立三、连续性方程（质量守恒方程）●积分法：矢量场方法。t时刻dv内的流体质量为：t时刻整个内的流体质量为：dt时间内在变化的质量为：t时刻起单位时间内沿法线方向流入dS截面的流体总量：dt时间内,流入S截面的流体质量：根据质量守恒定律：（高斯定理）第19页，共39页，2023年，2月20日，星期日无源场有源场（正、负）※

不可压缩液体在刚性介质中渗流的连续性方程为：

的物理含义：质量流速为的点，单位体积在单位时间内向包围曲面外流出（流入）的流体质量，反映该点源（点汇）的强度。第二节渗流基本微分方程的建立第20页，共39页，2023年，2月20日，星期日将运动方程、状态方程代入连续性方程。四、渗流综合微分方程建立第二节渗流基本微分方程的建立第21页，共39页，2023年，2月20日，星期日●方程左端：第二节渗流基本微分方程的建立第一项第22页，共39页，2023年，2月20日，星期日同理：则方程左端为：第二节渗流基本微分方程的建立第二项第三项第23页，共39页，2023年，2月20日，星期日●●方程右端：代入

称为综合压缩系数，表示单位体积岩石在降低单位压力时，由于孔隙收缩和液体膨胀所排挤出来的液体体积。第二节渗流基本微分方程的建立第24页，共39页，2023年，2月20日，星期日●●●

方程左端等于方程右端：或

称为导压系数，物理意义为单位时间内压力传播的地层面积，表明地层压力波传导的速度。

单相弹性液体在弹性多孔介质中不稳定渗流数学模型。是一个二阶抛物线方程，又称热传导方程/付立叶方程。第二节渗流基本微分方程的建立第25页，共39页，2023年，2月20日，星期日付立叶方程适用条件

单相液体；线性运动规律；液体和多孔介质微可压缩；不稳定渗流；渗流过程是等温的。第二节渗流基本微分方程的建立第26页，共39页，2023年，2月20日，星期日单相刚性流体在刚性介质中稳定渗流数学模型。是一个二阶椭圆型微分方程，又称拉普拉斯方程。第二节渗流基本微分方程的建立不考虑流体及岩石弹性，则：第27页，共39页，2023年，2月20日，星期日

单相均质液体；线性运动规律；不考虑多孔介质和液体的压缩性；稳定渗流；渗流过程是等温的。第二节渗流基本微分方程的建立拉普拉斯方程适用条件第28页，共39页，2023年，2月20日，星期日单向流平面径向流球面径向流稳定渗流不稳定渗流五、极坐标下的渗流基本微分方程第二节渗流基本微分方程的建立第29页，共39页，2023年，2月20日，星期日同理：或▲平面径向流的坐标变换第二节渗流基本微分方程的建立第30页，共39页，2023年，2月20日，星期日▲平面径向流的坐标变换第二节渗流基本微分方程的建立第31页，共39页，2023年，2月20日，星期日第二节渗流基本微分方程的建立第32页，共39页，2023年，2月20日，星期日同理得：或第二节渗流基本微分方程的建立第33页，共39页，2023年，2月20日，星期日▲球面向心流的坐标变换第二节渗流基本微分方程的建立第34页，共39页，2023年，2月20日，星期日坐标变换同理：第二节渗流基本微分方程的建立第35页，共39页，2023年，2月20日，星期日边界条件：运动要素随空间位置变化规律的数学表达式，一般知道在边界上的情况。

初始条件

边界条件初始条件：运动要素随时间变化规律的数学表达式，一般知道起始时刻的分布。运动要素第三节数学模型的定解条件第36页，共39页，2023年，2月20日，星期日第二类:已知流量（或压力导数）的边界条件（Neuman

）。

井点定产：边界封闭：第一类:已知压力（或势函数）的边界条件。

内边界定压：

外边界定压：

渗流力学中主要有两类边界条件：第三节数学模型的定解条件第37页，共39页，2023年，2月20日，星期日

例2-1圆形均质