复习汇总线代代课件ch1行列式

线性代数地点：理学院201电话：62338357邮件：.cn班级邮箱：密码：jst2011LinearAlgebra为什么要学习线性代数理工类、经管类数学课程的重要内容;解决各种专业问题的重要工具;培养分析能力，锻炼理性思维;提高综合素质，享受数学之美;在考研中的比重一般占到22%左右.线性代数的应用广泛：

线性代数的理论与方法已渗透到自然科学、工程技术和经济领域，1973诺贝尔经济学奖工作（列昂惕夫）是将线性代数应用于经济系统的研究。具体应用如：（1）极值问题，控制理论；（2）线性差分方程组或线性微分方程组与多变量线性关系的时间离散系统或时间连续系统；（3）Google搜索引擎；（4）足球循环比赛的名次确定；（5）交通流量的预测；（6）编码、图象压缩等技术。例：人口迁徙模型设在一个大城市中的总人口是固定的。人口的分布则因居民在市区和郊区之间迁徙而变化。每年有6%的市区居民搬到郊区去住，而有2%的郊区居民搬到市区。假如开始时有30%的居民住在市区，70%的居民住在郊区，问十年后市区和郊区的居民人口比例是多少？30年、50年后又如何？

在英文中有一种对消息进行保密的措施，即把英文中的字母用数字替换，然后传送这个数组。如“SENDMONEY”这个消息转换成数组[5,8,10,21,7,2,10,8,3]，其中8和10各出现了两次。但当字符比较多的时候，很容易根据数字出现的频率来破译。比如说，一般数字出现频率最高的代表字母E。编码理论中矩阵的应用我们考虑用矩阵乘法来对这个消息进一步进行加密。假设A是一个行列式为±1的整数矩阵，则其逆矩阵的元素也必为整数。不妨设我们考虑将编了码的消息[5,8,10,21,7,2,10,8,3]组成一个矩阵于是乘积则所发出的消息为[31,80,54,37,83,67,29,69,50]。原本相同的两个数字8和10在变换后变成了不同的数字，增加了破译的难度，而接收方只要将这个消息乘以，就可以恢复原来的消息了。Google搜索与Internet中的数学Google搜索总是把最重要最关心的条目放到最前面！计算机是如何识别哪些条目更重要？Google是利用一些数学原理来对页面的重要性排序。我们可以将全球的Inter网看成是一个规模巨大的随机图，每一个网页就是一个结点，如果从一个网页到另一个网页有超级链接，就相当于添加了一条有向边连接这两个结点。我们可以根据Inter网形成的这个图的拓扑结构来确定页面的相对重要性。123654123654经过一系列数学处理过程，最后问题归结为：因而，搜索引擎问题变成一个与矩阵的特征值和特征向量密切相关的一个数学问题了。教材：《线性代数》，第2版，居余马等编。参考书：1.

《线性代数》，

同济大学应用数学系，高等教育出版社第四版

2.《线性代数及其应用》，DavidClay3.《线性代数学习指导》，王萼芳，清华大学出版社。

4.麻省理工《线性代数》公开课（OpenMITcourses),吉尔伯特-斯特朗5.《线性代数实践及MATLAB入门》，陈怀琛1.内容简介行列式、矩阵、向量空间、线性方程组、线性变换、矩阵的对角化、二次型等，其中行列式与矩阵是其基本理论基础。2.课程特点抽象性强，应用性强。以离散变量为研究对象。3.学习要求认真听讲，独立完成作业。在基本概念上下功夫。勤于思考，勇于探索。多做练习啊！知识回顾：1.数学归纳法2.反证法3.连乘号：一般用于证明条件极少，结论基本只与n相关的命题。一般用于常规方法难以证明的结论，比如说唯一性。4.连加号：求下列个数的和。按行加按列加和号可交换按行加按列加和号可交换？注意看清求和指标的条件！上述求和亦可写成：或和号可交换另外，注意观察和号可交换的条件！第1章行列式

(Determinants)行列式的概念最初是伴随着方程组的求解而发展起来的。最早是一种速记的表达式，现已是数学中一种非常有用的工具。它不仅是高等代数中的一个基本概念，而且在很多领域有着广泛的应用。发明人:德国数学家莱布尼茨日本数学家关孝和二阶行列式用于解二元一次联立方程组1.1 n

阶行列式的定义及性质二阶行列式的计算（对角线法）如主对角线反对角线消元法解三元线性方程组注意

红线上三元素的乘积冠以正号蓝线上三元素的乘积冠以负号三阶行列式的计算（对角线法）三阶行列式的计算（沙路法）例

1.计算的数值,

2.求的根.1.222.x=2或x=3aabaabaabD3332323222131211=abaabaabaD3333123221131112=3323122221112113baabaabaaD=三阶行列式用于解三元一次联立方程组1.平面上过点(x1,y1),(x2,y2)的直线方程:下面的两个行列式的例子2.平面上过点(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)的圆方程:大家感受到了数学的和谐美吗？问再议三阶行列式的计算二阶行列式可表为1.1.1n

阶行列式的定义（递归法）定义

由n2个数aij(i,j=1,2,...,n)组成的n阶行列式是一个算式，当n=1时D=a11;当n2时,定义其中 A1j=(-1)1+jM1j,M1j是D中去掉第1行第j列全部元素后,按原顺序排成的n-1阶行列式,即称M1j为元素a1j的余子式,A1j为元素a1j的代数余子式例计算下列矩阵第一行元素的代数余子式。例1

计算下三角形行列式（determinant

oflowertriangularMatrix）上三角形行列式:（determinant

ofuppertriangularMatrix）对角行列式：（determinant

ofdiagonalMatrix）例=(1)n(n1)/2a1a2an1an==(1)n+1

anDn-1=(1)n1an(1)n2

an1

Dn-2=(1)n-1

anDn-1练习：计算行列式答案：-3太繁琐，算不下去了！！行列式对行和列有相同的性质性质1行列式的行与列互换，行列式的值不变。1.1.2

n

阶行列式的性质证明：数学归纳法（见附录）MinorofaijCofactorofaij问：性质2行列式对任一行(或列)按下式展开，其值相等，即(expansionofdet(A)alongtheithrow(jthcolumn))证明：数学归纳法（见附录）。性质3（线性性质）性质4若行列式有两行元素相同，则行列式的值为0

用归纳法证明:n=2成立。设命题对n-1(n>2)

阶行列式成立，对第i,j行相同的n阶行列式D，对第k(ki,j)行展开,得余子式，且有两行相同，由假设推论若行列式有一行元素全为零，则行列式的值等于零。

推论行列式有两行元素成比例,则行列式的值为0.

*性质5将行列式的某一行乘以常数加到另一行(对行列式作倍加行变换),则行列式的值不变。性质6若行列式两行对换，行列式的值反号，即证

性质7行列式某一行元素与另一行相应元素的代数余子式的乘积之和等于零，即证第j行第i行同理关于代数余子式的重要性质是克罗内克(Kronecker)符号.5.某行（列）的倍加到另一行（列）上值不变性质小结6.互换两行变号1.转置值不变2.行列式可以按任一行（列）展开3.可提取某行（列）公因子，按行（列）可拆为两个的和7.某一行（列）与另一行（列）对应元素的代数余子式之和为零4.有两行（列）相等值为0计算方法：利用定义或性质例上、下三角行列式均等于其主对角元素的乘积1·2n阶行列式的计算例

计算例

计算

计算行列式常用方法：利用运算行列式的性质把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值．例计算行列式=2(3/2)=3例计算行列式练习利用性质5，对行列式做倍加变换,把行列式的某行或某列的元素化为只剩一个非零元，把行列式按行展开，从而降阶计算，这是计算行列式的最基本方法例计算解练习：

例证明：

(把左端行列式的第2,3列加到第1列，提出公因子2)证法1(把第1列乘(1)加到第2,3列)(将第2,3列加到第1列，提出第2,3列的公因数1)(再作两次列对换)证法2用性质3，将左式表示成23个行列式之和.拆成8个，其中有6个行列式各有两列相等而等于零=右式例解：例计算n阶行列式特点：每行每列都只有两个非零元解方法：直接降阶例计算n阶行列式Dn的每行元素之和均为a+(n1)b把各列加到第1列,解提出公因子a+(n1)b将第1行乘(1)加到其余各行，化为上三角行列式利用性质计算行列式112练习解练习例

计算n

阶行列式其中解法一（直接法）将行列式第一行的（-1）倍分别加到其余各行，得这种形状的行列式称为那么将第i

列的(-bi/ai)倍(i=2,3,…,n)

统加到第１列，得(ai

0,i=2,3,…,n)爪型行列式及其计算其中所以

Dn=c1a2…an.已化为三角行列式解法二（加边法或升阶法）第一行的（－1）

倍加到其它各行第j列的1/aj-1倍加到第一列(j=2,…,n)设xyz0,计算练习第1行乘(1)加到第2,3行例证明证明这个结论可简记为：另外，但是,满足条件的同类因式的乘积例利用数学归纳法也是计算和证明行列式的常用方法证用数学归纳法例计算利用范德蒙行列式计算行列式，应根据范德蒙行列式的特点，将所给行列式化为范德蒙行列式，然后根据范德蒙行列式计算出结果。解

评注本题所给行列式各行（列）都是某元素的不同方幂，而其方幂次数或其排列与范德蒙行列式不完全相同，需要利用行列式的性质（如提取公因子、调换各行（列）的次序等）将此行列式化成范德蒙行列式．计算

例解：特点：与范德蒙行

列式接近计算

例解：找到它的递推公式来进行计算。从而由此递推得于是当时解：按第1行展开例

三对角行列式课后考虑按第一列或最后一行（列）展开？改写递推式，即其中，得：于是，解按第1行展开例11三对角行列式改写递推式，其中，即其中，得：于是，例

已知求x。解所以x＝－3，－5，2是x的三次方程的3个根。

关于数字行列式的计算注意以下两点点1.尽量避免分数运算，如2.尽量避免大数参加运算如计算行列式的方法比较灵活，同一行列式可以有多种计算方法；有的行列式计算需要几种方法综合应用．在计算时，首先要仔细考察行列式在构造上的特点，利用行列式的性质对它进行变换后，再考察它是否能用常用的几种方法．小结线性方程组

非齐次线性方程组;齐次线性方程组.非齐次与齐次线性方程组的概念§1·3Cramer法则一、克拉默法则如果线性方程组的系数行列式不等于零，即其中那么非线性方程组有解，并且解是唯一的，解可以表为证明其中Akj

是D中akj的代数余子式(1)验证满足方程组i=1,2,,n

因为(i=1,2,,n)（2）设再把个方程依次相加，得是方程组的解，则由代数余子式的性质可知,当时,方程组有唯一的一个解齐次线性方程组的相关定理推论如果齐次线性方程组的系数行列式则