复变函数试题库

.dzdz《复变函数论》试题库梅一A111《复变函数》考试试题(一)00_________.fzzfz)的孤立奇点有__________.nlimzlimzz...z12n7.若nn，则nn______________.zf(z)内的罗朗展式.iwz14.求复数z1的实部与虚部.D那么它在内为常数.值..《复变函数》考试试题(二)limfz=________.z)1+i=jdz=3.|z_z|=1(z_z)n_________.(n为自然数)000042.在复平面上取上半虚轴作割线.试在所得的区域内取定函数在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点_i_i的右半圆. z= z=2(z_)2.试用儒歇定理证明代数基本定理.《复变函数》考试试题(三).三.三n1nnnnn1nnnndz00ff(z)00n!n2.试求幂级数zn!n4.求z92z6z28z20在|z|<1内根的个数.D那么它在内为常数.，《复变函数》考试试题(四).nwnnwn6.若函数f(z)在区域D内除去有限个极点之外处处解析，则称它是D内的_____________.C8.z的孤立奇点为________.zn_____________..114.函数f(z)=ez1z有哪些奇点？各属何类型(若是极点，指明它的阶数).1.证明：若函数f(z)在上半平面解析，则函数f(z)在下半平面解析.《复变函数》考试试题(五).的周期为___.Cz的_____________。9.z的孤立奇点为________.(n为自然数)计算积分：，L2.设f(z)是一整函数，并且假定存在着一个正整数n，以及两个数R，.爪爪证明:f(z)是一个至多n次的多项式或一常数.《复变函数》考试试题(六)n1-nnn2.设f(z)=1则f(z)的____________________________.3.函数sinz的周期为_______________________.0点.7.若函数f(z)在整个复平面处处解析，则称它是______________.8.函数f(z)=z的不解析点之集为__________.f(z)在D恒等于常数..nz00f(z)00f(z)6．计算下列积分．(8分)28．求下列幂级数的收敛半径．(6分)8．求下列幂级数的收敛半径．(6分)试卷一至十四参考答案《复变函数》考试试题(一)参考答案二．填空题1.0n11(n1)!；；三．计算题.z所以0z1imzzz22limlim22222.xxzz=22(uu+vv=0(1)uvv因为函数在D内解析,所以u=v,u=-v.代入(2)则上述方程组变xyyx为xxyy121212f(z)=z(1-z)的幅角共增加几.由已知所取分支在支割线上岸取正值,2几2几.又因为在正实轴去正实值，所以k0.《复变函数》考试试题(二)参考答案2222ii22i(sinz)2icoszz(z)22z(z)2222=0.121212令u(x,y)c,v(x,y)c.则uvuv0.12xyyxxyyxuv,uv,且u(v)v,u(v)v.xyyxxyyyxx比较等式两边得uvuv0.从而在D内u,v均为常数,故xyyxf(z)在D内为常数.2.即要证“任一n次方程01n1n0证明令f(z)aznazn1aza01n1n0证明令f(z)aznazn1aza0,取1n1nRmaxa1an,1,当z在C:zR上时,有a0.+1+...)=xwz一n+2.2!z2+1+...)=xwz一n+2.2!z2n!xx由儒歇定理知在圆z<由儒歇定理知在圆z<Rnn一1nazn=0有相0同个数的根.而azn=0在z<R内有一个n重根z=0.因此n0次方程在z<R内有n个根.《复变函数》考试试题(三)参考答案〈;l0n士11zenn(nn(n+1)!n)wnn)wn.n)wn)w所以收敛半径为e.3.解令f(z)=ez,则Resf(z)=ez=一1.z9(uu+vv=0(1)vvxyyx为.yyxxy1212122.证明取r>R,则对一切正整数k>n时,nn《复变函数》考试试题(四)参考答案.2213133222333222.解Resf(z)=ez=eResf(z)=ez=e一1.0000zabz1(a1)2b2.c002而z2kiz2ki一阶极点.而z2kiz2ki一阶极点.00000000000从而F(z)f(z)在下半平面内解析.11222所以f在1z2内仅有三个零点,即原方程在1z2内仅有三个根.3iabiab. z1上 z1上2I2iResf(z),(0a1)(z)1f(z),一个根.zrzkrk故Iza为一级极点,在ResfResf(z),(0a1)由残数定理有2.证明取rR,则对一切正整数kn时,f(k)(0)k!f(z)dzk!Mrn.于是由r的任意性知对一切kn均有f(k)(0)0.nn《复变函数》考试试题(六)参考答案11.解：因为1,61.解：因为1,69366故lim(2i)n0.n6f(z)2idi.11 Res(f(z),i)ei.2(2n1)!sinz3(1)nz6n3z6(2n1)!.5．解：设zxiy,则wz1x1iy(x2y21)2yiz1z1iy(x1)2y2.Rewx2y21,Imw2y.(x1)2y2(x1)2y233