2015年四川省成都市中考数学试题及解析解析

2015年四川省成都市中考数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有

一项符合题目要求）

1．（3分）（2015•成都）﹣3的倒数是（）

A．B．C．﹣3D．3

﹣

2．（3分）（2015•成都）如图所示的三视图是主视图是（）

A．B．C．D．

3．（3分）（2015•成都）今年5月，在成都举行的世界机场城市大会上，成都新机场规划蓝

图首次亮相，新机场建成后，成都将成为继北京、上海之后，国内第三个拥有双机场的城市，

按照远期规划，新机场将建的4个航站楼的总面积约为126万平方米，用科学记数法表示为

（）

A．126×104B．1.26×105C．1.26×106D．1.26×107

4．（3分）（2015•成都）下列计算正确的是（）

A．a2+a2=a4B．a2•a3=a6C．（﹣a2）2=a4D．（a+1）2=a2+1

5．（3分）（2015•成都）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=6，DB=3，AE=4，则EC的长

为（）

A．1B．2C．3D．4

6．（3分）（2015•成都）一次函数y=2x+1的图象不经过（）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

7．（3分）（2015•成都）实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，计算|a﹣b|的结果为

（）

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A．a+bB．a﹣bC．b﹣aD．﹣a﹣b

8．（3分）（2015•成都）关于x的一元二次方程kx2+2x+1=0有两个不相等的实数根，则k

的取值范围是（）

A．k＞﹣1B．k≥﹣1C．k≠0D．k＜1且k≠0

9．（3分）（2015•成都）将抛物线y=x2向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，

得到的抛物线的函数表达式为（）

A．y=（x+2）2﹣3B．y=（x+2）2+3C．y=（x﹣2）2+3D．y=（x﹣2）2﹣3

10．（3分）（2015•成都）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为4，则这个正六边

形的边心距OM和的长分别为（）

A．B．2，πC．D．

2，，2，

二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）

11．（4分）（2015•岳阳）分解因式：x2﹣9=．

12．（4分）（2015•成都）如图，直线m∥n，△ABC为等腰三角形，∠BAC=90°，则∠1=

度．

13．（4分）（2015•成都）为响应“书香成都”建设号召，在全校形成良好的人文阅读风尚，

成都市某中学随机调查了部分学生平均每天的阅读时间，统计结果如图所示，则在本次调查

中，阅读时间的中位数是小时．

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14．（4分）（2015•成都）如图，在▱ABCD中，AB=，AD=4，将▱ABCD沿AE翻折后，

点B恰好与点C重合，则折痕AE的长为．

三、解答题（本大题共6小题，共54分）

15．（12分）（2015•成都）（1）计算：﹣（2015﹣π）0﹣4cos45°+（﹣3）2．

（2）解方程组：．

16．（6分）（2015•成都）化简：（+）÷．

17．（8分）（2015•成都）如图，登山缆车从点A出发，途经点B后到达终点C，其中AB

段与BC段的运行路程均为200m，且AB段的运行路线与水平面的夹角为30°，BC段的运

行路线与水平面的夹角为42°，求缆车从点A运行到点C的垂直上升的距离．（参考数据：

sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90）

18．（8分）（2015•成都）国务院办公厅在2015年3月16日发布了《中国足球发展改革总

体方案》，这是中国足球史上的重大改革，为进一步普及足球知识，传播足球文化，我市某

第3页（共32页）

区在中小学举行了“足球在身边”知识竞赛，各类获奖学生人数的比例情况如图所示，其中获

得三等奖的学生共50名，请结合图中信息，解答下列问题：

（1）获得一等奖的学生人数；

（2）在本次知识竞赛活动中，A，B，C，D四所学校表现突出，现决定从这四所学校中随

机选取两所学校举行一场足球友谊赛，请用画树状图或列表的方法求恰好选到A，B两所学

校的概率．

19．（10分）（2015•成都）如图，一次函数y=﹣x+4的图象与反比例函数y=（k为常数，

且k≠0）的图象交于A（1，a），B两点．

（1）求反比例函数的表达式及点B的坐标；

（2）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，求满足条件的点P的坐标及△PAB的面积．

20．（10分）（2015•成都）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC的垂直平分线分别与

AC，BC及AB的延长线相较于点D，E，F，且BF=BC，⊙O是△BEF的外接圆，∠EBF

的平分线交EF于点G，交⊙O于点H，连接BD，FH．

（1）求证：△ABC≌△EBF；

（2）试判断BD与⊙O的位置关系，并说明理由；

（3）若AB=1，求HG•HB的值．

四、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）

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21．（4分）（2015•成都）比较大小：．（填“＞”，“＜”或“=”）

22．（4分）（2015•成都）有9张卡片，分别写有1～9这九个数字，将它们背面朝上洗匀后，

任意抽取一张，记卡片上的数字为a，则使关于x的不等式组有解的概率

为．

23．（4分）（2015•成都）已知菱形A1B1C1D1的边长为2，∠A1B1C1=60°，对角线A1C1，

B1D1相较于点O，以点O为坐标原点，分别以OA1，OB1所在直线为x轴、y轴，建立如

图所示的直角坐标系，以B1D1为对角线作菱形B1C2D1A2∽菱形A1B1C1D1，再以A2C2为

对角线作菱形A2B2C2D2∽菱形B1C2D1A2，再以B2D2为对角线作菱形B2C3D2A3∽菱形

A2B2C2D2，…，按此规律继续作下去，在x轴的正半轴上得到点A1，A2，A3，…，An，则

点An的坐标为．

24．（4分）（2015•成都）如图，在半径为5的⊙O中，弦AB=8，P是弦AB所对的优弧上

的动点，连接AP，过点A作AP的垂线交射线PB于点C，当△PAB是等腰三角形时，线

段BC的长为．

25．（4分）（2015•成都）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个实数根，且其中一

个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的

是（写出所有正确说法的序号）

①方程x2﹣x﹣2=0是倍根方程．

②若（x﹣2）（mx+n）=0是倍根方程，则4m2+5mn+n2=0；

③若点（p，q）在反比例函数y=的图象上，则关于x的方程px2+3x+q=0的倍根方程；

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④若方程ax2+bx+c=0是倍根方程，且相异两点M（1+t，s），N（4﹣t，s）都在抛物线y=ax2+bx+c

上，则方程ax2+bx+c=0的一个根为．

五、解答题（本大题共3小题，共30分）

26．（8分）（2015•成都）某商家预测一种应季衬衫能畅销市场，就用13200元购进了一批

这种衬衫，面市后果然供不应求，商家又用28800元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第

一批购进量的2倍，但单价贵了10元．

（1）该商家购进的第一批衬衫是多少件？

（2）若两批衬衫按相同的标价销售，最后剩下50件按八折优惠卖出，如果两批衬衫全部售

完后利润不低于25%（不考虑其他因素），那么每件衬衫的标价至少是多少元？

27．（10分）（2015•成都）已知AC，EC分别是四边形ABCD和EFDG的对角线，点E在

△ABC内，∠CAE+∠CBE=90°．

（1）如图①，当四边形ABCD和EFCG均为正方形时，连接BF．

（i）求证：△CAE∽△CBF；

（ii）若BE=1，AE=2，求CE的长；

（2）如图②，当四边形ABCD和EFCG均为矩形，且==k时，若BE=1，AE=2，CE=3，

求k的值；

（3）如图③，当四边形ABCD和EFCG均为菱形，且∠DAB=∠GEF=45°时，设BE=m，

AE=n，CE=p，试探究m，n，p三者之间满足的等量关系．（直接写出结果，不必写出解答

过程）

28．（12分）（2015•成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）

与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：y=kx+b与y轴交于点C，

与抛物线的另一个交点为D，且CD=4AC．

（1）直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式（其中k，b用含a的式子表示）；

（2）点E是直线l上方的抛物线上的一点，若△ACE的面积的最大值为，求a的值；

（3）设P是抛物线对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A，D，P，Q为顶点的四边形

能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．

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2015年四川省成都市中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有

一项符合题目要求）

1．（3分）（2015•成都）﹣3的倒数是（）

A．B．C．﹣3D．3

﹣

考点：倒数．

分析：根据倒数的定义，若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．

解答：

解：∵﹣3×（﹣）=1，

∴﹣3的倒数是﹣．

故选：A．

点评：主要考查倒数的概念及性质．倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数

互为倒数，属于基础题．

2．（3分）（2015•成都）如图所示的三视图是主视图是（）

A．B．C．D．

考点：简单几何体的三视图．

分析：根据原图形得出其主视图，解答即可．

解答：解：A、是左视图，错误；

B、是主视图，正确；

C、是俯视图，错误；

D、不是主视图，错误；

故选B

点评：此题考查三视图，关键是根据图形得出其三视图．

3．（3分）（2015•成都）今年5月，在成都举行的世界机场城市大会上，成都新机场规划蓝

图首次亮相，新机场建成后，成都将成为继北京、上海之后，国内第三个拥有双机场的城市，

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按照远期规划，新机场将建的4个航站楼的总面积约为126万平方米，用科学记数法表示为

（）

A．126×104B．1.26×105C．1.26×106D．1.26×107

考点：科学记数法—表示较大的数．

分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，

要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当

原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

解答：解：将126万用科学记数法表示为1.26×106．

故选C．

点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|

＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

4．（3分）（2015•成都）下列计算正确的是（）

A．a2+a2=a4B．a2•a3=a6C．（﹣a2）2=a4D．（a+1）2=a2+1

考点：完全平方公式；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．

分析：根据同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方和完全平方公式计算即可．

解答：解：A、a2+a2=2a2，错误；

B、a2•a3=a5，错误；

C、（﹣a2）2=a4，正确；

D、（a+1）2=a2+2a+1，错误；

故选C．

点评：此题考查同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方和完全平方公式，关键是根据法则进行

计算．

5．（3分）（2015•成都）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=6，DB=3，AE=4，则EC的长

为（）

A．1B．2C．3D．4

考点：平行线分线段成比例．

分析：

根据平行线分线段成比例可得，代入计算即可解答．

解答：解：∵DE∥BC，

∴，

即，

解得：EC=2，

故选：B．

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点评：本题主要考查平行线分线段成比例，掌握平行线分线段所得线段对应成比例是解题的

关键．

6．（3分）（2015•成都）一次函数y=2x+1的图象不经过（）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

考点：一次函数图象与系数的关系．

分析：根据k，b的取值范围来确定图象在坐标平面内的位置．

解答：解：∵一次函数y=2x+1中的2＞0，

∴该直线经过第一、三象限．

又∵一次函数y=2x+1中的1＞0，

∴该直线与y轴交于正半轴，

∴该直线经过第一、二、三象限，即不经过第四象限．

故选：D．

点评：本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系．解答本题注意理解：

直线y=kx+b所在的位置与k、b的符号有直接的关系．k＞0时，直线必经过一、三

象限．k＜0时，直线必经过二、四象限．b＞0时，直线与y轴正半轴相交．b=0时，

直线过原点；b＜0时，直线与y轴负半轴相交．

7．（3分）（2015•成都）实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，计算|a﹣b|的结果为

（）

A．a+bB．a﹣bC．b﹣aD．﹣a﹣b

考点：实数与数轴；绝对值．

分析：根据绝对值的意义：非负数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数．同时注

意数轴上右边的数总大于左边的数，即可解答．

解答：解：由数轴可得：a＜0＜b，|a|＞|b|，

∴a﹣b＜0，

∴|a﹣b|=﹣（a﹣b）=b﹣a，

故选：C．

点评：此题主要考查了实数与数轴的之间的对应关系及绝对值的化简，应特别注意：根据点

在数轴上的位置来正确判断出代数式的值的符号．

8．（3分）（2015•成都）关于x的一元二次方程kx2+2x+1=0有两个不相等的实数根，则k

的取值范围是（）

A．k＞﹣1B．k≥﹣1C．k≠0D．k＜1且k≠0

考点：根的判别式；一元二次方程的定义．

分析：在判断一元二次方程根的情况的问题中，必须满足下列条件：（1）二次项系数不为零；

（2）在有不相等的实数根时，必须满足△=b2﹣4ac＞0

解答：解：依题意列方程组

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，

解得k＜1且k≠0．

故选D．

点评：本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项系数

不为零这一隐含条件．

9．（3分）（2015•成都）将抛物线y=x2向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，

得到的抛物线的函数表达式为（）

A．y=（x+2）2﹣3B．y=（x+2）2+3C．y=（x﹣2）2+3D．y=（x﹣2）2﹣3

考点：二次函数图象与几何变换．

分析：先确定抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），再根据点平移的规律得到点（0，0）平移

后所得对应点的坐标为（﹣2，﹣3），然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．

解答：解：抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）向左平移1个单位，再向下平

移2个单位长度所得对应点的坐标为（﹣2，﹣3），所以平移后的抛物线解析式为y=

（x+2）2﹣3．

故选：A．

点评：本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所

以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移

后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解

析式．

10．（3分）（2015•成都）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为4，则这个正六边

形的边心距OM和的长分别为（）

A．B．2，πC．D．

2，，2，

考点：正多边形和圆；弧长的计算．

分析：正六边形的边长与外接圆的半径相等，构建直角三角形，利用直角三角形的边角关系

即可求出OM，再利用弧长公式求解即可．

解答：解：连接OB，

∵OB=4，

∴BM=2，

∴OM=2，

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==π，

故选D．

点评：本题考查了正多边形和圆以及弧长的计算，将扇形的弧长公式与多边形的性质相结

合，构思巧妙，利用了正六边形的性质，是一道好题．

二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）

11．（4分）（2015•岳阳）分解因式：x2﹣9=（x+3）（x﹣3）．

考点：因式分解-运用公式法．

分析：本题中两个平方项的符号相反，直接运用平方差公式分解因式．

解答：解：x2﹣9=（x+3）（x﹣3）．

故答案为：（x+3）（x﹣3）．

点评：主要考查平方差公式分解因式，熟记能用平方差公式分解因式的多项式的特征，即“两

项、异号、平方形式”是避免错用平方差公式的有效方法．

12．（4分）（2015•成都）如图，直线m∥n，△ABC为等腰三角形，∠BAC=90°，则∠1=

45度．

考点：平行线的性质；等腰直角三角形．

分析：先根据等腰三角形性质和三角形的内角和定理求出∠ABC，根据平行线的性质得出

∠1=∠ABC，即可得出答案．

解答：解：∵△ABC为等腰三角形，∠BAC=90°，

∴∠ABC=∠ACB=45°，

∵直线m∥n，

∴∠1=∠ABC=45°，

故答案为：45．

点评：本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，平行线的性质的应用，解此题的

关键是求出∠1=∠ABC和求出∠ABC的度数，注意：两直线平行，同位角相等．

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13．（4分）（2015•成都）为响应“书香成都”建设号召，在全校形成良好的人文阅读风尚，

成都市某中学随机调查了部分学生平均每天的阅读时间，统计结果如图所示，则在本次调查

中，阅读时间的中位数是1小时．

考点：中位数；条形统计图．

分析：由统计图可知总人数为40，得到中位数应为第20与第21个的平均数，而第20个数

和第21个数都是1（小时），即可确定出中位数为1小时．

解答：解：由统计图可知共有：8+19+10+3=40人，中位数应为第20与第21个的平均数，

而第20个数和第21个数都是1（小时），则中位数是1小时．

故答案为1．

点评：本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数的能力．注意找中位数的时候一定要

先排好顺序，然后根据奇数和偶数的个数来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中

间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．也考查了条形统计图．

14．（4分）（2015•成都）如图，在▱ABCD中，AB=，AD=4，将▱ABCD沿AE翻折后，

点B恰好与点C重合，则折痕AE的长为3．

考点：翻折变换（折叠问题）；平行四边形的性质．

分析：由点B恰好与点C重合，可知AE垂直平分BC，根据勾股定理计算AE的长即可．

解答：解：∵翻折后点B恰好与点C重合，

∴AE⊥BC，BE=CE，

∵BC=AD=4，

∴BE=2，

∴AE===3．

故答案为：3．

点评：本题考查了翻折变换，平行四边形的性质，勾股定理，根据翻折特点发现AE垂直平

分BC是解决问题的关键．

第13页（共32页）

三、解答题（本大题共6小题，共54分）

15．（12分）（2015•成都）（1）计算：﹣（2015﹣π）0﹣4cos45°+（﹣3）2．

（2）解方程组：．

考点：实数的运算；零指数幂；解二元一次方程组；特殊角的三角函数值．

专题：计算题．

分析：（1）原式第一项化为最简二次根式，第二项利用零指数幂法则计算，第三项利用特

殊角的三角函数值计算，最后一项利用乘方的意义化简，计算即可得到结果；

（2）方程组利用加减消元法求出解即可．

解答：

解：（1）原式=2﹣1﹣4×+9

=8；

（2）①+②得：4x=4，即x=1，

把x=1代入①得：y=2，

则方程组的解为．

点评：此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

16．（6分）（2015•成都）化简：（+）÷．

考点：分式的混合运算．

专题：计算题．

分析：原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约

分即可得到结果．

解答：

解：原式=•=•=．

点评：此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

17．（8分）（2015•成都）如图，登山缆车从点A出发，途经点B后到达终点C，其中AB

段与BC段的运行路程均为200m，且AB段的运行路线与水平面的夹角为30°，BC段的运

行路线与水平面的夹角为42°，求缆车从点A运行到点C的垂直上升的距离．（参考数据：

sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90）

第14页（共32页）

考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题．

分析：要求缆车从点A运行到点C的垂直上升的距离，就是求BD+CE的值．解直角△ADB，

利用30°角所对的直角边等于斜边的一半得出BD=AB=100m，解直角△CEB，根据

正弦函数的定义可得CE=BC•sin42°．

解答：解：在直角△ADB中，∵∠ADB=90°，∠BAD=30°，AB=200m，

∴BD=AB=100m，

在直角△CEB中，∵∠CEB=90°，∠CBE=42°，CB=200m，

∴CE=BC•sin42°≈200×0.67=134m，

∴BD+CE≈100+134=234m．

答：缆车从点A运行到点C的垂直上升的距离约为234m．

点评：本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，锐角三角函数的定义，结合图形理

解题意是解决问题的关键．

18．（8分）（2015•成都）国务院办公厅在2015年3月16日发布了《中国足球发展改革总

体方案》，这是中国足球史上的重大改革，为进一步普及足球知识，传播足球文化，我市某

区在中小学举行了“足球在身边”知识竞赛，各类获奖学生人数的比例情况如图所示，其中获

得三等奖的学生共50名，请结合图中信息，解答下列问题：

（1）获得一等奖的学生人数；

（2）在本次知识竞赛活动中，A，B，C，D四所学校表现突出，现决定从这四所学校中随

机选取两所学校举行一场足球友谊赛，请用画树状图或列表的方法求恰好选到A，B两所学

校的概率．

考点：列表法与树状图法；扇形统计图．

分析：（1）根据三等奖所在扇形的圆心角的度数求得总人数，然后乘以一等奖所占的百分

比即可求得一等奖的学生数；

（2）列表将所有等可能的结果列举出来，利用概率公式求解即可．

解答：解：（1）∵三等奖所在扇形的圆心角为90°，

∴三等奖所占的百分比为25%，

∵三等奖为50人，

∴总人数为50÷25%=200人，

∴一等奖的学生人数为200×（1﹣20%﹣25%﹣40%）=30人；

（2）列表：

ABCD

AABACAD

BBABCBD

第15页（共32页）

CCACBCD

DDADBDC

∵共有12种等可能的结果，恰好选中A、B的有2种，

∴P（选中A、B）==．

点评：本题考查了列表与树状图的知识，解题的关键是通过列表将所有等可能的结果列举出

来，然后利用概率公式求解，难度不大．

19．（10分）（2015•成都）如图，一次函数y=﹣x+4的图象与反比例函数y=（k为常数，

且k≠0）的图象交于A（1，a），B两点．

（1）求反比例函数的表达式及点B的坐标；

（2）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，求满足条件的点P的坐标及△PAB的面积．

考点：反比例函数与一次函数的交点问题；轴对称-最短路线问题．

分析：（1）把点A（1，a）代入一次函数y=﹣x+4，即可得出a，再把点A坐标代入反比例

函数y=，即可得出k，两个函数解析式联立求得点B坐标；

（2）作点B作关于x轴的对称点D，交x轴于点C，连接AD，交x轴于点P，此时

PA+PB的值最小，求出直线AD的解析式，令y=0，即可得出点P坐标．

解答：解：（1）把点A（1，a）代入一次函数y=﹣x+4，

得a=﹣1+4，

解得a=3，

∴A（1，3），

点A（1，3）代入反比例函数y=，

得k=3，

∴反比例函数的表达式y=，

两个函数解析式联立列方程组得，

解得x1=1，x2=3，

∴点B坐标（3，1）；

第16页（共32页）

（2）作点B作关于x轴的对称点D，交x轴于点C，连接AD，交x轴于点P，此时

PA+PB的值最小，

∴D（3，﹣1），

设直线AD的解析式为y=mx+n，

把A，D两点代入得，，

解得m=﹣2，n=5，

∴直线AD的解析式为y=﹣2x+5，

令y=0，得x=，

∴点P坐标（，0），

S△PAB=S△ABD﹣S△PBD=×2×2﹣×2×=2﹣=1.5．

点评：本题考查了一次函数和反比例函数相交的有关问题；通常先求得反比例函数解析式；

较复杂三角形的面积可被x轴或y轴分割为2个三角形的面积和．

20．（10分）（2015•成都）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC的垂直平分线分别与

AC，BC及AB的延长线相较于点D，E，F，且BF=BC，⊙O是△BEF的外接圆，∠EBF

的平分线交EF于点G，交⊙O于点H，连接BD，FH．

（1）求证：△ABC≌△EBF；

（2）试判断BD与⊙O的位置关系，并说明理由；

（3）若AB=1，求HG•HB的值．

考点：圆的综合题．

分析：（1）由垂直的定义可得∠EBF=∠ADF=90°，于是得到∠C=∠BFE，从而证得

△ABC≌△EBF；

第17页（共32页）

（2）BD与⊙O相切，如图1，连接OB证得∠DBO=90°，即可得到BD与⊙O相切；

（3）如图2，连接CF，HE，有等腰直角三角形的性质得到CF=BF，由于DF垂

直平分AC，得到AF=CF=AB+BF=1+BF=BF，求得BF=，有勾股定理解出

EF=，推出△EHF是等腰直角三角形，求得HF=EF=，

通过△BHF∽△FHG，列比例式即可得到结论．

解答：（1）证明：∵∠ABC=90°，

∴∠EBF=90°，

∵DF⊥AC，

∴∠ADF=90°，

∴∠C+∠A=∠A+∠AFD=90°，

∴∠C=∠BFE，

在△ABC与△EBF中，，

∴△ABC≌△EBF；

（2）BD与⊙O相切，如图1，连接OB

证明如下：∵OB=OF，

∴∠OBF=∠OFB，

∵∠ABC=90°，AD=CD，

∴BD=CD，

∴∠C=∠DBC，

∵∠C=∠BFE，

∴∠DBC=∠OBF，

∵∠CBO+∠OBF=90°，∴∠DBC+∠CBO=90°，

∴∠DBO=90°，

∴BD与⊙O相切；

（3）解：如图2，连接CF，HE，

∵∠CBF=90°，BC=BF，

∴CF=BF，

∵DF垂直平分AC，

∴AF=CF=AB+BF=1+BF=BF，

∴BF=，

∵△ABC≌△EBF，

∴BE=AB=1，

∴EF==，

∵BH平分∠CBF，

∴，

∴EH=FH，

∴△EHF是等腰直角三角形，

第18页（共32页）

∴HF=EF=，

∵∠EFH=∠HBF=45°，∠BHF=∠BHF，

∴△BHF∽△FHG，

∴，

∴HG•HB=HF2=2+．

点评：本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，勾股

定理，线段的垂直平分线的性质，直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，

熟练掌握这些定理是解题的关键．

四、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）

21．（4分）（2015•成都）比较大小：＜．（填“＞”，“＜”或“=”）

考点：实数大小比较．

分析：

首先求出两个数的差是多少；然后根据求出的差的正、负，判断出、的大小

关系即可．

解答：

解：﹣

=

=

∵，

∴4，

第19页（共32页）

∴，

∴﹣＜0，

∴＜．

故答案为：＜．

点评：

此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是判断出

﹣的差的正、负．

22．（4分）（2015•成都）有9张卡片，分别写有1～9这九个数字，将它们背面朝上洗匀后，

任意抽取一张，记卡片上的数字为a，则使关于x的不等式组有解的概率

为．

考点：概率公式；解一元一次不等式组．

分析：

由关于x的不等式组有解，可求得a＞5，然后利用概率公式求解即

可求得答案．

解答：

解：，

由①得：x＞3，

由②得：x＜，

∵关于x的不等式组有解，

∴＞3，

解得：a＞5，

∴使关于x的不等式组有解的概率为：．

故答案为：．

点评：此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

23．（4分）（2015•成都）已知菱形A1B1C1D1的边长为2，∠A1B1C1=60°，对角线A1C1，

B1D1相较于点O，以点O为坐标原点，分别以OA1，OB1所在直线为x轴、y轴，建立如

第20页（共32页）

图所示的直角坐标系，以B1D1为对角线作菱形B1C2D1A2∽菱形A1B1C1D1，再以A2C2为

对角线作菱形A2B2C2D2∽菱形B1C2D1A2，再以B2D2为对角线作菱形B2C3D2A3∽菱形

A2B2C2D2，…，按此规律继续作下去，在x轴的正半轴上得到点A1，A2，A3，…，An，则

n﹣1

点An的坐标为（3，0）．

考点：相似多边形的性质；坐标与图形性质；菱形的性质．

专题：规律型．

分析：先根据菱形的性质求出A1的坐标，根据勾股定理求出OB1的长，再由锐角三角函数

的定义求出OA2的长，故可得出A2的坐标，同理可得出A3的坐标，找出规律即可

得出结论．

解答：解：∵菱形A1B1C1D1的边长为2，∠A1B1C1=60°，

∴OA

1=A1B1•sin30°=2×=1，OB1=A1B1•cos30°=2×=，

∴A

1（1，0）．

∵B

1C2D1A2∽菱形A1B1C1D1，

∴OA

2===3，

∴A

2（3，0）．

同理可得A3（9，0）…

∴An﹣1

n（3，0）．

故答案为：（3n﹣1，0）．

点评：本题考查的是相似多边形的性质，熟知相似多边形的对应角相等是解答此题的关键．

24．（4分）（2015•成都）如图，在半径为5的⊙O中，弦AB=8，P是弦AB所对的优弧上

的动点，连接AP，过点A作AP的垂线交射线PB于点C，当△PAB是等腰三角形时，线

段BC的长为8，或．

第21页（共32页）

考点：垂径定理；等腰三角形的性质；勾股定理．

专题：分类讨论．

分析：①当BA=BP时，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半；

②当AB=AP时，如图1，延长AO交PB于点D，过点O作OE⊥AB于点E，易得

△AOE∽△ABD，利用相似三角形的性质求得BD，PB，然后利用相似三角形的判定

定理△ABD∽△CPA，代入数据得出结果；

③当PA=PB时，如图2，连接PO并延长，交AB于点F，过点C作CG⊥AB，交

AB的延长线于点G，连接OB，则PF⊥AB，易得AF=FB=4，利用勾股定理得OF=3，

FP=8，易得△PFB∽△CGB，利用相似三角形的性质，设BG=t，则CG=2t，利

用相似三角形的判定定理得△APF∽△CAG，利用相似三角形的性质得比例关系解得

t，在Rt△BCG中，得BC．

解答：解：①当BA=BP时，

易得AB=BP=BC=8，即线段BC的长为8．

②当AB=AP时，如图1，延长AO交PB于点D，过点O作OE⊥AB于点E，则AD⊥PB，

AE=AB=4，

∴BD=DP，

在Rt△AEO中，AE=4，AO=5，

∴OE=3，

易得△AOE∽△ABD，

∴，

∴，

∴，即PB=，

∵AB=AP=8，

∴∠ABD=∠P，

∵∠PAC=∠ADB=90°，

∴△ABD∽△CPA，

∴，

∴CP=，

第22页（共32页）

∴BC=CP﹣BP==；

③当PA=PB时

如图2，连接PO并延长，交AB于点F，过点C作CG⊥AB，交AB的延长线于点G，

连接OB，

则PF⊥AB，

∴AF=FB=4，

在Rt△OFB中，OB=5，FB=4，

∴OF=3，

∴FP=8，

易得△PFB∽△CGB，

∴，

设BG=t，则CG=2t，

易得∠PAF=∠ACG，

∵∠AFP=∠AGC=90°，

∴△APF∽△CAG，

∴，

∴，解得t=，

在Rt△BCG中，BC=t=，

综上所述，当△PAB是等腰三角形时，线段BC的长为8，，，

故答案为：8，，．

第23页（共32页）

点评：本题主要考查了垂径定理，相似三角形的性质及判定，等腰三角形的性质及判定，数

形结合，分类讨论是解答此题的关键．

25．（4分）（2015•成都）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个实数根，且其中一

个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的

是②③（写出所有正确说法的序号）

①方程x2﹣x﹣2=0是倍根方程．

②若（x﹣2）（mx+n）=0是倍根方程，则4m2+5mn+n2=0；

③若点（p，q）在反比例函数y=的图象上，则关于x的方程px2+3x+q=0的倍根方程；

④若方程ax2+bx+c=0是倍根方程，且相异两点M（1+t，s），N（4﹣t，s）都在抛物线y=ax2+bx+c

上，则方程ax2+bx+c=0的一个根为．

考点：根与系数的关系；根的判别式；反比例函数图象上点的坐标特征；二次函数图象上点

的坐标特征．

专题：新定义．

22

分析：①解方程x﹣x﹣2=0得：x1=2，x2=﹣1，得到方程x﹣x﹣2=0不是倍根方程，故

①错误；②由（x﹣2）（mx+n）=0是倍根方程，且x1=2，x2=﹣，得到=﹣1，或

=﹣4，∴m+n=于是得到4m2+5mn+n2=（4m+1）（m+n）=0，故②正确；③由点（p，

2

q）在反比例函数y=的图象上，得到pq=2，解方程px+3x+q=0得：x1=﹣，x2=﹣

2

，故∴③正确；④由方程ax+bx+c=0是倍根方程，得到x1=2x2，由相异两点M（1+t，

s），N（4﹣t，s）都在抛物线y=ax2+bx+c上，∴

得到抛物线的对称轴x===，于是求出x1=，故④错误．

2

解答：解：①解方程x﹣x﹣2=0得：x1=2，x2=﹣1，

∴方程x2﹣x﹣2=0不是倍根方程，故①错误；

②∵（x﹣2）（mx+n）=0是倍根方程，且x1=2，x2=﹣，

∴=﹣1，或=﹣4，

∴m+n=0，4m+n=0，

∵4m2+5mn+n2=（4m+n）（m+n）=0，故②正确；

③∵点（p，q）在反比例函数y=的图象上，

∴pq=2，

2

解方程px+3x+q=0得：x1=﹣，x2=﹣，

∴x

2=2x1，故③正确；

④∵方程ax2+bx+c=0是倍根方程，

第24页（共32页）

∴设x

1=2x2，

∵相异两点M（1+t，s），N（4﹣t，s）都在抛物线y=ax2+bx+c上，

∴抛物线的对称轴x===，

∴x

1+x2=5，

∴x

1+2x1=5，

∴x

1=，故④错误．

故答案为：②③．

点评：本题考查了根与系数的关系，根的判别式，反比例函数图形上点的坐标特征，二次函

数图形上点的坐标特征，正确的理解“倍根方程”的定义是解题的关键．

五、解答题（本大题共3小题，共30分）

26．（8分）（2015•成都）某商家预测一种应季衬衫能畅销市场，就用13200元购进了一批

这种衬衫，面市后果然供不应求，商家又用28800元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第

一批购进量的2倍，但单价贵了10元．

（1）该商家购进的第一批衬衫是多少件？

（2）若两批衬衫按相同的标价销售，最后剩下50件按八折优惠卖出，如果两批衬衫全部售

完后利润不低于25%（不考虑其他因素），那么每件衬衫的标价至少是多少元？

考点：分式方程的应用；一元一次不等式的应用．

分析：（1）可设该商家购进的第一批衬衫是x件，则购进第二批这种衬衫是2x件，根据第

二批这种衬衫单价贵了10元，列出方程求解即可；

（2）设每件衬衫的标价y元，求出利润表达式，然后列不等式解答．

解答：解：（1）设该商家购进的第一批衬衫是x件，则购进第二批这种衬衫是2x件，依题

意有

+10=，

解得x=120，

经检验，x=120是原方程的解，且符合题意．

答：该商家购进的第一批衬衫是120件．

（2）3x=3×120=360，

设每件衬衫的标价y元，依题意有

（360﹣50）y+50×0.8y≥（13200+28800）×（1+25%），

解得y≥150．

答：每件衬衫的标价至少是150元．

点评：本题考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用，弄清题意并找出题中的数量关

系并列出方程是解题的关键．

27．（10分）（2015•成都）已知AC，EC分别是四边形ABCD和EFDG的对角线，点E在

△ABC内，∠CAE+∠CBE=90°．

第25页（共32页）

（1）如图①，当四边形ABCD和EFCG均为正方形时，连接BF．

（i）求证：△CAE∽△CBF；

（ii）若BE=1，AE=2，求CE的长；

（2）如图②，当四边形ABCD和EFCG均为矩形，且==k时，若BE=1，AE=2，CE=3，

求k的值；

（3）如图③，当四边形ABCD和EFCG均为菱形，且∠DAB=∠GEF=45°时，设BE=m，

AE=n，CE=p，试探究m，n，p三者之间满足的等量关系．（直接写出结果，不必写出解答

过程）

考点：四边形综合题．

分析：

（1）（i）首先根据四边形ABCD和EFCG均为正方形，可得，

∠ACE=∠BCF；然后根据相似三角形判定的方法，推得△CAE∽△CBF即可．

（ii）首先根据△CAE∽△CBF，判断出∠CAE=∠△CBF，再根据∠CAE+∠CBE=90°，

判断出∠EBF=90°；然后在Rt△BEF中，根据勾股定理，求出EF的长度，再根据CE、

EF的关系，求出CE的长是多少即可．

（2）首先根据相似三角形判定的方法，判断出△ACE∽△∠BCF，即可判断出

，据此求出BF的长度是多少；然后判断出∠EBF=90°，在Rt△BEF

中，根据勾股定理，求出EF的值是多少，进而求出k的值是多少即可．

（3）首先根据∠DAB=45°，可得∠ABC=180°﹣45°=135°，在△ABC中，根据余弦定

理，可得；然后根据相似三角形判定的方法，判断出

△ACE∽△∠BCF，即可用n表示出BF的值；最后判断出EBF=90°，在Rt△BEF中，

根据勾股定理，判断出m，n，p三者之间满足的等量关系即可．

解答：（1）（i）证明：∵四边形ABCD和EFCG均为正方形，

∴，

∴∠ACB=∠ECF=45°，

∴∠ACE=∠BCF，

在△CAE和△CBF中，

，

∴△CAE∽△CBF．

第26页（共32页）

（ii）解：∵△CAE∽△CBF，

∴∠CAE=∠△CBF，，

又∵∠CAE+∠CBE=90°，

∴∠CBF+∠CBE=90°，

∴∠EBF=90°，

又∵，AE=2

∴，

∴，

∴EF2=BE2+BF2==3，

∴EF=，

∵CE2=2EF2=6，

∴CE=．

（2）如图②，连接BF，

，

∵==k，

∴BC=a，AB=ka，FC=b，EF=kb，

∴AC=，

CE==，

∴，∠ACE=∠BCF，

在△ACE和△∠BCF中，

，

∴△ACE∽△∠BCF，

∴，∠CAE=∠CBF，

又∵AE=2，

∴，