专题 一元二次函数、方程和不等式（讲义）（解析版）高考数学考前易错题型全排查（讲义 课件）（新高考专用）

专题一元二次函数、方程和不等式易错点一不等式性质应用不当易错点二利用同向相加求范围出错易错点三基本不等式“一正二定三相等”1.忽略“一正”2.忽略“三相等”易错点四解分式不等式时直接把分母就乘到不等式右边易错点五一元二次不等式在区间D上恒成立错误的“统一”法易错点六解含参数不等式时分类讨论不当易错点一不等式性质应用不当注意：①不等式具有同向相加性质，但两边不能分别相减；②利用不等式同向相乘,忽略不等式两边为正的前提条件例1．（2022秋·云南玉溪·高三云南省玉溪第一中学校考阶段练习）（多选）已知，则下列结论正确的为（

）A．若，则 B．若，，则C．若，则 D．若，则【答案】CD【分析】根据不等式的性质，逐个判断选项即可.【详解】对于A：当，，则，若，，，，显然满足，，但是、，此时，故选项A错误；对于B：因为若，所以，又，则，故选项B错误；对于C：因为，所以，即，所以，故选项C正确；对于D：若，则，又因为，所以根据不等式的同向可加性，得，故选项D正确；故选：CD例2．（江西赣州·高一上犹中学校考周测）若α，β满足，则的取值范围是______________【答案】【分析】根据不等关系，利用不等式的性质求出的取值范围.【详解】因为，所以，，∴，又，∴．故答案为：易错点二利用同向相加求范围出错注意：在多次运用不等式性质时，其等号成立的条件可能有所不同，造成累积误差，结果使变量范围扩大。为了避免这类错误，必须注意①检查每次使用性质时等号成立的条件是否相同；②尽可能多的使用等式例3．（湖南邵阳·高一统考期中）已知，则的取值范围是____.【答案】【分析】根据不等式的性质求得正确答案.【详解】设，所以，解得，所以，，所以，所以的取值范围是.故答案为：例4．（2022秋·上海徐汇·高三上海市南洋模范中学校考期中）若且，则的最大值是____________．【答案】7【分析】把表达为与的线性关系，结合与求出最大值.【详解】，则，解得：即，因为且，所以，故，故的最大值为7故答案为：7易错点三基本不等式“一正二定三相等”注意：利用基本不等式求最值时要注意条件：一正二定三相等.1.忽略“一正”例5．（2023秋·四川泸州·高三统考期末）函数在时有最大值为，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用基本不等式求出，得出函数的最大值为，从而求出和的值．【详解】解：因为时，，当且仅当，即时取“”，所以函数，解得，，所以．故选：C．例6．（2023秋·广东肇庆·高三统考期末）下列函数中，最小值为2的是（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】利用基本不等式以及等号的成立条件逐一判断即可.【详解】对于A：当时，，A错误；对于B：，当且仅当，即时等号成立，故等号不能成立，，B错误；对于C：，当且仅当，即时等号成立，C正确；对于D：当时，，当且仅当，即时等号成立，D错误；故选：C.2.忽略“三相等”例7．（2023春·安徽芜湖·高三安徽师范大学附属中学校考阶段练习）已知，则函数（

）．A．有最小值4 B．有最大值4 C．无最小值 D．有最大值5【答案】C【分析】根据对勾函数的单调性以及三角函数的值域即可求解.【详解】因为，令，则，由于在单调递减，在单调递增，故在单调递减，故，故选：C．例8．（2023春·云南普洱·高三校考阶段练习）函数的最小值为（

）A．2 B． C．3 D．以上都不对【答案】B【分析】令，则，然后根据对勾函数的单调性可得答案.【详解】令，则，因为在上单调递增，所以当时取得最小值，故选：B易错点四解分式不等式时直接把分母就乘到不等式右边注意：去分母之前应该对分母的符号进行判断，必要时要对分母进行讨论例9．（2023·黑龙江哈尔滨·哈九中校考二模）已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出集合、，利用并集的定义可求得集合.【详解】因为，由可得，解得，则，因此，.故选：D.例10．（宁夏吴忠市2023届高三模拟联考试卷数学（文）试题）设集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先化简集合B，再利用集合的交集运算求解.【详解】解：因为，所以，故选：A.易错点五一元二次不等式在区间D上恒成立错误的“统一”法注意：在区间D上恒成立不适用，应使用分离参数例11．（2023春·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第十三中学校校考开学考试）对任意的，不等式都成立，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】分离参数得对任意的恒成立，则求出即可.【详解】因为对任意的，都有恒成立，∴对任意的恒成立．设，，，当，即时，，∴实数a的取值范围是.故选：D.例12．（2023秋·湖北·高三湖北省黄梅县第一中学校联考期末）若，则的取值范围为__________．【答案】【分析】解法1：利用参变分离结合对勾函数的单调性分析运算；解法2：根据恒成立问题结合二次函数的性质分析运算.【详解】解法1：时，，则，即，故在上恒成立，令，则，故，∵在上单调递减，在上单调递增，且，∴当时，，则，故，即的取值范围为．解法2：令开口向上，若，则，解得，故的取值范围为．故答案为：.易错点六解含参数不等式时分类讨论不当注意：讨论时要做到不重不漏，分类解决后，要对各个部分的结论按照参数由小到大进行整合例13．（2022秋·海南·高三海南华侨中学校考期中）若关于x的不等式的解集中恰有3个正整数，则实数m的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】先求原不等式解集，按m与3的大小分类讨论，使得m的取值满足题意即可.【详解】原不等式等价于有两根当时，原不等式解集为，其中最多只有2个正整数1和2，故不满足题意.当时，原不等式解集为，其中恰有3个正整数只能为4、5、6，故.故选：A.例14．（2022秋·甘肃兰州·高一校考期末）不等式的解集为，则实数a的取值范围是______．【答案】【分析】由题意可得恒成立，分别对，，讨论，结合二次不等式、二次函数图像与性质即可求出答案.【详解】由不等式的解集为等价于恒成立，当时，成立，符合条件；当时，根据二次函数图像开口向上，肯定会有函数值大于0，故不符合；当时，只需让，解得，综上所述，a的取值范围为，故答案为：一、单选题1．（2023·吉林·统考三模）已知，则下列不等式不一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】A选项，由不等式基本性质得到A正确；B选项，利用基本不等式求出；C选项，作差法比较出大小关系；D选项，举出反例即可.【详解】A选项，，故，所以，两边同乘以得，，A成立；B选项，因为，所以，且，由基本不等式得，故B成立；C选项，因为，所以，故，所以，C成立；D选项，不妨取，满足，此时，故D不一定成立.故选：D2．（2023·江苏南通·模拟预测）已知，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用方程组以及不等式的性质计算求解.【详解】设，所以，解得，所以，又，所以，故A，C，D错误.故选：B.3．（2023春·河南·高三校联考阶段练习）下列选项正确的是（

）A． B．C．的最小值为 D．的最小值为【答案】D【分析】结合选项，利用特殊值或函数的单调性进行求解.【详解】当与为负数时，显然不成立，选项A不正确；因为x不一定为正数，当为负数时，显然不成立，选项B不正确；令，所以的最小值为3，当且仅当时，取到最小值，选项C不正确；，因为，所以，当且仅当时，取到最小值，选项D正确．故选：D．4．（2023·四川·校联考一模）已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】解不等式求得集合，利用集合交集的定义求得结果．【详解】由等价于，即，则，解得，故，所以.故选：C.5．（2022秋·河南洛阳·高三洛阳市第一高级中学校考阶段练习）设集合，，且，则（

）A．1 B． C．2 D．【答案】C【分析】分类讨论解不等式，确定集合，根据，确定，求得答案.【详解】解，即，当即时，，此时，不合题意；故，即，则，由于，，所以，解得，故选：C6．（2023·全国·高三专题练习）若关于x的不等式的解集中恰有4个整数，则实数m的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】讨论m与2的大小关系，求得不等式的解集，根据解集中恰有4个整数，确定m的取值范围.【详解】不等式即，当时，不等式解集为，此时要使解集中恰有4个整数，这四个整数只能是3,4,5,6，故，当时，不等式解集为，此时不符合题意；当时，不等式解集为，此时要使解集中恰有4个整数，这四个整数只能是，故，，故实数m的取值范围为，故选：C7．（陕西榆林·校考模拟预测）关于的不等式的解集为空集，则实数k的取值范围是（

）A． B．C．或 D．【答案】A【分析】根据一元二次不等式的解集规律列式计算作答.【详解】因不等式的解集为空集，则当时，不成立，因此，满足题意，当时，必有，解得，综上得，所以实数k的取值范围是：.故选：A二、多选题8．（2023秋·广东深圳·高一统考期末）下列命题为真命题的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】BD【分析】取特值可判断A；由不等式的性质可判断B，C，D.【详解】对于A，当时，不等式不成立，故A是假命题；对于B，若，则，，所以，故B是真命题；对于C，若，则，所以，故C是假命题；对于D，若，则成立，故D是真命题.故选：BD.9．（2023春·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习）已知，，且满足，．则的取值可以为（

）A．10 B．11 C．12 D．20【答案】CD【分析】根据条件及基本不等式可得，进而即得.【详解】因为，，所以，，故，当，且，而时，即等号不能同时成立，所以，故AB错误，CD正确.故选：CD.10．（2023秋·黑龙江齐齐哈尔·高三校联考期末）下列函数最小值为2的是（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】利用配方法判断A，利用对勾函数的性质判断B，利用均值不等式判断C，利用对数函数的值域判断D.【详解】，最小值为2，选项A正确；当时，，无最小值，选项B错误；，当且仅当，即时取得最小值2，选项C正确；，所以，，当时取得最小值2，选项D正确．故选：ACD三、填空题11．（2023·全国·高三专题练习）已知，，的取值范围是_______________【答案】【分析】设，解出，再利用不等式的可加性求解即可得出．【详解】设，即，∴，解得.∴，∵，∴①，∵，∴②，①②，得，即的取值范围.故答案为：.12．（2023·全国·高三专题练习）函数f（x）＝＋1的最小值为________．【答案】＋1【分析】先对函数进行化简，然后利用对勾函数的单调性可求出有最小值.【详解】f（x）＝＋1＝＋1＝＋＋1，令，t∈[，＋∞），则函数f（x）可转化为g（t）＝t＋＋1，t∈[，＋∞）．令u（t）＝t＋（t≥），则由u（t）在[，＋∞）上单调递增可知，u（t）≥＋＝，则g（t）≥，所以函数f（x）的最小值为；故答案为：.13．（2021秋·上海静安·高三校考期中）已知，则函数的最大值是__.【答案】【分析】利用基本不等式求最值，注意“一正二定三相等”，要对式子变形后再使用.【详解】因为，所以，，故，当且仅当，即时，等号成立，所以时，的最大值是.故答案为：.14．（2023春·上海嘉定·高三统考阶段练习）不等式的解集为______.【答案】【分析】根据分式不等式的解法，即可得到结果.【详解】因为，即，解得，所以不等式的解集为故答案为:15．（2023·全国·高三专题练习）若不等式对恒成立，则实数的取值范围是________．【答案】【分析】先移项，根据不等式是否为二次不等式分类讨论，当是一次不等式，若对恒成立，只需是恒等式，若是二次不等式，只需开口向上且判别式小于零，建立不等式解出即可.【详解】解：原不等式可化为对恒成立．（1）当时，若不等式对恒成立，只需，解得；（2）当时，若该二次不等式恒成立，只需，解得，所以；综上：.故答案为：16．（2023·全国·高三专题练习）函数，若恒成立，则实数x的取值范围是_