高数论文2012最新

华北水利水电学院题目：格林公式的应用课程名称:高等数学（2）

格林公式的应用摘要：对格林公式及其它学科的几种表现形式做了论述及证明,利用格林公式把二重积分化为曲线积分，运用格林公式给出平面上任意多边形的面积公式和重心坐标公式。关键词：格林公式曲线积分二重积分多边形面积公式重心坐标公式applicationsofGreen'sformulaAbstract:SeveralmanifestationsoftheGreenformulaandotherdisciplinesarediscussedandproved,usingGreen'sformula,doubleintegralintoacurveintegral,usingGreen'sformula,givenanarbitrarypolygonintheplaneformulafortheareaandcenterofgravitycoordinateformula.Keywords:Green'sformulacurvepointsdoubleintegralpolygonareaformulafocusformulacoordinates1.引言

从高等数学中我们知道格林公式表达了平面闭区域上的二重积分与其边界曲线上的曲线积分之间的关系，本文我们将研究格林公式的内容，利用格林公式把二重积分化为曲线积分，运用格林公式求多边形的面积以及求多边形的重心坐标，证明曲线积分与路径无关。2.研究问题及成果2.1格林公式的内容格林公式是高等教学中一个著名的计算公式,它建立了曲线积分与二重积分之间的联系．它的条件,结论叙述如下：设为一平面或空间区域,对于内任意一条闭曲线,总可以在内连续的收缩成内一点则称为单连通区域,否则称是多连通区域．设是平面有界闭域,是有限条封闭的彼此不相交的可求长曲线是并集,则2.2.利用格林公式把二重积分化为曲线积分例1计算,其中是椭圆与坐标轴围成的第一象限是区域．解．由推论（ⅰ）得．显然．而,所以．例2计算,其中是由双曲线和直线围成的第一象限的闭区域．解．根据定理得．因为．同理．而例3计算，为任意一条无重点，分段光滑且包围原点的闭曲线．解很明显，坐标原点为函数、的奇点，其中．所以这个积分结果为一个常数，可取以原点为圆心，选取适当小的为半径．作为闭曲线内的圆周：，方向为逆时针，对这个复连通区域应用格林公式，有．用参数方程计算：．上积分=．设为连续函数,且为逐段光滑的闭曲线,试证:但由格林公式可推出如下四个等价的结论:当区域为单连通,、、、都在内连续时,则①成立②③与路径无关,只与起、终点有关④是某个可微函数的全微分,即上面四个结论,只要出现一个,即可推知其他三个结论必存在.在本题中,因为连续,故可积,令,并令,,则有2.3运用格林公式求多边形的面积设平面正向（逆时针方向）多边形个顶点的坐标为,则其面积为：证明：由（1）式，多边形的面积由于直线的方程为：故当时当时所以：计算,其中是椭圆与坐标轴围成的第一象限是区域．解．由推论（ⅰ）得．显然．而,所以．例求椭圆所围成的面积．解由公式知：所以，椭圆的面积为.2.4运用格林公式求多边形的重心坐标设平面正向（逆时针方向）多边形个顶点的坐标为,则其重心坐标为：证明:由物理学知道，非均匀薄片的重心坐标可由下式求得：其中为薄片所占坐标平面的区域，为薄片的密度函数。为求多边形的重心坐标，取。在格林公式中令得：当时：当时：所以：令得：同理可得：又，所以：例求三角形的重心坐标公式。解：设三角形的三顶点分别为则：同理:2.5曲线积分与路径无关设G是一个开区域,P(x,y)、Q(x,y)在区域G内具有一阶连续偏导数.如果对于G内任意指定的两个点A、B以及G内从点A到点B的任意两条曲线L1、L2,等式恒成立,就说曲线积分在G内与路径无关,否则说与路径有关.设曲线积分在G内与路径无关,L1和L2是G内任意两条从点A到点B的曲线,则有,因为,所以有以下结论:曲线积分在G内与路径无关相当于沿G内任意闭曲线C的曲线积分等于零.设开区域G是一个单连通域,函数P(x,y)及Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导数,则曲线积分在G内与路径无关（或沿G内任意闭曲线的曲线积分为零）的充分必要条件是等式在G内恒成立.充分性易证:若,则,由格林公式,对任意闭曲线L,有.必要性:假设存在一点M0ÎG,使,不妨设h>0,则由的连续性,存在M0的一个d邻域U(M0,d),使在此邻域内有.于是沿邻域U(M0,d)边界l的闭曲线积分这与闭曲线积分为零相矛盾,因此在G内.例验证下列积分与路线无关，并求它们的值：（1）（2）（3）沿在右半面的路线；（4）沿不通过原点的路线；（5）其中为连续函数。分析：主要利用定理21.12中的四个等价条件的第（4）条来验证积分与路线无关。求积分时可选择一条最简单的路线。解：（1）因P=所以P与Q满足定理条件，故积分与路线无关。于是，取路线为则有（2）因为所以.故由定理21.12知该积分与路线无关.因此(3)因，从而.因此,积分与路线无关,所以(4)当时是全微分,故积分与路线无关,且原式=(5)因为连续函数,则与分别是的原函数,于是可见,积分与路线无关,从而应注意的问题:定理要求,区域G是单连通区域,且函数P(x,y)及Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导数.如果这两个条件之一不能满足,那么定理的结论不能保证成立.破坏函数P、Q及、连续性的点称为奇点.3.结束语格林公式：要注意公式成立的条件:在内具有一阶连续偏导数．公式左端二重积分的被积函数是不能记错．右端积分曲线是区域的正向边界曲线.格林公式的内容，利用格林公式把二重积分化为曲线积分，运用格林公式求多边形的面积以及求多边形的重心坐标是格林公式的比较重要的应用.此外，曲线积分与路经无关也是格林公式的应用.参考文献[1]同济大学教学教研室.高等数学(下册)[M].北京:高等教育出版社.1996.[2]华东师范大学数学系数学分析.(下册)[M].高等教育出版社,1985.297-425.[3]林源渠,方企勤.数学分析解题指南[M].北京大学出版社,2000.329-341.[4]董鹤年