湖南省张家界市慈利县重点中学2022-2023学年高二下学期期中考试数学试卷及参考答案

慈利县重点中学2023年上学期高二期中考试数学试题时量：120分钟满分：150分命题人：王炜审题人：赵世栋单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分）已知直线过点，且不过第四象限，则直线的斜率的最大值是（）A.B.C. D.2.等差数列中，若，则等于（）A. B.0C.D.13.抛物线的焦点到其准线的距离为（）A. B.C.2 D.44.已知是椭圆C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（

）A． B．C． D．5.甲、乙、丙、丁四名教师带领学生参加校园植树活动，教师随机分成三组，每组至少一人，则甲、乙在同一组的概率为（）A. B.C.D.6.3月21日是世界睡眠日，2023年世界睡眠日的中国主题是“良好睡眠，健康之源”．中国睡眠研究会常务理会吕云辉教授围绕这一主题进行了深度解读，以严谨的理论和丰富的案例佐证了良好睡眠于健康体魄的重要性．某中学数学兴趣小组为了研究良好睡眠与学习状态的关系，调查发现该校名学生平均每天的睡眠时间，则该校每天平均睡眠时间为小时的学生人数约为（）（结果四舍五入保留整数）附：若，则，，．A. B.C.D.7.已知函数及其导函数定义域均为，且，，则关于的不等式的解集为（）A.B.C.D.8.已知编号为1，2，3的三个盒子，其中1号盒子内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号盒子内装有两个1号球，一个3号球；3号盒子内装有三个1号球，两个2号球．若第一次先从1号盒子内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的盒子中，第二次从放入球的盒子中任取一个球，则第二次抽到3号球的概率为（）A. B.C.D.多选题（每小题5分，共20分，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）9.对具有相关关系的两个变量x和y进行回归分析时，经过随机抽样获得成对的样本点数据，则下列结论正确的是（）A.若两变量x，y具有线性相关关系，则回归直线至少经过一个样本点B.若两变量x，y具有线性相关关系，则回归直线一定经过样本点中心C.若以模型拟合该组数据，为了求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则a，h的估计值分别是3和6D.回归分析中常用残差平方和来刻画拟合效果好坏，残差平方和越小，拟合效果越好10.设直线与圆，则下列结论正确的为（）A.与可能相离B.不可能将的周长平分C.当时，被截得的弦长为D.被截得的最短弦长为11.已知函数，则（）A.是的极小值点 B.有两个极值点C.的极小值为 D.在上的最大值为12.已知等比数列的公比为，其前项之积为，且满足，，，则（

）A． B．C．的值是中最小的 D．使成立的最大正整数的值为4043填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.在的展开式中，常数项为．14.函数在其图象上的点处的切线方程为．15.《红楼梦》第三十八回“林潇湘魁夺菊花诗，薛荷芜讽和螃蟹咏”中史湘云做东海棠诗社，拟了十二首菊花诗邀众姐妹并宝玉作诗.若已知贾宝玉做了《访菊》《种菊》两首，薛宝钗做了《忆菊》《画菊》两首，剩下八首诗分由林黛玉､史湘云､探春作了，且每人至少作了两首，则不同的情况有种．16.已知双曲线的左､右焦点分别为，离心率为5，点是双曲线上的任意一点，满足的平分线与相交于点，则分所得的两个三角形的面积之比.解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知各项均不相等的等差数列的前4项和为10，且，，是等比数列的前3项．（1）求数列、的通项公式；（2）设，求数列的前项和．性别了解安全知识的程度得分不超过85分的人数得分超过85分的人数男生20100女生305018.溺水、校园欺凌、食品卫生、消防安全、道路交通等与学生安全有关的问题越来越受到社会的关注和重视．学校安全工作事关学生的健康成长，关系到千万个家庭的幸福和安宁，关系到整个社会的和谐稳定．为了普及安全教育，某市准备组织一次安全知识竞赛．某学校为了选拔学生参赛，按性别采用分层抽样的方法抽取200名学生进行安全知识测试，根据200名同学的测试成绩得到如下表格：（1）现从得分超过85分的学生中根据性别采用分层随机抽样抽取6名学生进行安全知识培训，再从这6名学生中随机抽取3名学生去市里参加竞赛，求这3名学生中有至少一名女生的概率；（2）根据小概率值的独立性检验，能否推断该校男生和女生在了解安全知识的程度与性别有关？附：参考公式，其中．下表是独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值a0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82819.如图所示，四棱锥中，平面平面，底面是边长为2正方形，，与交于点，点在线段上.（1）求证：平面；（2）若平面，求平面与平面夹角的余弦值.20.在开展某些问卷调查时，往往会因为涉及个人隐私而导致调查数据不准确，某小组为探究“甲校园中曾经有多少学生上课睡过觉”设计、两个问题，问题“你是否曾经上课睡过觉”，问题“你是否在上半年出生”，小组成员邀请学生逐一在装有、B问题的两个袋子中随机选取一个，若答案是肯定的，则向盒子中放入1个石子，否则直接离开（问题肯定与否定的概率视为相等），由于问题的答案只有“是”和“否”,而且回答的是哪个问题也是别人不知道的,因此被调查者可以毫无顾虑地给出符合实际情况的答案.（1）若该小组共邀请了100名学生，盒子内出现了30个石子，甲校园内有1000个学生，试估计甲校园内曾经上课睡过觉的学生人数；（2）视（1）问中的频率为概率，现从该校园中随机抽取名学生，记其中曾经上课睡过觉的人数为，求的分布列和数学期望.21．已知椭圆C：的左右顶点分别为，，右焦点为，点在椭圆上.（1）求椭圆C的标准方程；（2）为椭圆上不与重合的任意一点，直线分别与直线相交于点，求证：.22．已知函数（）.（1）讨论函数的单调性；（2）若，，且在上恒成立，求实数m的取值范围.数学参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．题号12345678答案ABCCABBC二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.题号9101112答案BCDBDABDABD三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。13．2014．15．294016．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（本小题满分10分）解：（1）设等差数列的公差为，由题知，即，①∵，，是等比数列的前3项，∴，即，②由①②得：∴，．………………3分设等比数列的公比为，则，又，∴，．…………………5分（2）由（1）得：，……7分∴.………………10分18．（本小题满分12分）解：(1)200名学生中得分超过85分的人数为150人，其中男生人数为100人，女生人数为50人，因此按性别进行分层抽样得：男生人数：人，女生人数：人，………3分设3名学生中有至少一名女生为事件A，则………………6分根据列联表可：，………………10分根据小概率值的独立性检验，我们认为性别与了解安全知识的程度有关，此推断犯错误的概率不大于0.001．……12分（本小题满分12分）解：（1）证明：因为平面平面且交线为，又平面且，所以平面，又平面，所以.…………2分因为是边长为2正方形，所以，又，所以，即，.…………4分又因为，平面，所以平面..…………6分（2）因为平面，平面，平面平面，所以，因为为的中点，所以为的中点，.…………8分以分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则有，易得平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为，则，取，则，.…………10分设平面与平面所成夹角为，则，所以平面与平面所成夹角的余弦值为..…………12分20．（本小题满分12分）解（1）解：回答问题的学生有人，投入的石子有个，…1分回答问题的学生有人，投入的石子有个，………2分用样本估计总体，则学生上课睡觉的概率，………3分则估计甲校园内上课睡觉的学生人数有名；………5分解：由（1）可得，则，，，，．则随机变量的分布列为:01234………10分则的数学期望．………12分21．（本小题满分12分）解：(1)由题知：，将点代入方程得：，解得，椭圆C的标准方程为.……………4分(2)由(1)知，.设，则，直线的方程为，令，则，即………6分直线的方程为，令，则，即………8分，即.…………………12分22．（本小题满分12分）解：（1）的定义域为，，……………1分时，恒成立，在上单调递增；时，令，则，所以在上单调递增，令，则，所以在上单调递减.综上，时，在上单调递增；时，在上单调递减，在上单调递增.………………4分（